Aufgaben: Analysis mit Hilfsmitteln

Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 80 °C steht in einem Raum in Düsseldorf, in dem die Temperatur konstant 20 °C beträgt. Die Temperatur des Kaffees in Grad Celsius wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Einschenken) durch die Funktion $T$ mit

$$T(t)=20+60\cdot\mathrm{e}^{-0{,}05t},\quad t\ge 0,$$

modelliert.

1. a) Zeigen Sie, dass $T(0)=80$ gilt, und beschreiben Sie das Verhalten von $T(t)$ für $t\to\infty$ im Sachzusammenhang.

1. b) Berechnen Sie die Temperatur des Kaffees 10 Minuten nach dem Einschenken.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Kaffee eine Temperatur von 40 °C erreicht.

1. d) Bestimmen Sie $T'(t)$ und berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur zu Beginn. Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Das Höhenprofil eines Radwegs bei Münster wird für $0\le x\le 4$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(x)=x^3-6x^2+9x$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die Entfernung vom Startpunkt in km und $h(x)$ die Höhe über einer Bezugshöhe in Vielfachen von 10 m.

1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $h$.

1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $h$ und weisen Sie die Art der Extrempunkte nach.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts und eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ im Wendepunkt.

1. d) Zeigen Sie, dass der Radweg im betrachteten Bereich seine größte Höhe an zwei Stellen erreicht.

Ein Influencer aus Dortmund hat zu Beginn der Beobachtung 500 Follower. Die Anzahl der Follower wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Wochen) durch die Funktion $N$ mit

$$N(t)=500\cdot 1{,}2^{\,t}$$

modelliert.

1. a) Geben Sie den Wachstumsfaktor an und bestimmen Sie die wöchentliche prozentuale Zunahme.

1. b) Berechnen Sie die Anzahl der Follower nach 5 Wochen.

1. c) Bestimmen Sie, nach wie vielen Wochen sich die Anzahl der Follower gegenüber dem Beginn verdoppelt hat.

1. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem 2.000 Follower erreicht werden.

1. e) Beurteilen Sie die Eignung des Modells für einen langen Zeitraum.

Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten wird nach der Einnahme durch die Funktion $c$ mit

$$c(t)=8t\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5t},\quad t\ge 0,$$

modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach der Einnahme und $c(t)$ die Konzentration in mg/l.

1. a) Zeigen Sie, dass $c'(t)=8\cdot(1-0{,}5t)\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration maximal ist, und die maximale Konzentration. Weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.

1. c) Deuten Sie den Wert $c'(0)$ im Sachzusammenhang.

1. d) Das Medikament ist nur wirksam, solange die Konzentration mindestens 1 mg/l beträgt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem das Medikament nicht mehr wirksam ist.

Der Ladezustand des Akkus eines Smartphones (in Prozent) wird beim Laden in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten nach Beginn des Ladevorgangs) durch die Funktion $L$ mit

$$L(t)=100-95\cdot\mathrm{e}^{-0{,}04t},\quad t\ge 0,$$

modelliert.

1. a) Geben Sie den Ladezustand zu Beginn des Ladevorgangs an.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Akku zur Hälfte geladen ist.

1. c) Bestimmen Sie $L'(t)$ und berechnen Sie die Änderungsrate des Ladezustands zu Beginn. Begründen Sie, dass $L'(t)$ für alle $t\ge 0$ positiv ist, und deuten Sie dies im Sachzusammenhang.

1. d) Begründen Sie, dass der Ladezustand nach diesem Modell den Wert 100 % nie erreicht, und beurteilen Sie die Qualität des Modells in diesem Punkt.

Der Querschnitt eines Lärmschutzwalls am Rhein wird für $-4\le x\le 2$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit

$$f(x)=(2-x)\cdot\mathrm{e}^{x}$$

beschrieben (1 Längeneinheit entspricht 10 m).

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen.

1. b) Zeigen Sie, dass $f'(x)=(1-x)\cdot\mathrm{e}^{x}$ und $f''(x)=-x\cdot\mathrm{e}^{x}$ gilt.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$ und weisen Sie nach, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

1. d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts und eine Gleichung der Tangente im Wendepunkt.

1. e) Berechnen Sie die Höhe des Walls am linken Rand $x=-4$ und vergleichen Sie diese mit der größten Höhe des Walls.

Eine Tasse Tee mit einer Anfangstemperatur von 90 °C kühlt in einem Raum mit konstant 21 °C ab. Die Temperatur des Tees in Grad Celsius wird nach $t$ Minuten durch

$$T(t)=21+69\cdot\mathrm{e}^{-k t},\quad t\ge 0,$$

mit einer positiven Konstanten $k$ modelliert. Zehn Minuten nach Beginn der Beobachtung wird eine Temperatur von 70 °C gemessen.

1. a) Bestimmen Sie $k$ auf drei Nachkommastellen genau.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Tee eine Temperatur von 40 °C erreicht.

1. c) Zeigen Sie, dass $T'(t)=-k\cdot\bigl(T(t)-21\bigr)$ gilt, und deuten Sie diese Beziehung im Sachzusammenhang.

1. d) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur zu Beginn der Beobachtung.

1. e) Eine Person trinkt den Tee erst, wenn er höchstens 55 °C warm ist. Bestimmen Sie den frühesten Zeitpunkt dafür und beurteilen Sie, ob das Modell auch für sehr große $t$ eine sinnvolle Aussage über die Temperatur des Tees liefert.

Für $u>0$ betrachtet man das Rechteck mit den Eckpunkten $O(0|0)$, $P(u|0)$, $Q(u|\mathrm{e}^{-u})$ und $R(0|\mathrm{e}^{-u})$. Der Punkt $Q$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird mit $A(u)$ bezeichnet (Längeneinheit: 1 m).

1. a) Zeigen Sie, dass $A(u)=u\cdot\mathrm{e}^{-u}$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist, und berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. Weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.

1. c) Begründen Sie, dass es keinen Wert $u$ mit $A(u)=0{,}5$ gibt.

1. d) Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe des GTR/CAS alle Werte von $u$, für die das Rechteck einen Flächeninhalt von $0{,}3\,\mathrm{m}^2$ besitzt.

1. e) Begründen Sie, dass es für jeden Flächeninhalt $a$ mit $0

In einem Labor der Universität Münster wird das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht. Für die Anzahl der Bakterien (in Tausend) nach $t$ Stunden werden zwei Modelle vorgeschlagen:

Modell A: $f(t)=200\cdot\mathrm{e}^{0{,}3t}$

Modell B: $g(t)=2.000-1.800\cdot\mathrm{e}^{-0{,}3t}$

Die folgende Tabelle zeigt die gemessenen Werte:

$t$ in h	0	2	4	6
Anzahl in Tausend	200	1.010	1.460	1.700

1. a) Zeigen Sie, dass beide Modelle zu Beginn den Wert 200 liefern, und bestimmen Sie für Modell A die Verdopplungszeit.

1. b) Bestimmen Sie für Modell A den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Bakterien 2.000 Tausend überschreitet.

1. c) Entscheiden Sie anhand der Messwerte rechnerisch, welches der beiden Modelle die Daten besser beschreibt.

1. d) Zeigen Sie, dass für Modell B die Beziehung $g'(t)=0{,}3\cdot\bigl(2.000-g(t)\bigr)$ gilt, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

1. e) Beschreiben Sie das langfristige Verhalten beider Modelle und beurteilen Sie, welche Annahme über die Nährlösung dem besseren Modell zugrunde liegt.