Aufgaben: Stochastik ohne Hilfsmittel

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Kugeln verschiedene Farben haben.

Bei einem Glücksrad auf der Kirmes tritt „0 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$, „2 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac13$ und „6 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac16$ auf. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den ausgezahlten Betrag in Euro bei einmaligem Drehen.

1. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$.

1. b) Geben Sie an, bei welchem Einsatz das Spiel fair ist.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ und $P(A\cap B)=0{,}2$.

1. a) Berechnen Sie $P(A\cup B)$.

1. b) Zeigen Sie, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft dabei die Augenzahl „6“ auftritt.

1. a) Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt ist, und geben Sie die Parameter $n$ und $p$ an.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine „6“ auftritt.

1. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine „6“ auftritt.

Von den Besuchern eines Weihnachtsmarkts sind 10 % krank. Ein Schnelltest fällt bei Kranken mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 positiv aus, bei Gesunden mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 positiv aus.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.

1. b) Die Person hat ein positives Testergebnis. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie krank ist.

Die Zufallsgröße $X$ hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	0	1	2	3
$P(X=x_i)$	0,1	0,4	$a$	0,2

1. a) Bestimmen Sie $a$.

1. b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Es gilt $P(A)=0{,}5$ und $P(A\cup B)=0{,}8$.

1. a) Bestimmen Sie $P(B)$.

1. b) Berechnen Sie $P(A\cap\overline{B})$.

1. a) Eine faire Münze wird $n$-mal geworfen. Bestimmen Sie die kleinste Zahl $n$, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal „Zahl“ fällt.

1. b) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=8$ und $p=0{,}25$. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $X$.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und dem Erwartungswert $\mu=5$.

1. a) Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

1. b) Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0{,}75$. Begründen Sie, dass $P(Y=15)=P(X=5)$ gilt.

1. c) Beschreiben Sie, wie sich das Histogramm von $Y$ aus dem Histogramm von $X$ ergibt.