Aufgaben: Analytische Geometrie ohne Hilfsmittel

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|-2|5)$ und $C(5|-6|7)$.

1. a) Bestimmen Sie den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

1. b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch $A$ und $B$ an und zeigen Sie, dass $C$ auf $g$ liegt.

Gegeben ist die Ebene $E: 2x+y-2z=6$.

1. a) Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|2|1)$ in $E$ liegt.

1. b) Geben Sie einen Normalenvektor von $E$ an und berechnen Sie dessen Länge.

Gegeben sind die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal zueinander sind.

1. b) Berechnen Sie die Länge von $\vec a$.

Gegeben sind die Gerade $g: \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ mit $t\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E: x+y+z=5$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $E$.

1. b) Begründen Sie, dass $g$ nicht senkrecht zu $E$ verläuft.

Die Ebene $E$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $A(2|0|0)$, $B(0|3|0)$ und $C(0|0|6)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$.

1. b) Zeigen Sie, dass der Punkt $D(1|1|1)$ in $E$ liegt.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|2|1)$ und $C(2|-1|-2)$.

1. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ bei $A$ einen rechten Winkel hat.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Gegeben ist die Ebene $E: 2x-y+z=3$. Die Ebene $F$ hat die Gleichung $x+a\cdot y+3z=d$ mit reellen Zahlen $a$ und $d$.

1. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass $F$ senkrecht zu $E$ steht.

1. b) Für den in a) bestimmten Wert von $a$ soll der Punkt $P(1|0|1)$ in $F$ liegen. Bestimmen Sie $d$.

1. c) Begründen Sie, dass sich $E$ und $F$ schneiden.

Gegeben sind die Ebene $E: x+2y+2z=1$ und der Punkt $P(2|1|3)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $l$, die durch $P$ verläuft und senkrecht zu $E$ ist, sowie die Koordinaten des Schnittpunkts $L$ von $l$ und $E$.

1. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung von $P$ an $E$ entsteht.

Gegeben sind die Geraden $g: \vec x=t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $h_a: \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$ und einer reellen Zahl $a$.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für jede Wahl von $a$ parallel oder identisch sind.

1. b) Bestimmen Sie $a$ so, dass $g$ und $h_a$ identisch sind.

1. c) Begründen Sie, dass für alle anderen Werte von $a$ die Geraden $g$ und $h_a$ keinen gemeinsamen Punkt haben.