Aufgaben: Analysis ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$.

1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$.

1. b) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{x}$.

1. a) Bilden Sie die erste Ableitung von $f$ und geben Sie diese in der Form $f'(x)=\mathrm{e}^{x}\cdot(\dots)$ an.

1. b) Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=-1$ eine waagerechte Tangente besitzt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=\mathrm{e}^{2x-4}$.

1. a) Bestimmen Sie $g'(x)$.

1. b) Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ die Gerade $y=1$ an der Stelle $x=2$ schneidet, und geben Sie die Steigung des Graphen von $g$ an dieser Stelle an.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f'(x)=(x^2+2x-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente besitzt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}$.

1. a) Untersuchen Sie das Verhalten von $f$ für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$. Geben Sie eine Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von $f$ an.

1. b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.

1. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x+a)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ mit einer reellen Zahl $a$.

1. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=2$ eine waagerechte Tangente besitzt.

1. b) Es sei nun $a=-1$. Begründen Sie mithilfe des Vorzeichens von $f'$, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=2$ einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen $y$-Koordinate an.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit reellen Zahlen $a\neq 0$ und $k$. Es gilt $f(0)=3$ und $f'(0)=6$.

1. a) Bestimmen Sie $a$ und $k$.

1. b) Begründen Sie, dass für jede Funktion der Form $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ die Beziehung $f'(x)=k\cdot f(x)$ gilt.

1. c) Begründen Sie, dass der Graph einer Funktion der Form $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit $a\neq 0$ und $k\neq 0$ keine Extrempunkte besitzt.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ und $F(x)=-(x+1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

1. b) Berechnen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

1. c) Geben Sie ohne weitere Rechnung begründet das Vorzeichen von $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$ an.