Proporcionalidad directa

En matemáticas, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analiza las siguientes situaciones cotidianas e indica cuáles son de proporcionalidad directa:

1. a) El número de seguidores de un streamer y la cantidad de likes que recibe en un video (suponiendo que todos sus seguidores le dan "me gusta").
2. b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
3. c) El número de cajas de pizza que pides y el precio total que pagas (si todas las pizzas cuestan lo mismo).
4. d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en llegar a su destino.
5. e) Los kilogramos de manzanas que compras y el dinero que cuestan.

En tu videojuego favorito, puedes comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para tu personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad en tu cuaderno para saber cuánto cuestan diferentes cantidades de gemas:

Un paquete de estampas de la liga de futbol contiene $6$ estampas, y $3$ de estos paquetes cuestan $72$ pesos. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$ paquetes iguales, ¿cuánto dinero gastaremos en total? Utiliza el método de reducción a la unidad (calcula primero cuánto cuesta un solo paquete).

Para cocinar unos hot cakes para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ gramos de harina. Si este fin de semana vienen tus primos a casa y son un total de $6$ personas, ¿qué cantidad de harina necesitarás para que los hot cakes salgan perfectos? Recuerda que las cantidades de la receta son directamente proporcionales al número de comensales.

Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1.5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se apuntan más personas y ahora son $18$ en total, calcula mediante el método de reducción a la unidad qué cantidad de arroz y de caldo necesitará ahora el chef.

Halla el valor del término desconocido $x$ en las siguientes proporciones para que se cumpla la igualdad entre las razones:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Observa la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ gramos. En la segunda balanza, queremos saber cuánto pesan $5$ cubos iguales a los anteriores. Calcula el valor de la incógnita $x$.

Por $3$ entradas para el cine hemos pagado $\$510$. Queremos comprar $7$ entradas para toda la pandilla. Resuelve el problema de las dos formas siguientes:

1. a) Por reducción a la unidad: calcula el precio de una entrada y después el de $7$.
2. b) Con una regla de tres directa: plantea la proporción $\frac{3}{510} = \frac{7}{x}$ y despeja $x$.
3. c) ¿Coinciden los dos resultados? ¿Qué método te parece más cómodo y por qué?

Un skater recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ metros en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante todo el trayecto:

1. a) ¿Qué distancia recorrerá en $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) ¿Cuál es su constante de proporcionalidad (cuántos metros recorre por cada segundo)?

Copia y completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de kilogramos de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$ expresada en $m^2/kg$.

Tres grupos de 1° de secundaria han decidido organizar una colecta de alimentos. El número de kilos recolectados es directamente proporcional al número de alumnos de cada grupo. El grupo A tiene $24$ alumnos y ha recolectado $36\ kg$.

1. a) Completa la siguiente tabla justificando los cálculos:

1. b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que relaciona los kilos por cada alumno? Exprésala como una fracción irreducible.

Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas. El costo del consumo eléctrico es directamente proporcional a los kilómetros recorridos. El mes pasado, una camioneta recorrió $1,250\ km$ con un costo total de $\$750$ en electricidad.

1. a) Este mes el precio de la electricidad subió un $20\%$. ¿Cuál será la nueva constante de proporcionalidad (costo por kilómetro)?
2. b) Con el nuevo precio, ¿cuánto costará recorrer una ruta de $420\ km$?

En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observa la siguiente gráfica que relaciona el número de plumas compradas y su costo total. Si $4$ plumas cuestan $120$ pesos, identifica el punto en la gráfica y calcula cuánto costarían $10$ plumas.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los litros que arroja. Observa el punto marcado y determina cuántos litros arrojará la fuente si se mantiene abierta durante $15\text{ minutos}$.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la carga es directamente proporcional durante los primeros $40$ minutos.

1. a) Observando el punto destacado, calcula cuántos minutos tarda el celular en cargar un $1\%$ de batería.
2. b) Si el celular tiene actualmente un $12\%$ de batería y necesitas salir de casa en $18$ minutos, ¿con qué porcentaje de batería saldrás?

En un mapa de la Sierra de Guadarrama, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo entre dos pueblos la distancia medida sobre el mapa es de $8.5\text{ cm}$, ¿cuántos kilómetros recorrerán los excursionistas en la realidad?

Tres agricultores han trabajado en la recolección de una finca de naranjas de forma proporcional al tiempo que cada uno ha dedicado. Si han cobrado en total $\$1500$ y los tiempos de trabajo han sido:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno de ellos?

En un mapa de alta montaña con escala $1:25,000$, la distancia entre dos refugios es de $14.4\ cm$. Un grupo de excursionistas sabe que su velocidad media de ascenso es constante y que tardan $45$ minutos en recorrer $1,500\ metros$ reales en ese terreno.

1. a) Calcula la distancia real entre los dos refugios en kilómetros.
2. b) ¿A qué hora llegarán al segundo refugio si salen del primero a las $08:30$ de la mañana?

Una impresora 3D tarda $4.5$ horas en imprimir una pieza de $270$ gramos de filamento. Queremos saber cuánto tardará en imprimir otra pieza de $420$ gramos, suponiendo el mismo ritmo.

1. a) Explica por qué el peso de la pieza y el tiempo de impresión son magnitudes directamente proporcionales.
2. b) Plantea la regla de tres directa y calcula el tiempo que tardará la pieza de $420$ gramos.
3. c) ¿Cuántos gramos imprime la máquina en una hora? Comprueba tu resultado del apartado b) usando ese dato.