Problemas con ecuaciones
Ximena y sus dos primos juntan dinero para comprar una piñata y dulces para la posada, y entre los tres reúnen $\$300$. Ella puso una cantidad, Diego puso el doble y Regina puso $\$20$ más que Ximena. ¿Cuánto puso cada uno? Resolver una ecuación es la parte mecánica, la que ya sabes hacer. Lo difícil (y lo que de verdad importa) es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con una $x$. Con un método claro y unos pocos modelos, la mayoría de los problemas se vuelven rutina.
El método en pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = canciones que tiene Marcos». No te quedes solo con la letra, apunta a qué número se refiere.
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Traduce cada dato de la frase usando esa misma $x$.
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Plantea la ecuación con el dato que falta (normalmente un total o una igualdad) y resuélvela con las propiedades de la igualdad.
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Comprueba con el enunciado, no con la ecuación (podría estar mal planteada), y responde con una frase y unidades.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $240$ pesos. Si después de pagarla les sobran $160$ pesos del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al…
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $240$ pesos. Si después de pagarla les sobran $160$ pesos del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al principio? Representa la cantidad inicial con la letra $x$.
La balanza: una ecuación que se ve
Una balanza en equilibrio es una ecuación: lo que hay en un platillo pesa igual que lo que hay en el otro. Cada caja desconocida pesa $x$, y las pesas conocidas son números.
Si quitas lo mismo de los dos platillos, la balanza sigue en equilibrio. Quitamos la pesa de 1 kg de cada lado: $2x = 6$. Si repartes en partes iguales, $x = 3$.
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y…
En el laboratorio de Ciencias tenemos una balanza en equilibrio, como muestra la figura. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ kg cada una) y una pesa de $1$ kg. En el plato de la derecha hay una pesa de $7$ kg. Escribe la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de…
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de $12$ gramos. En el platillo derecho, para que esté en equilibrio, hemos tenido que poner cuatro pesas iguales, cada una de ellas con el mismo peso $x$ que la piedra original. ¿Cuánto pesa la piedra?
Números, «el doble que» y edades
Dos tipos de datos aparecen una y otra vez:
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Números consecutivos: si el primero es $x$, el siguiente es $x + 1$ y el otro $x + 2$.
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«El doble/triple que otra cantidad»: si Marcos tiene $x$ canciones y Lucía el doble, Lucía tiene $2x$. Si además Sara tiene $10$ más que Marcos, tiene $x + 10$.
Para las edades conviene hacer una tabla con «hoy» y «dentro de» tantos años: el tiempo pasa igual para todos, así que se suma lo mismo a cada edad.
| Hoy | Dentro de 8 años | |
|---|---|---|
| Elena | $x$ | $x + 8$ |
| Héctor | $x + 5$ | $x + 13$ |
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Amina tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$…
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$ puntos, ¿cuántos puntos obtuvo en cada nivel? Llama $x$ a los puntos del primer nivel.
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? (Recuerda sumar 8 años a la…
Héctor tiene 5 años más que su hermana Ainhoa. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
(Recuerda sumar 8 años a la edad de cada uno para plantear la suma futura).
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente…
La madre de Salma tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Salma. ¿Qué edad tienen actualmente cada una? Ayúdate de una tabla para organizar los datos del presente y del futuro.
Problemas con perímetros
En geometría, dibuja siempre la figura y escribe las medidas con $x$. Después usa la fórmula del perímetro: la suma de todos los lados.
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos…
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ cm. Si la base mide $10$ cm y los otros dos lados son iguales, ¿cuánto debe medir cada uno de esos lados ($x$)?
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo…
Queremos vallar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ metros de valla para rodearlo por completo (perímetro), ¿cuánto miden el ancho y el largo del huerto?
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de…
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ metros. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ metros más que el doble de la base. Calcula la medida de cada uno de los tres lados del parque planteando una ecuación.
Repartos y totales
Cuando varias personas o cosas se reparten un total, llama $x$ a la parte de una de ellas y escribe las demás en función de $x$. La ecuación sale de que todas las partes juntas son el total.
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase?…
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase? Llama $x$ a los cómics de misterio.
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$…
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$ pelotas más que en la segunda. Si en total hay $85$ pelotas, ¿cuántas pelotas contiene cada caja?
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de…
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias de un juego de aventuras que de uno de deportes. Además, han vendido $15$ unidades menos de un juego de plataformas que del de aventuras. Si en total han vendido $125$ videojuegos entre los tres títulos, ¿cuántas copias se han vendido de cada uno?
Dos clases de objetos y un total
A veces hay dos tipos de cosas (monedas, carros y motos…) y conoces cuántas hay en total y cuánto aporta cada tipo. Llama $x$ a uno de los tipos; el otro es «el total menos $x$».
En un estacionamiento de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto),…
En un estacionamiento de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto), obtenemos un total de $94$ ruedas. Calcula cuántos carros y cuántas motos hay en el estacionamiento.
(Pista: Si llamamos $x$ al número de carros, el número de motos será $32 - x$).
En una alcancía hay monedas de $0.50$ pesos y de $1$ peso. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ pesos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la alcancía?…
En una alcancía hay monedas de $0.50$ pesos y de $1$ peso. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $26$ pesos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la alcancía? (Pista: si llamas $x$ al número de monedas de $1$ peso, el número de monedas de $0.50$ pesos será $35 - x$).
Más retos
Cuando los datos son fracciones, lo que queda es la parte que no se ha usado. Si se consume $\frac{1}{4}$ del total, queda $\frac{3}{4}$. Cuando hay varios datos de reparto, escribe cada uno con $x$ antes de sumar.
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que…
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba en el depósito. Si después de estos dos días aún tienen $135$ litros, ¿cuántos litros de agua tenían al comenzar la expedición?
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes…
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El video de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el video de viajes tiene $4000$ visualizaciones más que el de humor. Si entre los tres suman un total de $24000$ visualizaciones, ¿cuántas tiene cada video?
Vuelve al principio: con $x$ lo que puso Ximena, Diego puso $2x$ y Regina $x + 20$. Entonces $x + 2x + (x + 20) = 300$, así que $4x = 280$ y $x = 70$: Ximena puso $\$70$, Diego $\$140$ y Regina $\$90$.