Raíz cuadrada

En una raíz cuadrada, cada número tiene un nombre especial que indica su función. Observa la siguiente igualdad e identifica el nombre de cada uno de los elementos señalados con flechas:

$\sqrt{81} = 9$

Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces cuadradas exactas:

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{4} =$
3. c) $\sqrt{100} =$
4. d) $\sqrt{49} =$
5. e) $\sqrt{1} =$
6. f) $\sqrt{121} =$

Lucía quiere decorar una tarjeta cuadrada de felicitación que tiene una superficie de $64 \text{ cm}^2$. Para comprar un cordel decorativo que rodee todo el borde, primero necesita saber cuánto mide un lado. ¿Cuál es la longitud del lado de la tarjeta?

Un fotógrafo quiere organizar sus fotos en una red social formando un mosaico cuadrado. Si tiene $144$ fotos en total, ¿cuántas fotos debe poner en cada fila y en cada columna para que el mosaico sea un cuadrado perfecto?

No todas las raíces son exactas. Sin usar la calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas:

1. a) $....... < \sqrt{20} < .......$
2. b) $....... < \sqrt{50} < .......$
3. c) $....... < \sqrt{11} < .......$

Halla la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. Indica también entre qué dos números naturales consecutivos se encuentra cada raíz.

1. a) $\sqrt{30}$

1. b) $\sqrt{55}$

1. c) $\sqrt{85}$

El club de fotografía de la escuela quiere exponer $200$ fotos en un panel formando el cuadrado más grande posible.

1. a) ¿Cuántas fotos tendrá cada lado del cuadrado?
2. b) ¿Cuántas fotos le sobrarán?
3. c) ¿Cuántas fotos más necesitaría para completar un cuadrado que tenga una foto más en cada lado?

Estamos diseñando un nivel para un videojuego sobre una cuadrícula. Queremos construir una habitación cuadrada usando baldosas especiales. Si utilizamos todas las baldosas que tenemos, nos sobran $15$, pero si intentamos añadir una fila y una columna más para hacer el cuadrado más grande, nos faltarían $16$ baldosas.

¿Cuántas baldosas tenemos en total?

Un coleccionista de cartas quiere organizar su álbum. Sabe que si coloca sus cartas formando un cuadrado, le sobran $8$ cartas. Sin embargo, si intenta formar un cuadrado con un hueco más en cada lado (una unidad más de lado), le faltarían $13$ cartas.

Calcula el número de cartas que tiene el coleccionista y el valor de la raíz cuadrada entera de dicho número.

Halla el número natural $A$ sabiendo que su raíz cuadrada entera es $25$ y que, si le sumamos $20$ unidades a dicho número, se convierte en un cuadrado perfecto exacto.

Copia en tu cuaderno y utiliza los signos $>$ (mayor que), $<$ (menor que) o $=$ (igual a) para comparar los siguientes números:

1. a) $\sqrt{36} ....... 7$
2. b) $\sqrt{81} ....... 9$
3. c) $5 ....... \sqrt{16}$
4. d) $\sqrt{100} ....... \sqrt{64}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica brevemente por qué:

1. a) La raíz cuadrada de 25 es 5 porque $5 \times 2 = 10$.
2. b) No existe ningún número entero que sea la raíz cuadrada de 30.
3. c) El número 0 no tiene raíz cuadrada.
4. d) $\sqrt{144}$ es igual a 12 porque $12^2 = 144$.

Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas justificando el resultado mediante una potencia, como en el ejemplo:

Ejemplo: $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{169}$
3. c) $\sqrt{225}$
4. d) $\sqrt{400}$

Aplica las propiedades de las raíces (raíz de un producto y raíz de un cociente) para resolver estas operaciones de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{64 \times 100}$
2. b) $\sqrt{16 \times 25}$
3. c) $\sqrt{\frac{144}{9}}$
4. d) $\sqrt{4 \times 9 \times 100}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta con un contraejemplo cuando sea necesario:

1. a) La raíz cuadrada de la suma de dos números es igual a la suma de las raíces de esos números: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b) No existe la raíz cuadrada de un número negativo.
3. c) Si un número termina en $2$, no puede ser un cuadrado perfecto.
4. d) La raíz cuadrada de un número siempre es menor que el propio número.

Marta tiene un tablero cuadrado con $100$ casillas. Su hermano pequeño le ha regalado otro tablero cuya área es la cuarta parte del primero.

1. a) ¿Cuántas casillas tiene el tablero pequeño?
2. b) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero grande?
3. c) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero pequeño? ¿Qué relación hay entre el lado del grande y el del pequeño?

Resuelve las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones (recuerda calcular la raíz antes que las sumas o restas):

1. a) $15 + \sqrt{36} =$
2. b) $2 \times \sqrt{25} - 3 =$
3. c) $\sqrt{64} + \sqrt{9} =$
4. d) $20 - \sqrt{81} : 3 =$

En el patio de la escuela se ha diseñado un jardín cuadrado que tiene una superficie de $144$ $m^2$. Para proteger las plantas, el conserje quiere colocar una cerca de madera alrededor de todo el borde. Si cada metro de cerca cuesta $240$ pesos, ¿cuánto costará cercar el jardín completo?

Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $3^2 + \sqrt{64} - 2 \times 3$
2. b) $(\sqrt{100} - 4) : 2 + 5^2$
3. c) $2 \times \sqrt{81} - (3^2 - \sqrt{25})$
4. d) $\sqrt{49} \times 2 + 10^2 : 4$

Calcula el valor de la siguiente expresión combinada, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones:

Halla el número natural $n$ que cumple la siguiente igualdad:

Razona tu respuesta utilizando el concepto de suma de sumandos iguales y las propiedades de las potencias.

Un virus informático se propaga de la siguiente manera: cada minuto, cada computadora infectada contagia a otras $3$ computadoras. Si a las 10:00 de la mañana hay una sola computadora infectada:

1. a) Expresa como potencia de base 3 cuántas computadoras se infectan nuevas a las 10:05.
2. b) ¿Cuántas computadoras habrá infectadas en total en ese momento (10:05)? (Recuerda sumar la infectada inicial y las de los minutos anteriores).

Una empresa de mensajería utiliza cajas cúbicas para sus envíos. Tienen un contenedor grande que también es cúbico y en el que caben exactamente $216$ cajas pequeñas.

1. a) ¿Cuántas cajas pequeñas hay en la base del contenedor?
2. b) Si deciden fabricar un nuevo contenedor cuyo lado mida el triple que el anterior, ¿cuántas cajas pequeñas cabrán en total en el nuevo contenedor? Expresa el resultado como una potencia.

Utiliza las propiedades de las potencias para expresar el resultado como una única potencia de base 2: