El lenguaje algebraico

En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas que ha conseguido un jugador:

• a) El doble del número de gemas.

• b) El triple de gemas más $50$ puntos extra.

• c) El número de gemas que tendría si perdiera $5$ gemas.

• d) La mitad de las gemas que tiene.

En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $s$ pesos. Si unos pantalones cuestan $240$ pesos menos que la sudadera, expresa en lenguaje algebraico:

• a) El precio de los pantalones.

• b) El precio total de comprar dos sudaderas.

• c) El precio total de comprar una sudadera y unos pantalones.

En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al número de misiones secundarias completadas, expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

• El triple de cofres de oro encontrados.

• El número de misiones secundarias más cinco misiones extra de bonificación.

• El doble de la suma de los cofres de oro y las misiones secundarias.

• La mitad de los cofres encontrados tras perder tres de ellos en una batalla.

• El total de puntos si cada cofre vale 100 puntos y cada misión vale 50 puntos.

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido:

1. a) El triple de la diferencia entre el cuadrado de un número y su mitad.
2. b) La suma de tres números naturales consecutivos, sabiendo que el primero de ellos es $x-2$.
3. c) El precio final de una sudadera que costaba $x$ pesos, si primero se le aplica un aumento del $10\%$ por costos de envío y luego un descuento de $100$ pesos por un cupón.
4. d) La diferencia entre el cubo del siguiente de un número y el doble de su anterior.

Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para:

• a) El número siguiente a $n$.

• b) El número anterior a $n$.

• c) El triple del siguiente de $n$.

• d) La suma de un número y su anterior.

Llamamos $x$ a la edad actual de Ioana. Expresa algebraicamente las edades de su familia:

• a) La edad que tendrá Ioana dentro de $8$ años.

• b) La edad que tenía Ioana hace $3$ años.

• c) Su hermano tiene el doble de la edad de Ioana. ¿Qué edad tiene el hermano?

• d) Su madre tiene el triple de la edad que Ioana tendrá dentro de $1$ año.

Amina, Borja y Clara están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Borja tiene el doble de seguidores que Amina. Clara tiene 500 seguidores menos que Borja. Si llamamos $s$ al número de seguidores que tiene Amina:

• Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Borja.

• Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Clara.

• Escribe una expresión que represente la suma de los seguidores de los tres amigos.

• Si Amina tiene $s = 1200$ seguidores, ¿cuántos seguidores tienen entre los tres?

En una tienda de deportes, una playera de futbol cuesta $x$ pesos y un pantalón cuesta $y$ pesos. Traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común qué significan las siguientes expresiones:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 200$

• $0.85 \times x$

• $3(x + y)$

Un creador de contenido de TikTok analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de videos publicados en un mes, su ganancia en pesos está definida por la expresión algebraica: $G = 10 \times v + 240$.

• ¿Qué representan los números $10$ y $240$ en este contexto?

• ¿Cuál será su ganancia si este mes logró publicar un total de $v = 40$ videos?

• Si el mes que viene decide publicar el doble de videos que este mes, escribe la nueva expresión para su ganancia.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):

• a) $3x + 5$ cuando $x = 2$

• b) $10 - 2n$ cuando $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ cuando $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ cuando $x = 10$

Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$):

Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad.

Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$.
2. b) Observando los resultados, ¿podrías proponer una expresión mucho más sencilla que sea equivalente a $P(x)$ para cualquier valor de $x$ (excepto para $x = -2$)?
3. c) ¿Por qué crees que no se puede calcular el valor numérico de $P(x)$ para $x = -2$? Razona tu respuesta basándote en lo que sabes de las fracciones.

Queremos vallar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$.

• a) Escribe una expresión algebraica para el perímetro del recinto (la suma de todos sus lados).

• b) Escribe una expresión algebraica para el área del recinto.

Calcula el perímetro de la siguiente pista de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en metros mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión simplificada, calcula su valor numérico para $x = 4$ metros.

En el diseño de una alberca moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ metros de ancho por todo su contorno.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el área total ocupada por la madera (el borde).
2. b) Simplifica la expresión obtenida en el inciso anterior.
3. c) ¿Cuál sería el valor numérico de esa área si la alberca mide $10$ metros de largo y $5$ metros de ancho?

En una competición de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ km/h.

1. a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y $15$ minutos. (Recuerda expresar el tiempo en una única unidad).
2. b) Si el atleta decide aumentar su velocidad en $2$ km/h durante la segunda mitad del tiempo, escribe la expresión de la distancia total recorrida en un tiempo total de $t$ horas.
3. c) Calcula la distancia total del apartado b) si $v = 12$ km/h y $t = 2$ horas.

Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...):

• a) ¿Cuántos puntos tendrá la Figura 4?

• b) Escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos puntos hay en la Figura $n$.

Observa la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en la escuela. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los alumnos.

Si en una mesa ($n=1$) caben 6 personas, en dos mesas ($n=2$) caben 10 personas y en tres mesas ($n=3$) caben 14 personas:

• Crea una expresión algebraica que permita calcular el número de personas que pueden sentarse en función del número de mesas $n$.

• Calcula cuántas personas podrán sentarse si se unen 15 mesas.

En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear parterres de flores. Si colocamos los parterres en línea, cada parterre adicional comparte algunas losetas con el anterior para ahorrar material. Observa la siguiente secuencia de diseño:

Si llamamos $n$ al número de parterres que queremos poner en fila:

1. a) Encuentra una expresión algebraica que permita calcular el número de losetas necesarias para $n$ parterres.
2. b) Utiliza dicha expresión para calcular cuántas losetas se necesitarían para una hilera de $25$ parterres.

En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del primero) hay $4$ cajas formando un cuadrado de $2 \times 2$. En el nivel 3 hay $9$ cajas formando un cuadrado de $3 \times 3$.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el número de cajas que hay en el nivel $n$.
2. b) Escribe una expresión algebraica que represente el número total de cajas si la pirámide tiene solo $3$ niveles.
3. c) Si una pirámide tiene $n$ niveles, se sabe que el número total de cajas viene dado por la fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcula cuántas cajas habrá en total en una estructura de $10$ niveles.

Valentina le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el mismo resultado:

1. Piensa un número cualquiera ($n$).

2. Súmale 5.

3. Multiplica el resultado por 2.

4. Réstale 10 al valor obtenido.

5. Divide el resultado entre 2.

6. ¿Qué número obtienes respecto al número inicial? Escribe la expresión simplificada del proceso.

Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones:

1. Piensa un número natural cualquiera $n$.

2. Multiplícalo por $6$.

3. Suma $12$ al resultado anterior.

4. Divide todo entre $3$.

5. Resta el doble del número que pensaste al principio.

1. a) Traduce a lenguaje algebraico cada paso del truco y escribe la expresión final simplificada.
2. b) ¿Cuál es el resultado final del truco? ¿Depende del número que haya pensado el espectador? Justifica tu respuesta usando el lenguaje algebraico.

Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $C$ pesos. Deciden que dos de los amigos, que son hermanos, pagarán solo la mitad de lo que pague el resto cada uno.

1. a) Si $x$ es la cantidad de dinero que aporta cada uno de los amigos que no son hermanos, y hay un total de $6$ amigos (incluyendo a los dos hermanos), expresa algebraicamente el costo total $C$ de la consola.
2. b) Si el costo de la consola es de $6\,000$ pesos, calcula cuánto dinero debe aportar cada uno de los hermanos.