Zählprinzip und Anordnungen
Dein Fahrradschloss hat vier Ziffernräder. Ein Dieb probiert einfach alle Codes durch. Wie lange würde er im schlimmsten Fall brauchen? Dafür musst du wissen, wie viele Codes es überhaupt gibt, und zwar ohne sie aufzuschreiben.
Das Zählprinzip
Ein Imbiss in Köln bietet $2$ Brötchensorten (hell, dunkel) und $3$ Beläge (Käse, Schinken, Salat) an. Jeder Gast wählt ein Brötchen und einen Belag. Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten.
Zu jedem der $2$ Brötchen gehören $3$ Beläge. Das sind $2 \cdot 3 = 6$ Kombinationen.
Warum Produkt? Jede Möglichkeit der 1. Stufe wird mit jeder Möglichkeit der 2. Stufe kombiniert. Das ergibt $n_1$ Gruppen mit je $n_2$ Pfaden im Baumdiagramm.
Ein Imbiss in Köln bietet $3$ Brötchensorten und $4$ Beläge an. Jeder Gast wählt genau ein Brötchen und einen Belag. a) Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es? b)…
Ein Imbiss in Köln bietet $3$ Brötchensorten und $4$ Beläge an. Jeder Gast wählt genau ein Brötchen und einen Belag.
- a) Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es?
- b) Wie viele wären es bei $5$ Brötchensorten und $4$ Belägen?
Ein Zahlenschloss hat $3$ Ziffernräder mit den Ziffern $0$ bis $9$. a) Wie viele Zahlenkombinationen sind möglich? b) Wie viele wären es bei $4$ Rädern?
Ein Zahlenschloss hat $3$ Ziffernräder mit den Ziffern $0$ bis $9$.
- a) Wie viele Zahlenkombinationen sind möglich?
- b) Wie viele wären es bei $4$ Rädern?
Mit und ohne Wiederholung
Beim Fahrradschloss mit den Ziffern $1$ bis $6$ kommt es darauf an, ob eine Ziffer mehrfach vorkommen darf.
-
Mit Wiederholung (wie Ziehen mit Zurücklegen): Auf jeder Stufe gibt es gleich viele Möglichkeiten.
-
Ohne Wiederholung (wie Ziehen ohne Zurücklegen): Auf jeder Stufe wird die Auswahl um eins kleiner.
Manchmal gibt es eine Bedingung. Dann zählst du zuerst die Stufe mit der Einschränkung.
Ein Fahrradschloss hat einen vierstelligen Code mit den Ziffern $1$ bis $6$. a) Wie viele Codes sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen? b) Wie viele Codes…
Ein Fahrradschloss hat einen vierstelligen Code mit den Ziffern $1$ bis $6$.
- a) Wie viele Codes sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen?
- b) Wie viele Codes gibt es, wenn alle vier Ziffern verschieden sein müssen?
- c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Wahl den richtigen Code aus a) zu raten?
Ein Autokennzeichen in Düsseldorf besteht (vereinfacht) aus „D“, dann zwei Buchstaben (aus $26$) und dann einer Zahl aus $1$ bis $999$. a) Wie viele Kennzeichen sind…
Ein Autokennzeichen in Düsseldorf besteht (vereinfacht) aus „D“, dann zwei Buchstaben (aus $26$) und dann einer Zahl aus $1$ bis $999$.
- a) Wie viele Kennzeichen sind möglich?
- b) Wie viele davon haben zwei verschiedene Buchstaben?
Aus den Ziffern $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sollen dreistellige Zahlen gebildet werden. a) Wie viele Zahlen sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen? b) Wie…
Aus den Ziffern $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sollen dreistellige Zahlen gebildet werden.
- a) Wie viele Zahlen sind möglich, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen?
- b) Wie viele Zahlen gibt es mit lauter verschiedenen Ziffern?
- c) Wie viele davon sind gerade?
Anordnungen und Fakultät
Auf wie viele Arten können $4$ Kinder in einer Reihe stehen? Auf Platz 1 kann jedes der $4$ Kinder stehen, auf Platz 2 noch $3$, auf Platz 3 noch $2$, auf Platz 4 das letzte. Das ist Zählen ohne Wiederholung. Mit dem Zählprinzip multiplizierst du die Möglichkeiten der vier Stufen.
$$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$Solche Produkte kommen so oft vor, dass man dafür eine Kurzschreibweise eingeführt hat.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n!$ | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 40\,320 |
Die Werte wachsen sehr schnell. Der Taschenrechner hat dafür die Taste $x!$, du kannst das Produkt aber auch selbst ausrechnen.
Auf wie viele Arten können $4$ Kinder in einer Reihe aufgestellt werden? Berechne mit $4!$ und gib an, wie sich die Rechnung ergibt.
Auf wie viele Arten können $4$ Kinder in einer Reihe aufgestellt werden? Berechne mit $4!$ und gib an, wie sich die Rechnung ergibt.
Bei einer Klassenfahrt bilden $8$ Schülerinnen und Schüler eine Schlange. a) Wie viele Anordnungen gibt es insgesamt? b) Wie viele, wenn Lea und Tom unmittelbar…
Bei einer Klassenfahrt bilden $8$ Schülerinnen und Schüler eine Schlange.
- a) Wie viele Anordnungen gibt es insgesamt?
- b) Wie viele, wenn Lea und Tom unmittelbar nebeneinander stehen sollen?
- c) Wie viele, wenn Lea und Tom nicht nebeneinander stehen sollen?
Zählen und Wahrscheinlichkeit
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Laplace-Versuch), gilt
$$P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}.$$Das Zählprinzip liefert dir beide Anzahlen, ohne dass du alles aufschreiben musst.
Zurück zum Anfang: Bei vier Rädern mit je $10$ Ziffern gibt es $10^4 = 10\,000$ Codes. Ein Dieb, der pro Sekunde einen Code probiert, braucht höchstens etwa $2{,}8$ Stunden.
Ein Passwort besteht aus $6$ Zeichen. Jedes Zeichen ist ein Kleinbuchstabe ($26$ Möglichkeiten) oder eine Ziffer ($10$ Möglichkeiten). a) Wie viele Passwörter gibt es…
Ein Passwort besteht aus $6$ Zeichen. Jedes Zeichen ist ein Kleinbuchstabe ($26$ Möglichkeiten) oder eine Ziffer ($10$ Möglichkeiten).
- a) Wie viele Passwörter gibt es insgesamt?
- b) Wie viele bestehen nur aus Buchstaben?
- c) Wie viele enthalten mindestens eine Ziffer?
- d) Ein Angreifer probiert $10^3$ Passwörter pro Sekunde. Wie lange braucht er im ungünstigsten Fall für a)? Gib in Tagen an (gerundet).
Aus einer Urne mit den Kugeln $1$ bis $10$ werden nacheinander drei Kugeln gezogen. a) Wie viele Ergebnisse gibt es mit Zurücklegen? b) Wie viele ohne Zurücklegen (mit…
Aus einer Urne mit den Kugeln $1$ bis $10$ werden nacheinander drei Kugeln gezogen.
- a) Wie viele Ergebnisse gibt es mit Zurücklegen?
- b) Wie viele ohne Zurücklegen (mit Beachtung der Reihenfolge)?
- c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen die Folge $1$, $2$, $3$ zu ziehen?
- d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit Zurücklegen dreimal dieselbe Zahl zu ziehen?
Auf einen Blick
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Zählprinzip: Bei mehreren Stufen multiplizierst du die Anzahlen der Möglichkeiten: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots$
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Mit Wiederholung bleibt die Anzahl pro Stufe gleich ($n^k$). Ohne Wiederholung sinkt sie um $1$ pro Stufe.
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Anordnungen von $n$ verschiedenen Dingen: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$.
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Bei Bedingungen zuerst die eingeschränkte Stelle zählen. Bei „nicht“ oder „mindestens“ das Gegenteil zählen.
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Laplace: $P(E) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}$, beide Anzahlen mit dem Zählprinzip.