Begriff der linearen Funktion. Arten
Ein Klempner im Ruhrgebiet berechnet eine feste Anfahrtspauschale plus einen Preis pro Arbeitsstunde. Ein Wassertank wird von einer Pumpe immer gleich schnell geleert. Eine Handy-Flatrate kostet jeden Monat gleich viel, egal wie viel du telefonierst. Alle drei Situationen lassen sich mit einer Geraden beschreiben, aber es sind nicht dieselben Arten von Funktionen. Wie man sie unterscheidet, lernst du hier.
Proportional, linear oder konstant
In Deutschland nennt man alle Funktionen der Form $f(x) = mx + b$ lineare Funktionen. Je nach Werten von $m$ und $b$ unterscheidet man drei Arten.
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Die Gerade $y = 0{,}7x$ geht durch den Ursprung: proportionale Funktion.
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Die Gerade $y = 0{,}5x + 40$ schneidet die y-Achse bei $40$: lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt.
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Die Gerade $y = 70$ ist waagerecht: konstante Funktion. Der Funktionswert ist $70$, egal welches $x$ man einsetzt.
Bestimme die Steigung ($m$) und den y-Achsenabschnitt ($n$) der folgenden linearen Funktionen: a) $y = 5x - 2$ b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$ c) $y = 8$ d) $y = \frac{x}{2}$
Bestimme die Steigung ($m$) und den y-Achsenabschnitt ($n$) der folgenden linearen Funktionen:
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a) $y = 5x - 2$
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b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$
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c) $y = 8$
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d) $y = \frac{x}{2}$
Ordne die folgenden Funktionen ein: proportionale Funktion (Ursprungsgerade), lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt (affine Funktion) oder konstante Funktion: a)…
Ordne die folgenden Funktionen ein: proportionale Funktion (Ursprungsgerade), lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt (affine Funktion) oder konstante Funktion:
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a) $y = -3x + 5$
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b) $y = \frac{4}{5}x$
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c) $y = -7$
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d) $y = x$
Steigung und y-Achsenabschnitt
In $y = mx + b$ gibt die Steigung $m$ an, um wie viel $y$ wächst (oder fällt), wenn $x$ um $1$ größer wird. Der y-Achsenabschnitt $b$ ist der Funktionswert bei $x = 0$: Dort schneidet der Graph die y-Achse.
Verändere $m$ und $b$ und beobachte den Graphen:
Der Graph schneidet die x-Achse in der Nullstelle: Dort ist $f(x) = 0$. Aus $mx + b = 0$ folgt $x = -\frac{b}{m}$ (für $m \neq 0$). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $N\left(-\frac{b}{m}\middle|0\right)$, der mit der y-Achse $(0|b)$.
Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = -2x + 9$. Berechne die Funktionswerte von $x = 3$, $x = -1$ und $x = \frac{1}{2}$.
Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = -2x + 9$. Berechne die Funktionswerte von $x = 3$, $x = -1$ und $x = \frac{1}{2}$.
Gib die Gleichung der konstanten Funktion an, die durch den Punkt $A(-3|6)$ verläuft. Welchen genauen Wert hat ihre Steigung?
Gib die Gleichung der konstanten Funktion an, die durch den Punkt $A(-3|6)$ verläuft. Welchen genauen Wert hat ihre Steigung?
Berechne die exakten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ($X$-Achse und $Y$-Achse) der linearen Funktion $y = \frac{2}{5}x - 4$.
Berechne die exakten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ($X$-Achse und $Y$-Achse) der linearen Funktion $y = \frac{2}{5}x - 4$.
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung $m$, aber verschiedene y-Achsenabschnitte $b$ haben. Zum Beispiel ist $y = 2x + 1$ parallel zu $y = 2x - 5$.
Die Punktprobe
Liegt ein Punkt $P(a|b)$ auf dem Graphen einer Funktion? Das prüfst du mit der Punktprobe: Setze $x = a$ in den Funktionsterm ein. Kommt $b$ heraus, liegt der Punkt auf dem Graphen, sonst nicht.
Bestimme rechnerisch, ob die Punkte $A(2|5)$ und $B(-1|-3)$ auf dem Graphen der Funktion $y = 3x - 1$ liegen.
Bestimme rechnerisch, ob die Punkte $A(2|5)$ und $B(-1|-3)$ auf dem Graphen der Funktion $y = 3x - 1$ liegen.
Berechne die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(0|4)$ und $B(2|10)$ verläuft.
Berechne die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(0|4)$ und $B(2|10)$ verläuft.
Um die Funktion $y = 8 - 2x$ einzuordnen und ihr Verhalten am Anfang zu bestimmen, schreibt Karl in seiner Klassenarbeit: „Es ist eine proportionale Funktion, weil ihr…
Um die Funktion $y = 8 - 2x$ einzuordnen und ihr Verhalten am Anfang zu bestimmen, schreibt Karl in seiner Klassenarbeit:
„Es ist eine proportionale Funktion, weil ihr Graph eine Gerade ist. Ihre Steigung ist $m = 8$, weil das der erste Wert ist, der vorkommt, und ihr y-Achsenabschnitt ist $b = -2$. Außerdem verläuft der Graph, weil sie proportional ist, zwingend durch den Punkt $(0|0)$."
- a) Nenne die drei inhaltlichen Fehler, die Karl in seiner Erklärung gemacht hat.
- b) Korrigiere Karls Aussagen, indem du die tatsächliche Steigung und den tatsächlichen y-Achsenabschnitt der Funktion angibst, und ordne sie mit Begründung richtig ein.
- c) Zeige rechnerisch, dass der Graph nicht durch den Ursprung $(0|0)$ verläuft, indem du den Funktionswert von $x = 0$ berechnest.
Von der Tabelle zur Gleichung
Gehört eine Wertetabelle zu einer proportionalen Funktion, ist der Quotient $\frac{y}{x}$ immer gleich. Diese Konstante ist die Steigung $m$.
Bei einer Funktion mit y-Achsenabschnitt ist stattdessen die Differenz konstant: Wächst $x$ immer um gleich viel, wächst $y$ auch immer um gleich viel. Daraus ergibt sich $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Auch aus zwei Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ kannst du die Gleichung bestimmen: Berechne zuerst $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Setze dann einen der Punkte in $y = mx + b$ ein und löse nach $b$ auf.
Gib die Gleichung der proportionalen Funktion an, deren Graph durch den Punkt $P(4|-12)$ verläuft.
Gib die Gleichung der proportionalen Funktion an, deren Graph durch den Punkt $P(4|-12)$ verläuft.
Eine proportionale Funktion ist durch die folgende Wertetabelle gegeben. Bestimme ihre Funktionsgleichung $y = f(x)$. $x$: $2, 4, 6$ $y$: $7, 14, 21$
Eine proportionale Funktion ist durch die folgende Wertetabelle gegeben. Bestimme ihre Funktionsgleichung $y = f(x)$.
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$x$: $2, 4, 6$
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$y$: $7, 14, 21$
Betrachte die folgende grafische Darstellung mit den zwei Geraden $A$ und $B$. Bestimme den Funktionsterm jeder Geraden, indem du die Punkte untersuchst, durch die sie…
Betrachte die folgende grafische Darstellung mit den zwei Geraden $A$ und $B$. Bestimme den Funktionsterm jeder Geraden, indem du die Punkte untersuchst, durch die sie verlaufen.
Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte $P(-2|5)$ und $Q(1|-4)$ verläuft.
Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte $P(-2|5)$ und $Q(1|-4)$ verläuft.
Sachsituationen modellieren
Um einen Text in eine Funktion zu übersetzen, fragst du zuerst: Gibt es einen festen Betrag (eine Grundgebühr, einen Anfangswert)? Dann ist $b \neq 0$. Dann fragst du: Um wie viel ändert sich $y$ pro Einheit von $x$? Das ist $m$.
Beim städtischen Mobilitätsangebot einer deutschen Stadt verlangt der E-Scooter-Anbieter $1$ € Grundgebühr fürs Entsperren plus $0,20$ € pro Fahrminute. Der städtische…
Beim städtischen Mobilitätsangebot einer deutschen Stadt verlangt der E-Scooter-Anbieter $1$ € Grundgebühr fürs Entsperren plus $0,20$ € pro Fahrminute. Der städtische Leihfahrraddienst dagegen verlangt nur $0,15$ € pro Minute, ohne Entsperrgebühr.
- a) Gib für beide Verkehrsmittel die Funktion an, die die Kosten $y$ (in Euro) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer $x$ (in Minuten) beschreibt.
- b) Ordne jede Funktion als proportional oder affin ein, bestimme jeweils die Steigung ($m$) und den y-Achsenabschnitt ($b$) und erkläre, was diese beiden Werte auf der Rechnung bedeuten.
- c) Wenn dir höchstens $3$ € zur Verfügung stehen, wie viele volle Minuten kannst du höchstens mit dem E-Scooter fahren?
Ein Klempner verlangt $40$ € Anfahrtspauschale plus $25$ € pro Arbeitsstunde. Gib die Funktion an, die die Gesamtkosten des Einsatzes ($y$) mit den Arbeitsstunden ($x$)…
Ein Klempner verlangt $40$ € Anfahrtspauschale plus $25$ € pro Arbeitsstunde. Gib die Funktion an, die die Gesamtkosten des Einsatzes ($y$) mit den Arbeitsstunden ($x$) verknüpft. Wie viel kostet eine Reparatur, die $3,5$ Stunden gedauert hat?
Eine Feder ist im Ruhezustand $15$ cm lang. Beim Anhängen von Gewichten stellt man fest, dass sich die Feder pro hinzugefügtem Kilogramm um $3$ cm dehnt (nach dem…
Eine Feder ist im Ruhezustand $15$ cm lang. Beim Anhängen von Gewichten stellt man fest, dass sich die Feder pro hinzugefügtem Kilogramm um $3$ cm dehnt (nach dem hookeschen Gesetz). Gib die lineare Funktion an, die die Gesamtlänge der Feder ($L$) mit der angehängten Masse in Kilogramm ($m$) verknüpft. Welche Länge hat die Feder, wenn wir $4,5$ kg anhängen?
Zwei Telefonanbieter bieten unterschiedliche Tarife an. Im Graphen der monatlichen Kosten in Euro ($C$) in Abhängigkeit von den Gesprächsminuten ($t$) verläuft die…
Zwei Telefonanbieter bieten unterschiedliche Tarife an. Im Graphen der monatlichen Kosten in Euro ($C$) in Abhängigkeit von den Gesprächsminuten ($t$) verläuft die Gerade von Tarif A durch die Punkte $(0|10)$ und $(200|20)$, während die von Tarif B durch den Ursprung $(0|0)$ und $(200|20)$ verläuft. Bestimme anhand des Graphen den Term jedes Tarifs und erkläre, indem du das entsprechende Gleichungssystem löst, ab wie vielen Minuten sich Tarif A gegenüber Tarif B lohnt.
Zurück zum Anfang: Die Kosten des Klempners sind linear mit y-Achsenabschnitt (feste Anfahrt), das Leeren des Tanks ist eine Gerade mit negativer Steigung (pro Minute fließt gleich viel ab), und die Flatrate ist konstant (der Betrag ändert sich nie).