Lineare Funktionen. Steigung

Bestimme die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(1|4)$ und $B(3|10)$ verläuft.

Betrachte den folgenden Graphen und bestimme die Steigung der dargestellten Geraden.

Die Gerade durch die Punkte $P(2|5)$ und $Q(4|y)$ hat die Steigung $m = 3$. Berechne den Wert der unbekannten Koordinate $y$.

Gegeben ist die lineare Funktion $y = -3x + 5$. Gib ihre Steigung und ihren y-Achsenabschnitt an. Ist die Funktion monoton steigend oder fallend?

Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Variablen ist durch die folgende Wertetabelle gegeben:

Berechne die Steigung dieser Funktion.

Gegeben sind die folgenden Geraden: $y = 2x$, $y = 0,5x$, $y = -x$, $y = -4x$. Ordne sie von der geringsten zur größten Neigung (Betrag der Steigung) und teile sie in steigende und fallende Geraden ein.

Betrachte die beiden im Graphen dargestellten Geraden. Berechne die Steigung jeder Geraden und gib an, welche das stärkere Wachstum darstellt.

Ein Wasserhahn füllt einen Tank mit $3$ Litern pro Minute. Wenn sich anfangs $10$ Liter im Tank befanden, welche Steigung hat die Funktion, die das Wasservolumen mit der vergangenen Zeit verknüpft?

Ein Flugzeug sinkt mit konstanter Geschwindigkeit zur Landung. $10$ Minuten nach Beginn des Manövers befindet es sich in $8000$ Metern Höhe, und nach $25$ Minuten in $3500$ Metern. Berechne die Steigung der Funktion, die die Höhe mit der Zeit verknüpft, und deute ihre Bedeutung in diesem Zusammenhang.

Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Grundgebühr plus einen Preis pro Nutzungsstunde. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für $2$ Stunden $14$ € kostet und für $5$ Stunden $26$ €, bestimme die Steigung der Kostenfunktion und erkläre, was dieser Wert im Zusammenhang der Aufgabe darstellt.

Das folgende Diagramm zeigt die Fahrt eines Güterzugs, der eine Hinfahrt macht, einen Halt einlegt und zu seinem Ausgangspunkt zurückfährt. Berechne die Steigung in jedem der drei Abschnitte und deute das Ergebnis als Geschwindigkeit (in km/h).

Gib die Gleichung der Geraden in der Form y = mx + b an, die die Steigung $m = \frac{1}{2}$ hat und die y-Achse im Punkt $(0|-4)$ schneidet.

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade durch die Punkte $A(k|3)$ und $B(2k - 1|7)$ die Steigung $m = -2$ hat.

Zwei Größen $x$ und $y$ stehen in einem linearen Zusammenhang. Wenn man weiß, dass $y$ um $3$ Einheiten abnimmt, wenn $x$ um $5$ Einheiten zunimmt, und dass die Gerade durch den Punkt $(10|-2)$ verläuft, gib die Gleichung der linearen Funktion in der Form y = mx + b an, die sie verknüpft.

Eine Feder dehnt sich proportional zur angreifenden Kraft (Hookesches Gesetz). Hängt man ein Gewicht von $2$ kg an, beträgt die Gesamtlänge der Feder $15$ cm. Bei einem Gewicht von $5$ kg beträgt ihre Gesamtlänge $21$ cm. Berechne die Steigung der Funktion, die die Länge dem Gewicht zuordnet, stelle ihre Gleichung auf und gib an, wie lang die Feder im Ruhezustand (ohne Gewicht) ist.

Der Wert einer Industriemaschine sinkt linear mit der Zeit. Sie wurde neu für $45000$ € gekauft und nach $6$ Jahren auf $18000$ € geschätzt. Berechne die Steigung der Funktion, die dem Alter den Wert zuordnet, bestimme, in welchem Jahr die Maschine rechnerisch ihren gesamten Wert verliert, und stelle den Funktionsterm auf.

Bestimme die Steigung der Geraden mit der allgemeinen Gleichung $4x - 5y + 20 = 0$. Schreibe anschließend ihre Gleichung in der Form y = mx + b.

Gib die Gleichung einer Geraden an, die parallel zu $y = -\frac{3}{4}x + 2$ ist und durch den Punkt $(-8|5)$ verläuft.

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $A(-2|5)$, $B(1|-1)$ und $C(5|-9)$ auf einer Geraden liegen, indem du die Steigungen der Verbindungsstrecken berechnest und vergleichst.

Man möchte prüfen, ob drei landwirtschaftliche Parzellen, deren Zufahrten in einem Katasterplan in den Punkten $A(-2|-5)$, $B(2|1)$ und $C(6|7)$ liegen, genau auf einer Linie entlang eines geradlinigen Bewässerungskanals liegen. Zwei Techniker schlagen unterschiedliche Methoden vor:

• Lauras Methode: Berechne die Steigung des Abschnitts zwischen $A$ und $B$, dann die Steigung des Abschnitts zwischen $B$ und $C$, und prüfe, ob beide übereinstimmen.

• Karls Methode: Bestimme die Gleichung der Geraden durch $A$ und $B$ ($y = mx + b$) und prüfe dann, ob die Koordinaten von $C$ diese Gleichung erfüllen.

1. a) Löse die Aufgabe, indem du Lauras Methode Schritt für Schritt anwendest, und entscheide, ob die Punkte auf einer Geraden liegen.
2. b) Löse dieselbe Aufgabe mit Karls Methode, um das Ergebnis zu bestätigen.
3. c) Analysiere beide Verfahren: Welche der beiden Methoden ist effizienter und zweckmäßiger, wenn ein Landvermesser die Ausrichtung von zehn aufeinanderfolgenden Parzellen prüfen müsste? Begründe deine Wahl, indem du den Rechenaufwand der beiden Möglichkeiten bewertest.