Wurzeln

Berechne im Kopf den Wert der folgenden exakten Wurzeln. Achte auf den Wurzelexponenten, um zu wissen, welche Zahl, ein-, zwei- oder mehrmals mit sich selbst multipliziert, den Radikanden ergibt.

1. a) $\sqrt{49}$
2. b) $\sqrt[3]{-8}$
3. c) $\sqrt[4]{16}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt[3]{1000}$
6. f) $\sqrt[5]{-1}$

Potenzieren und Wurzelziehen sind Umkehroperationen, ähnlich wie Addition und Subtraktion. Schreibe die folgenden Gleichungen als Wurzel, wie im Beispiel:

Beispiel: Da $5^2 = 25$, gilt $\sqrt{25} = 5$

1. a) $9^2 = 81$
2. b) $6^3 = 216$
3. c) $(-4)^3 = -64$
4. d) $10^4 = 10000$
5. e) $2^5 = 32$

Wir wollen in einem vollkommen quadratischen Raum einer Turnhalle einen Korkboden verlegen. Wir wissen, dass die gesamte Fläche (der Flächeninhalt) des Raums $144 \text{ m}^2$ beträgt.

Berechne, wie lang jede Seite des Raums ist. Nutze die folgende Zeichnung zur Veranschaulichung.

Berechne den Wert der folgenden exakten Wurzeln. Wenn die Wurzel zwei mögliche Lösungen hat, gib beide an. Wenn sie in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung hat, erkläre, warum:

1. a) $\sqrt[3]{-64}$
2. b) $\sqrt[4]{81}$
3. c) $\sqrt[6]{-1}$
4. d) $\sqrt{\frac{121}{144}}$

Berechne im Kopf oder mithilfe der Primfaktorzerlegung den exakten Wert der folgenden Quadratwurzeln. Wenn das Ergebnis ein Bruch oder eine Dezimalzahl ist, gib es richtig an.

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{400}$
3. c) $\sqrt{0,36}$
4. d) $\sqrt{\frac{64}{225}}$

Löse die folgenden einfachen Gleichungen, bei denen die Variable mit einer Quadratwurzel oder einem Quadrat zusammenhängt. Denke daran, dass die Umkehroperation der Wurzel das Potenzieren ist.

1. a) $\sqrt{x} = 9$
2. b) $x^2 = 169$ (Gib die beiden möglichen Lösungen an.)
3. c) $\sqrt{x + 1} = 5$

Nicht alle Wurzeln ergeben eine exakte ganze Zahl. Gib ohne Taschenrechner an, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die folgenden Wurzeln liegen.

Beispiel: $\sqrt{10}$ liegt zwischen 3 und 4, weil $3^2=9$ und $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{90}$
4. d) $\sqrt[3]{9}$ (Denke an Kubikzahlen: $1^3=1, 2^3=8, 3^3=27...$)

In der Mathematik ist es sehr wichtig, die Rechengesetze der Operationen nicht zu verwechseln. Überprüfe an folgendem Beispiel, ob die Wurzel einer Summe gleich der Summe der Wurzeln ist.

Berechne getrennt:

1. $\sqrt{64 + 36}$ (Addiere zuerst die Zahlen unter der Wurzel und ziehe dann die Wurzel.)

2. $\sqrt{64} + \sqrt{36}$ (Berechne jede Wurzel einzeln und addiere dann die Ergebnisse.)

Ergeben beide Rechnungen dasselbe? Entscheide, ob $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ gilt.

Manchmal muss man Faktoren unter die Wurzel ziehen, um Zahlen zu vergleichen oder bestimmte Rechnungen durchzuführen. Ziehe die Faktoren unter die Wurzel und vereinfache das Ergebnis:

1. a) $3 \cdot \sqrt{2}$
2. b) $2 \cdot \sqrt[3]{5}$
3. c) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{20}$

Schätze ohne Taschenrechner den Wert von $\sqrt{60}$ mit einer Nachkommastelle. Gehe dazu so vor:

1. Finde die beiden Quadratzahlen, die 60 am nächsten liegen.

2. Interpoliere linear oder nutze das Verfahren des begründeten Probierens, um die erste Nachkommastelle zu bestimmen.

3. Berechne, sobald du deine Schätzung hast, den absoluten Fehler, wenn du weißt, dass der ungefähre wahre Wert $7,74$ beträgt.

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben. Die allgemeine Regel lautet $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Wandle die folgenden Ausdrücke um:

1. Von der Wurzel zur Potenz:

a) $\sqrt{5}$

b) $\sqrt[3]{2}$

c) $\sqrt[5]{x^3}$

1. Von der Potenz zur Wurzel:

d) $3^{\frac{1}{2}}$

e) $7^{\frac{2}{3}}$

f) $a^{\frac{1}{4}}$

Vereinfache die folgenden Wurzeln, bis du eine nicht weiter vereinfachbare Wurzel erhältst. Denke daran, dass du den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden durch dieselbe Zahl (ggT) teilen kannst.

1. a) $\sqrt[6]{x^4}$
2. b) $\sqrt[12]{64}$ (Hilfe: Zerlege zuerst die 64 in Primfaktoren.)
3. c) $\sqrt[10]{a^5 \cdot b^{15}}$

Marcos soll in einer Klassenaufgabe den Wert des Terms $\sqrt{64 + 36}$ berechnen. In sein Heft schreibt er die folgenden Schritte:

1. a) Erkläre ausführlich, welchen Fehler Marcos macht und welches Wurzelgesetz er falsch angewendet hat.
2. b) Korrigiere die Aufgabe, indem du das richtige Ergebnis Schritt für Schritt berechnest.
3. c) Erfinde ein weiteres Zahlenbeispiel mit zwei verschiedenen Quadratzahlen, um erneut zu zeigen, dass $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Eine Landschaftsarchitektin in Düsseldorf plant einen kleinen quadratischen Gemeinschaftsplatz mit einem Flächeninhalt von genau $50\text{ m}^2$.

1. a) Schätze ohne Taschenrechner, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Metern die Seitenlänge des Platzes liegen muss. Begründe deine Antwort, indem du die beiden Quadratzahlen angibst, die 50 am nächsten liegen.
2. b) Nach einer ersten Skizze schlägt die Architektin vor, dass jede Seite vorläufig $7{,}1\text{ m}$ lang sein soll. Prüfe von Hand, ob diese Schätzung zu klein (kleiner als der wahre Wert) oder zu groß (größer als der wahre Wert) ist, indem du den exakten Wert von $7{,}1^2$ berechnest.
3. c) Hältst du angesichts des Ergebnisses $7{,}1\text{ m}$ für eine vernünftige Näherung, um die Baustelle in der Praxis abzustecken? Begründe deine Antwort.

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem drei ungefähre Punkte (A, B und C) markiert sind.

Ordne ohne Taschenrechner jede der folgenden Wurzeln begründet dem Punkt (A, B oder C) zu, der ihren Wert am besten darstellt, indem du abschätzt, zwischen welchen ganzen Zahlen sie liegt:

1. $\sqrt{5}$

2. $\sqrt[3]{2}$

3. $\sqrt{10}$

Die Verkehrsbehörden und die Polizei verwenden mathematische Modelle mit Wurzeln, um aus den Bremsspuren auf trockenem Asphalt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs abzuschätzen. Auf einem bestimmten innerstädtischen Abschnitt ergibt sich die geschätzte Geschwindigkeit $v$ (in Kilometern pro Stunde) aus dem Term:

wobei $d$ die Länge der Bremsspur in Metern angibt.

1. a) In einer Straße mit der Höchstgeschwindigkeit $50\text{ km/h}$ hinterlässt ein Auto eine Bremsspur von $16\text{ m}$. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit es vor dem Bremsen fuhr, und gib an, ob es die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten hat.
2. b) In einer Ortsdurchfahrt mit der Höchstgeschwindigkeit $80\text{ km/h}$ wird nach einem Vorfall eine Bremsspur von $36\text{ m}$ gemessen. Bestimme, ob der Fahrer eine Geschwindigkeitsübertretung begangen hat.
3. c) Wenn sich der Bremsweg eines Autos vervierfacht (von $d$ auf $4d$), vervierfacht sich dann auch seine Anfangsgeschwindigkeit? Begründe deine Antwort mathematisch mithilfe der Wurzelgesetze.

Wir wollen einen sehr langen Metallstab in einer Kiste in Form eines Quaders (einem rechteckigen Schuhkarton) verstauen. Die Maße der Kiste sind $30 \text{ cm}$ Länge, $40 \text{ cm}$ Breite und $120 \text{ cm}$ Höhe.

Berechne die exakte maximale Länge, die der Stab haben darf, damit er ohne Knicken in die Kiste passt (entlang der Raumdiagonale). Gib das Ergebnis zuerst mit einer Wurzel an und berechne dann seinen exakten Wert.

Wir haben zwei kugelförmige Wassertanks. Wir wissen, dass das Volumen des großen Tanks das 27-Fache des Volumens des kleinen Tanks beträgt.

Wenn der Radius des kleinen Tanks $r = 50 \text{ cm}$ beträgt, wie groß ist dann der Radius des großen Tanks ($R$)?

Hinweis: Denke daran, dass das Volumen einer Kugel von der dritten Potenz des Radius abhängt ($V \propto r^3$). Du brauchst die genaue Volumenformel nicht; argumentiere mit dem Verhältnis der Volumina und der Kubikwurzel.

Um irrationale Zahlen exakt auf der Zahlengeraden darzustellen, verwenden wir den Satz des Pythagoras. Wir wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 gleich $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ ist. Nach dieser Überlegung:

Erkläre ausführlich und Schritt für Schritt, wie du die Zahl $\sqrt{29}$ mit Lineal und Zirkel auf der Zahlengeraden darstellen würdest. Gib an, welche ganzen Zahlen du als Maße für die Katheten des rechtwinkligen Hilfsdreiecks verwenden würdest. Stütze dich bei deiner Begründung auf die folgende Skizze.