Kubikwurzeln
Ein würfelförmiger Wassertank soll genau $8\,\text{m}^3$ Wasser fassen. Wie lang muss eine Kante sein? Bei einem Quadrat mit gegebener Fläche hilft die Quadratwurzel. Bei einem Würfel mit gegebenem Volumen brauchst du etwas Neues: die Kubikwurzel.
Was ist eine Kubikwurzel?
Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a$ ist $V = a \cdot a \cdot a = a^3$. Gesucht ist hier die Umkehrung: Aus dem Volumen $V$ soll die Kantenlänge $a$ bestimmt werden.
Du solltest die ersten Kubikzahlen im Kopf haben:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^3$ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 1.000 |
Daraus folgen sofort $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{125}=5$ und $\sqrt[3]{1000}=10$.
Berechne ohne Taschenrechner: a) $\sqrt[3]{8}$ b) $\sqrt[3]{27}$ c) $\sqrt[3]{125}$ d) $\sqrt[3]{1000}$
Berechne ohne Taschenrechner:
- a) $\sqrt[3]{8}$
- b) $\sqrt[3]{27}$
- c) $\sqrt[3]{125}$
- d) $\sqrt[3]{1000}$
Ein Würfel hat das Volumen $64 \text{ cm}^3$. a) Berechne die Kantenlänge des Würfels. b) Berechne die Oberfläche des Würfels.
Ein Würfel hat das Volumen $64 \text{ cm}^3$.
- a) Berechne die Kantenlänge des Würfels.
- b) Berechne die Oberfläche des Würfels.
Gleichungen der Form $x^3 = a$
Die Gleichung $x^3=a$ löst du durch Ziehen der dritten Wurzel. Im Gegensatz zu $x^2=a$ gibt es dabei genau eine Lösung, denn jede reelle Zahl hat genau eine dritte Wurzel.
Bei negativen Zahlen unterscheiden sich die Wurzeln:
| Quadratwurzel | Kubikwurzel | |
|---|---|---|
| Radikand positiv | $\sqrt{4}=2$ | $\sqrt[3]{8}=2$ |
| Radikand negativ | $\sqrt{-4}$ nicht definiert | $\sqrt[3]{-8}=-2$ |
| Gleichung $x^n=a$, $a>0$ | zwei Lösungen $\pm\sqrt a$ | eine Lösung $\sqrt[3]{a}$ |
Warum? Ein Quadrat ist nie negativ ($(-2)^2=4$ und $2^2=4$). Aber ein negativer Faktor, dreimal multipliziert, bleibt negativ: $(-2)^3=-8$.
Löse die Gleichungen: a) $x^3 = 343$ b) $x^3 = 0{,}001$ c) $x^3 = \frac{1}{8}$
Löse die Gleichungen:
- a) $x^3 = 343$
- b) $x^3 = 0{,}001$
- c) $x^3 = \frac{1}{8}$
Lena behauptet: „$\sqrt[3]{-8} = -2$, aber $\sqrt{-4}$ gibt es nicht. Deshalb kann man aus negativen Zahlen manchmal die dritte, aber nie die zweite Wurzel ziehen.“ a)…
Lena behauptet: „$\sqrt[3]{-8} = -2$, aber $\sqrt{-4}$ gibt es nicht. Deshalb kann man aus negativen Zahlen manchmal die dritte, aber nie die zweite Wurzel ziehen.“
- a) Überprüfe die Aussage $\sqrt[3]{-8} = -2$ durch eine Probe.
- b) Begründe, warum es keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 = -4$ gibt.
- c) Löse $x^3 = -125$ und $x^3 + 27 = 0$.
Nicht glatte Kubikwurzeln und Anwendungen
Nicht jede Zahl ist eine Kubikzahl. Dann liegt die Wurzel zwischen zwei ganzen Zahlen. Beispiel: $\sqrt[3]{50}$. Wegen $3^3=27$ und $4^3=64$ gilt $3<\sqrt[3]{50}<4$. Den genauen Wert liefert der Taschenrechner (Taste $\sqrt[3]{\ }$): $\sqrt[3]{50}\approx3{,}68$.
Hilfreich ist die Beziehung zur Kugel: Aus $V=\tfrac43\pi r^3$ folgt $r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.
Ein würfelförmiger Wassertank in Münster fasst $2{,}197 \text{ m}^3$ Wasser. a) Berechne die Kantenlänge des Tanks in Metern. b) Wie viele Liter Wasser passen in den…
Ein würfelförmiger Wassertank in Münster fasst $2{,}197 \text{ m}^3$ Wasser.
- a) Berechne die Kantenlänge des Tanks in Metern.
- b) Wie viele Liter Wasser passen in den Tank?
- c) Der Tank soll innen gestrichen werden (Boden und vier Seitenwände). Berechne die Fläche.
Ein Würfel aus Eisen hat die Masse $7{,}8 \text{ kg}$. Die Dichte von Eisen beträgt $7{,}8 \text{ g/cm}^3$. a) Berechne das Volumen des Würfels in $\text{cm}^3$. b)…
Ein Würfel aus Eisen hat die Masse $7{,}8 \text{ kg}$. Die Dichte von Eisen beträgt $7{,}8 \text{ g/cm}^3$.
- a) Berechne das Volumen des Würfels in $\text{cm}^3$.
- b) Berechne die Kantenlänge des Würfels.
Aus einem Metallwürfel mit der Kantenlänge $6 \text{ cm}$ und einem Würfel mit der Kantenlänge $8 \text{ cm}$ wird durch Einschmelzen ein neuer, größerer Würfel…
Aus einem Metallwürfel mit der Kantenlänge $6 \text{ cm}$ und einem Würfel mit der Kantenlänge $8 \text{ cm}$ wird durch Einschmelzen ein neuer, größerer Würfel gegossen.
- a) Berechne das Gesamtvolumen.
- b) Berechne die Kantenlänge des neuen Würfels.
- c) Vergleiche sie mit der Summe $6 \text{ cm} + 8 \text{ cm}$ und erkläre kurz den Unterschied.
Ein Würfel hat die Kantenlänge $a$. Die Kantenlänge wird verdoppelt. a) Um welchen Faktor wächst das Volumen? b) Um welchen Faktor muss die Kantenlänge vergrößert…
Ein Würfel hat die Kantenlänge $a$. Die Kantenlänge wird verdoppelt.
- a) Um welchen Faktor wächst das Volumen?
- b) Um welchen Faktor muss die Kantenlänge vergrößert werden, damit das Volumen auf das $5$-fache wächst? Gib das Ergebnis als Wurzelterm und gerundet auf zwei Nachkommastellen an.
- c) Ein Würfel hat das Volumen $V$. Begründe, dass die Kantenlänge eines Würfels mit dem Volumen $27V$ genau dreimal so lang ist.
Eine Kugel und ein Würfel haben dasselbe Volumen $V = 1000 \text{ cm}^3$. a) Berechne die Kantenlänge des Würfels. b) Berechne den Radius der Kugel (mit…
Eine Kugel und ein Würfel haben dasselbe Volumen $V = 1000 \text{ cm}^3$.
- a) Berechne die Kantenlänge des Würfels.
- b) Berechne den Radius der Kugel (mit $V = \frac{4}{3}\pi r^3$) auf eine Nachkommastelle genau.
- c) Welcher Körper hat die kleinere Oberfläche? Begründe mit Rechnung (Kugeloberfläche: $O = 4\pi r^2$).
Zurück zum Anfang: Für $8\,\text{m}^3$ braucht der Tank eine Kante von $\sqrt[3]{8}=2\,\text{m}$.