Quadratische Funktion (Parabel)
Ein Freiwurf im Basketball, der Wasserstrahl einer Fontäne im Park oder der Wurf eines Speers: Alle diese Flugbahnen haben dieselbe Form, eine Parabel. Jede Parabel hat einen höchsten oder tiefsten Punkt. Die Frage lautet: Wie findest du diesen Punkt, ohne lange zu probieren? Und wie hängt er mit dem Funktionsterm zusammen?
Normalform, Scheitelpunktform und Parabel
Bei linearen Funktionen kommt $x$ nur in der ersten Potenz vor. Hier kommt $x^2$ dazu. Das verändert den Graphen: Er ist keine Gerade mehr, sondern eine gebogene Kurve.
Die Parabel ist symmetrisch: Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt ist die Symmetrieachse. Der Betrag von $a$ bestimmt, wie weit die Parabel geöffnet ist. Für $|a| > 1$ ist sie gestreckt (schmaler als die Normalparabel), für $0 < |a| < 1$ gestaucht (breiter).
Probiere die Schieberegler aus. Was passiert mit der Öffnung, wenn $a$ negativ wird? Und was ändert sich, wenn du $c$ veränderst? Der Wert $c$ ist der y-Achsenabschnitt, denn $f(0)=c$.
Die Scheitelpunktform beschreibt die Verschiebung der Normalparabel: Für $f(x)=(x-d)^2+e$ wird die Normalparabel um $d$ nach rechts und um $e$ nach oben verschoben.
Wie kommst du von der Normalform zum Scheitelpunkt? Mit der quadratischen Ergänzung: Du ergänzt so, dass in der Klammer eine binomische Formel entsteht.
Betrachte den Graphen der folgenden Parabel, die durch Verschiebung von $y = x^2$ entsteht. Gib ihre Funktionsgleichung in der Form $f(x) = (x - h)^2 + k$ an und…
Betrachte den Graphen der folgenden Parabel, die durch Verschiebung von $y = x^2$ entsteht. Gib ihre Funktionsgleichung in der Form $f(x) = (x - h)^2 + k$ an und multipliziere sie aus, um sie als Polynom zweiten Grades zu schreiben.
Stelle die Gleichung der Parabel auf, die entsteht, wenn man den Graphen von $y = -2x^2$ um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach oben verschiebt.
Stelle die Gleichung der Parabel auf, die entsteht, wenn man den Graphen von $y = -2x^2$ um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach oben verschiebt.
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts, die Gleichung der Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung der Parabel $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts, die Gleichung der Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung der Parabel $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Die Funktionsgleichung aufstellen
Manchmal ist der Scheitelpunkt oder ein Punkt der Parabel bekannt, und du suchst den Funktionsterm. Dann hilft die Scheitelpunktform und die Punktprobe: Du setzt die Koordinaten eines Punktes in die Gleichung ein.
Auch wenn in der Normalform ein Koeffizient fehlt, hilft die Punktprobe: Setze den Punkt ein und löse die entstehende lineare Gleichung.
Kennst du drei Punkte der Parabel, nutzt du die Punktprobe. Liegt ein Punkt auf der y-Achse, ist $c$ sofort bekannt. Liegt ein Punkt bei $x=1$, erhältst du $a+b$ direkt. Den dritten Punkt setzt du dann ein und löst nach einer Unbekannten auf.
Berechne den Wert des Koeffizienten $c$ so, dass die Parabel mit der Gleichung $y = x^2 - 6x + c$ durch den Punkt $P(2|-3)$ verläuft.
Berechne den Wert des Koeffizienten $c$ so, dass die Parabel mit der Gleichung $y = x^2 - 6x + c$ durch den Punkt $P(2|-3)$ verläuft.
Bestimme die Gleichung der Parabel in der Form $y = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Scheitelpunkt der Punkt $V(-1|4)$ ist und sie die y-Achse in $y = 2$ schneidet.
Bestimme die Gleichung der Parabel in der Form $y = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Scheitelpunkt der Punkt $V(-1|4)$ ist und sie die y-Achse in $y = 2$ schneidet.
Bei einer Parabelschar kommt ein Parameter $m$ im Term vor. Ein fester Punkt liegt für jedes $m$ auf dem Graphen. Du ordnest den Term nach $m$ und wählst $x$ so, dass der Faktor vor $m$ null wird.
Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Graph durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|4)$ und $C(-1|6)$ verläuft.
Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Graph durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|4)$ und $C(-1|6)$ verläuft.
Gegeben ist die Parabelschar mit der Gleichung $f_m(x) = mx^2 - 2mx + 1$, wobei $m$ ein reeller Parameter ungleich null ist. Zeige, dass alle Parabeln dieser Schar durch…
Gegeben ist die Parabelschar mit der Gleichung $f_m(x) = mx^2 - 2mx + 1$, wobei $m$ ein reeller Parameter ungleich null ist. Zeige, dass alle Parabeln dieser Schar durch zwei feste Punkte verlaufen, die unabhängig vom Wert von $m$ sind, und berechne die Koordinaten dieser Punkte.
Schnittpunkte mit den Achsen
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer $S_y(0\mid c)$, denn $f(0)=c$. Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) sind die Lösungen von $f(x)=0$. Es gibt zwei, eine oder keine Nullstelle.
So gehst du vor: Bringe den Term in die Scheitelpunktform, setze $a(x-d)^2+e=0$ und löse durch Wurzelziehen. Am Graphen oder in einer Wertetabelle kannst du die Nullstellen auch ablesen.
Soll die Parabel eine Gerade schneiden, setzt du die beiden Funktionsterme gleich und löst die entstandene Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in eine der beiden Funktionen ein.
Berechne die Schnittpunkte der quadratischen Funktion $y = -x^2 + x + 6$ mit den Koordinatenachsen.
Berechne die Schnittpunkte der quadratischen Funktion $y = -x^2 + x + 6$ mit den Koordinatenachsen.
Bestimme für die Funktion $f(x) = -2(x - 3)(x + 1)$, ohne sie in die Polynomform auszumultiplizieren, die Schnittpunkte mit der x-Achse, die x-Koordinate des…
Bestimme für die Funktion $f(x) = -2(x - 3)(x + 1)$, ohne sie in die Polynomform auszumultiplizieren, die Schnittpunkte mit der x-Achse, die x-Koordinate des Scheitelpunkts und den maximalen Funktionswert.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Parabel $f(x) = x^2 - 5x + 4$ und der Geraden $g(x) = -x + 1$.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Parabel $f(x) = x^2 - 5x + 4$ und der Geraden $g(x) = -x + 1$.
Definitionsmenge, Wertemenge und Verlauf
Für $x$ darfst du jede reelle Zahl einsetzen. Die Definitionsmenge ist also immer $\mathbb D=\mathbb R$. Die Wertemenge hängt vom Scheitelpunkt $S(d\mid e)$ und von der Öffnung ab.
Wie stark steigt oder fällt die Funktion zwischen zwei Stellen? Dafür betrachtest du die Steigung der Geraden durch die Punkte $(x_1\mid f(x_1))$ und $(x_2\mid f(x_2))$, also das Steigungsdreieck, das du von den linearen Funktionen kennst (Steigung zwischen zwei Stellen): $$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Ist $m>0$, steigt die Funktion in diesem Intervall im Mittel. Ist $m<0$, fällt sie im Mittel.
Der Betrag $|z|$ ist der Abstand von $z$ zur $0$: $|z|=z$ für $z\ge0$ und $|z|=-z$ für $z<0$. Bei $f(x)=|g(x)|$ wird also der Teil des Graphen unterhalb der x-Achse an der x-Achse nach oben gespiegelt. Als abschnittsweise definierte Funktion: $f(x)=g(x)$ dort, wo $g(x)\ge0$, und $f(x)=-g(x)$ dort, wo $g(x)<0$.
Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Gib die Intervalle an, in denen die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$ monoton steigt bzw. monoton fällt.
Gib die Intervalle an, in denen die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$ monoton steigt bzw. monoton fällt.
Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 - 4x$ in den Intervallen $[1;3]$ und $[3;5]$. Was sagen die erhaltenen Vorzeichen über das Wachstum der…
Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 - 4x$ in den Intervallen $[1;3]$ und $[3;5]$. Was sagen die erhaltenen Vorzeichen über das Wachstum der Funktion in diesen Intervallen aus?
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$, nachdem du sie zuvor als abschnittsweise definierte Funktion dargestellt hast. Bestimme ihre…
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$, nachdem du sie zuvor als abschnittsweise definierte Funktion dargestellt hast. Bestimme ihre Monotonieintervalle (steigend und fallend) und ihre lokalen Extrema.
Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort senden.
Anwendungen: Flugbahnen und Extremwerte
Bei Wurfbahnen, Gewinnfunktionen oder Flächenproblemen suchst du oft den größten oder kleinsten Wert. Dieser liegt im Scheitelpunkt. Gehe dabei so vor: Term aufstellen, Scheitelpunkt bestimmen, Ergebnis im Sachzusammenhang deuten und mit einem Antwortsatz abschließen.
Eine Gerade $y=mx+k$ ist Tangente an eine Parabel, wenn sie die Parabel in genau einem Punkt berührt. Du setzt Parabel und Gerade gleich und bringst die Gleichung in die Form $(x-d)^2=r$. Genau eine Lösung gibt es, wenn $r=0$ ist. Daraus bestimmst du $k$.
Zum Anfang zurück: Die Flugbahn des Freiwurfs ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr höchster Punkt ist der Scheitelpunkt, den du mit der quadratischen Ergänzung findest.
Der Wurf eines Speers folgt einer parabelförmigen Flugbahn, die durch die Funktion $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$ gegeben ist. Dabei ist $x$ die waagerechte Entfernung in…
Der Wurf eines Speers folgt einer parabelförmigen Flugbahn, die durch die Funktion $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$ gegeben ist. Dabei ist $x$ die waagerechte Entfernung in Metern vom Werfer und $h(x)$ die Höhe in Metern. Welche maximale Höhe erreicht der Speer? In welcher Entfernung vom Werfer trifft er auf den Boden?
Ein Landwirt hat $120\text{ m}$ Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Auf der Flussseite braucht er keinen Zaun. Welche Maße muss das Feld…
Ein Landwirt hat $120\text{ m}$ Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Auf der Flussseite braucht er keinen Zaun. Welche Maße muss das Feld haben, damit sein Flächeninhalt maximal wird? Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt?
Die Skizze zeigt die Lage von Feld und Fluss:
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite $8\text{ cm}$ und der Höhe $6\text{ cm}$ soll ein Rechteck einbeschrieben werden, wobei eine Seite des Rechtecks auf…
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite $8\text{ cm}$ und der Höhe $6\text{ cm}$ soll ein Rechteck einbeschrieben werden, wobei eine Seite des Rechtecks auf der Grundseite des Dreiecks liegt. Drücke den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von der halben Rechteckbreite $x$ aus und bestimme die Maße des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt.
Berechne den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade mit der Gleichung $y = 2x + k$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 4x + 5$ ist. Bestimme auch die Koordinaten des…
Berechne den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade mit der Gleichung $y = 2x + k$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 4x + 5$ ist. Bestimme auch die Koordinaten des Berührpunkts.