Maßstab bei Flächeninhalten und Volumina
Wenn du die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelst, verdoppelt sich der Flächeninhalt nicht, er wird viermal so groß. Der Streckfaktor $k$ wirkt auf Längen, Flächeninhalte und Volumina unterschiedlich. Wer das verwechselt, macht beim Material und bei den Kosten teure Fehler, zum Beispiel beim Bestellen von Farbe für ein Wandbild oder beim Bau eines Modells.
Längen, Flächeninhalte und Volumina: drei verschiedene Faktoren
Zwei ebene Figuren sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 3$. a) Mit welcher Zahl werden die Längen multipliziert? b) Mit welcher Zahl wird der Flächeninhalt…
Zwei ebene Figuren sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 3$.
a) Mit welcher Zahl werden die Längen multipliziert?
b) Mit welcher Zahl wird der Flächeninhalt multipliziert?
c) Mit welcher Zahl würde das Volumen multipliziert, wenn es sich um Körper handelte?
Zwei Quadrate sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 2$. Das kleine hat $5$ cm Seitenlänge: a) Wie lang ist die Seite des großen? b) Wie groß sind die Flächeninhalte der…
Zwei Quadrate sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 2$. Das kleine hat $5$ cm Seitenlänge:
a) Wie lang ist die Seite des großen?
b) Wie groß sind die Flächeninhalte der beiden Quadrate?
Ein Würfel hat $4$ cm Kantenlänge, ein zweiter, ihm ähnlicher Würfel hat eine doppelt so lange Kante. a) Wie groß ist das Volumen jedes Würfels? b) Wie viel Mal größer…
Ein Würfel hat $4$ cm Kantenlänge, ein zweiter, ihm ähnlicher Würfel hat eine doppelt so lange Kante.
a) Wie groß ist das Volumen jedes Würfels?
b) Wie viel Mal größer ist das Volumen des großen Würfels als das des kleinen?
Rechnen mit dem Verhältnis der Flächeninhalte
Kennst du das Verhältnis der Flächeninhalte und suchst $k$, musst du die Quadratwurzel ziehen, nicht durch $2$ teilen.
Auf einem Plan im Maßstab $1:100$ nimmt ein Zimmer $12\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist sein tatsächlicher Flächeninhalt? Gib ihn in Quadratmetern an.
Auf einem Plan im Maßstab $1:100$ nimmt ein Zimmer $12\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist sein tatsächlicher Flächeninhalt? Gib ihn in Quadratmetern an.
Eine Künstlerin malt ein Wandbild nach einer Vorzeichnung von $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ mit dem Maßstabsfaktor $k = 8$. a) Welche Maße hat das Wandbild? b)…
Eine Künstlerin malt ein Wandbild nach einer Vorzeichnung von $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ mit dem Maßstabsfaktor $k = 8$.
a) Welche Maße hat das Wandbild?
b) Welchen Flächeninhalt hat es?
c) Wenn ein Eimer Farbe $2\ \text{m}^2$ abdeckt, wie viele Eimer braucht sie mindestens?
a) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher ebener Figuren ist $9$. Wie groß ist der Streckfaktor zwischen ihren Seiten? Und das Verhältnis ihrer Umfänge? b)…
a) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher ebener Figuren ist $9$. Wie groß ist der Streckfaktor zwischen ihren Seiten? Und das Verhältnis ihrer Umfänge?
b) Die Volumina zweier ähnlicher Körper stehen im Verhältnis $\frac{27}{8}$. Wie groß ist der Streckfaktor?
c) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Grundstücke stehen im Verhältnis $\frac{1}{4}$. Wie groß ist das Verhältnis ihrer Seiten?
Rechnen mit dem Verhältnis der Volumina
Hier ist es genauso, nur mit der Kubikwurzel (dritten Wurzel): Kennst du das Volumenverhältnis, erhältst du $k$ mit $\sqrt[3]{\ }$.
An einem Modell im Maßstab $1:50$ hat ein Tank ein Volumen von $80\ \text{cm}^3$. Wie groß ist das Volumen des echten Tanks? Gib es in Kubikmetern an.
An einem Modell im Maßstab $1:50$ hat ein Tank ein Volumen von $80\ \text{cm}^3$. Wie groß ist das Volumen des echten Tanks? Gib es in Kubikmetern an.
Für das Modell eines Stadtviertels wurden zwei ähnliche Häuschen mit dem Streckfaktor $1,5$ gebaut. Das kleine Häuschen benötigte $7,2\ \text{dm}^2$ Karton und sein…
Für das Modell eines Stadtviertels wurden zwei ähnliche Häuschen mit dem Streckfaktor $1,5$ gebaut. Das kleine Häuschen benötigte $7,2\ \text{dm}^2$ Karton und sein Innenvolumen beträgt $6,4$ Liter.
a) Wie viel Karton wird für das große Häuschen benötigt?
b) Wie groß ist sein Innenvolumen?
Ein Beamer erzeugt auf einer Leinwand in $3$ m Entfernung ein Quadrat mit der Seitenlänge $1,5$ m. Wird die Leinwand auf $6$ m weggerückt, bleibt das Bild quadratisch,…
Ein Beamer erzeugt auf einer Leinwand in $3$ m Entfernung ein Quadrat mit der Seitenlänge $1,5$ m. Wird die Leinwand auf $6$ m weggerückt, bleibt das Bild quadratisch, wie in der Abbildung gezeigt.
a) Wie groß ist der Streckfaktor zwischen den beiden Bildern? Wie lang ist die Seite des Quadrats bei $6$ m?
b) Wievielmal so groß ist der Flächeninhalt des weiter entfernten Bildes wie der des nahen?
c) Da dieselbe Lichtmenge auf die gesamte Fläche verteilt wird, mit welchem Bruchteil der Helligkeit pro Quadratmeter erscheint das Bild bei $6$ m im Vergleich zu $3$ m?
d) In welcher Entfernung müsste man die Leinwand aufstellen, damit der Flächeninhalt des Bildes das $9$-Fache des ursprünglichen beträgt?
Modelle, Pläne und die Kosten beim Vergrößern
Diese Zusammenhänge begegnen dir ständig: Wie viel Glas braucht ein Aquarium? Was kostet die Füllung eines größeren Tanks? Wie groß ist ein Grundstück, das im Plan nur wenige Quadratzentimeter einnimmt?
Bei einem Maßstab $1 : n$ ist der Streckfaktor vom Original zum Plan $\tfrac1n$. Vom Plan zur Wirklichkeit rechnest du mit $k = n$. Ein Flächeninhalt im Plan wird also mit $n^2$ multipliziert.
Ein Foto der Größe $40\ \text{cm}^2$ wird mit einem Kopierer auf $150\%$ vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt der Vergrößerung?
Ein Foto der Größe $40\ \text{cm}^2$ wird mit einem Kopierer auf $150\%$ vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt der Vergrößerung?
Zwei Aquarien sind ähnlich: Das kleine ist $40$ cm lang und das große $80$ cm. a) Wie groß ist der Streckfaktor? b) Wenn das Glas des kleinen Aquariums $30\text{ €}$…
Zwei Aquarien sind ähnlich: Das kleine ist $40$ cm lang und das große $80$ cm.
a) Wie groß ist der Streckfaktor?
b) Wenn das Glas des kleinen Aquariums $30\text{ €}$ gekostet hat, wie viel kostet das des großen bei gleichem Preis pro Fläche?
c) Wenn es $5\text{ €}$ kostet, das kleine mit Wasser zu füllen, wie viel kostet es dann, das große zu füllen?
Ein Umzugsunternehmen möchte die „Kapazität verdoppeln“ seiner würfelförmigen Kartons und beschließt, sie mit doppelt so langer Kante herzustellen. Der Chef behauptet:…
Ein Umzugsunternehmen möchte die „Kapazität verdoppeln“ seiner würfelförmigen Kartons und beschließt, sie mit doppelt so langer Kante herzustellen. Der Chef behauptet: „So passt doppelt so viel hinein.“
a) Erkläre den Fehler des Chefs.
b) Wievielmal so groß ist das Fassungsvermögen des neuen Kartons tatsächlich?
c) Wenn der kleine Karton ein Volumen von $27\ \text{dm}^3$ hat, wie groß ist das Volumen des neuen?