Rechnen mit Quadratwurzeln
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $\sqrt{2}\,\text{cm}$ und $\sqrt{8}\,\text{cm}$. Beide Längen sind irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Trotzdem lässt sich der Flächeninhalt ganz ohne Taschenrechner angeben. Wie geht das? Die Antwort findest du am Ende dieser Seite.
Multiplizieren und Dividieren
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten kannst du direkt zusammenfassen. Für $a \ge 0$ und $b \ge 0$ gilt:
Warum gilt das? Beide Seiten sind nicht negativ. Quadrierst du die linke Seite, erhältst du $(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2\cdot(\sqrt{b})^2 = a\cdot b$. Die rechte Seite $\sqrt{a\cdot b}$ hat beim Quadrieren ebenfalls den Wert $a\cdot b$. Zwei nicht negative Zahlen mit gleichem Quadrat sind gleich.
Berechne ohne Taschenrechner mit $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$: a) $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ b) $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$ c) $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$ d)…
Berechne ohne Taschenrechner mit $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$:
- a) $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$
- b) $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$
- c) $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$
- d) $\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}$
Berechne ohne Taschenrechner mit $\sqrt{a}:\sqrt{b} = \sqrt{a:b}$: a) $\sqrt{50}:\sqrt{2}$ b) $\sqrt{72}:\sqrt{8}$ c) $\sqrt{27}:\sqrt{3}$ d) $\sqrt{200}:\sqrt{2}$
Berechne ohne Taschenrechner mit $\sqrt{a}:\sqrt{b} = \sqrt{a:b}$:
- a) $\sqrt{50}:\sqrt{2}$
- b) $\sqrt{72}:\sqrt{8}$
- c) $\sqrt{27}:\sqrt{3}$
- d) $\sqrt{200}:\sqrt{2}$
Teilweise die Wurzel ziehen
Die Produktregel funktioniert auch rückwärts. Wenn der Radikand eine Quadratzahl als Faktor enthält, kannst du diesen Faktor „vor die Wurzel ziehen“. Das nennt man teilweises Wurzelziehen.
$12$ ist keine Quadratzahl, aber $12 = 4\cdot 3$. Also gilt $\sqrt{12} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ziehe teilweise die Wurzel (schreibe in der Form $a\sqrt{b}$): a) $\sqrt{12}$ b) $\sqrt{50}$ c) $\sqrt{75}$ d) $\sqrt{98}$
Ziehe teilweise die Wurzel (schreibe in der Form $a\sqrt{b}$):
- a) $\sqrt{12}$
- b) $\sqrt{50}$
- c) $\sqrt{75}$
- d) $\sqrt{98}$
Wurzeln addieren und subtrahieren
Hier gibt es keine einfache Regel wie beim Multiplizieren. Du kannst nur gleichartige Wurzeln zusammenfassen, also Wurzeln mit demselben Radikanden. Das ist wie beim Zusammenfassen von $3x + 5x = 8x$.
$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$Sind die Radikanden verschieden, versuche zuerst, durch teilweises Wurzelziehen gleiche Radikanden zu erzeugen.
Beim Multiplizieren mit Faktoren vor der Wurzel multiplizierst du Faktoren und Wurzeln getrennt: $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5} = 2\cdot 3\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} = 6\cdot 5 = 30$.
Vereinfache so weit wie möglich: a) $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$ b) $\sqrt{27}+\sqrt{12}$ c) $\sqrt{50}-\sqrt{8}$ d) $2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}$
Vereinfache so weit wie möglich:
- a) $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$
- b) $\sqrt{27}+\sqrt{12}$
- c) $\sqrt{50}-\sqrt{8}$
- d) $2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}$
Anna rechnet: $\sqrt{9+16} = \sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$. a) Finde den Fehler und berechne den richtigen Wert. b) Zeige am Beispiel $a = 4$, $b = 9$, dass…
Anna rechnet: $\sqrt{9+16} = \sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$.
- a) Finde den Fehler und berechne den richtigen Wert.
- b) Zeige am Beispiel $a = 4$, $b = 9$, dass $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ gilt.
- c) Gilt $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ für $a,b\geq 0$? Begründe über das Quadrieren beider Seiten.
Den Nenner rational machen
Ein Bruch wie $\frac{6}{\sqrt{3}}$ hat eine Wurzel im Nenner. Das ist ungeschickt, wenn man ohne Taschenrechner weiterrechnen will. Du erweiterst deshalb den Bruch so, dass im Nenner eine rationale Zahl steht. Das nennt man „den Nenner rational machen“.
Die Idee: Es gilt $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a$. Erweitere mit $\sqrt{a}$.
Manchmal geht es auch mit der Quotientenregel: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{5}{20}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Mache den Nenner rational: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$
Mache den Nenner rational:
- a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
- b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
- c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$
Anwendungen in der Geometrie
Bei Rechtecken, Diagonalen und Dreiecken kommen oft Wurzeln als genaue Längen vor. Rechne „exakt“, solange es geht, und runde erst am Ende.
Beim gleichseitigen Dreieck zerlegt die Höhe das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\frac{a}{2}$ und $h$ und der Hypotenuse $a$ gilt $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$. Daraus folgt $h^2 = a^2-\frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$ und damit $h = \frac{a}{2}\sqrt{3}$.
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = \sqrt{18}\text{ cm}$ und $b = \sqrt{8}\text{ cm}$. a) Berechne den Flächeninhalt exakt. b) Berechne den Umfang exakt in der Form…
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = \sqrt{18}\text{ cm}$ und $b = \sqrt{8}\text{ cm}$.
- a) Berechne den Flächeninhalt exakt.
- b) Berechne den Umfang exakt in der Form $c\sqrt{2}\text{ cm}$.
- c) Berechne die Länge der Diagonalen exakt.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $a = 6\text{ cm}$. a) Berechne die Höhe exakt mit dem Satz des Pythagoras. b) Berechne den Flächeninhalt exakt. c) Zeige…
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $a = 6\text{ cm}$.
- a) Berechne die Höhe exakt mit dem Satz des Pythagoras.
- b) Berechne den Flächeninhalt exakt.
- c) Zeige allgemein, dass die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $a$ gleich $\frac{a}{2}\sqrt{3}$ ist.
Wurzeln und binomische Formeln
Terme mit Wurzeln darfst du wie alle anderen Terme ausmultiplizieren. Besonders nützlich sind die binomischen Formeln, denn $(\sqrt{a})^2 = a$ lässt die Wurzeln verschwinden.
Auch die Produktregel hilft: $\sqrt{9+\sqrt{17}}\cdot\sqrt{9-\sqrt{17}} = \sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})} = \sqrt{81-17} = \sqrt{64} = 8$.
Zeige, dass die folgenden Terme ganze Zahlen sind, und begründe jeweils: a) $\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}$ b)…
Zeige, dass die folgenden Terme ganze Zahlen sind, und begründe jeweils:
- a) $\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}$
- b) $\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$
- c) $\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)^2 - 3\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}$
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Das Rechteck mit den Seiten $\sqrt{2}\,\text{cm}$ und $\sqrt{8}\,\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $A = \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\,\text{cm}^2$. Antwort: Der Flächeninhalt beträgt genau $4\,\text{cm}^2$, obwohl beide Seitenlängen irrational sind.
Auf einen Blick
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Produkt und Quotient: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ und $\sqrt{a}:\sqrt{b} = \sqrt{a:b}$ (für $a,b \ge 0$, beim Quotienten $b>0$).
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Teilweise Wurzelziehen: $\sqrt{n^2\cdot b} = n\sqrt{b}$. Suche die größte Quadratzahl als Teiler.
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Addieren und Subtrahieren geht nur bei gleichartigen Wurzeln: $3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
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Achtung: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
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Nenner rational machen: mit $\sqrt{a}$ erweitern, denn $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a$.
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Die Höhe im gleichseitigen Dreieck ist $h=\frac{a}{2}\sqrt{3}$. Mit den binomischen Formeln verschwinden Wurzeln: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$.