Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form

Stelle die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form auf, die durch den Punkt $A(3|-2)$ verläuft und die Steigung $m = 4$ hat.

Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(2|10)$ und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, indem du die Koordinaten des Punktes $P$ verwendest.

Betrachte die im Koordinatensystem dargestellte Gerade. Bestimme ihre Steigung und einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, durch den sie genau verläuft, und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y - 5 = -2(x + 1)$. Gib einen Punkt an, durch den sie genau verläuft, und den Wert ihrer Steigung. Forme anschließend die Gleichung um, sodass sie in der Normalform $y = mx + b$ dasteht.

Eine Gerade hat die Punkt-Steigungs-Gleichung $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $C(8|-2)$ auf dieser Geraden liegt.

Bestimme die Gleichung der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten in der Punkt-Steigungs-Form, wobei du den Koordinatenursprung als Bezugspunkt nimmst.

Um die Gleichung einer barrierefreien Rampe zu bestimmen, die im Punkt $A(-3|1)$ beginnt und ein Gefälle von $5\,\%$ ($m = -0,05$) hat, schreibt David in sein Heft:

1. a) Bestimme die beiden Denkfehler, die David beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Punkt-Steigungs-Formel $y - y_1 = m(x - x_1)$ gemacht hat.
2. b) Gib die richtige Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form an.
3. c) Forme die Gleichung in die explizite Form ($y = mx + b$) um und überprüfe rechnerisch, dass die Koordinaten des Startpunkts $A(-3|1)$ die Gleichung erfüllen.

Der Wasserstand eines Stausees steigt gleichmäßig um $15$ cm pro Tag. Wenn der Pegel am Messtag $10$ bei $420$ cm lag, stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die den Wasserstand $y$ der Anzahl der vergangenen Tage $x$ zuordnet.

Im städtischen Taxidienst von Dortmund (Tagestarif an Werktagen) berechnet das Taxameter einen festen Preis pro gefahrenem Kilometer von $m = 1,10$ €/km. Am Ende einer Fahrt von $9$ km vom Marktplatz zu einem Gewerbegebiet zeigt das Taxameter einen Gesamtbetrag von $13,05$ € an.

1. a) Bestimme die unabhängige ($x$) und die abhängige Variable ($y$) und gib ihre Einheiten an. Gib die Daten der Fahrt als bekannten Punkt $P(x_1|y_1)$ und als Steigung $m$ an.
2. b) Stelle die Gleichung, die die Gesamtkosten der Fahrt modelliert, in der Punkt-Steigungs-Form auf.
3. c) Forme die Gleichung in ihre explizite Form ($y = mx + b$) um und deute die wirtschaftliche Bedeutung des y-Achsenabschnitts $b$ im Taxidienst.

Ein Klimatechniker notiert, dass die Raumtemperatur nach $2$ Stunden nach dem Einschalten einer Industrieanlage $18^\circ$C beträgt und nach $5$ Stunden $10,5^\circ$C. Nimm an, dass die Temperatur linear sinkt, und stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die die Temperatur $y$ in Abhängigkeit von der Zeit $x$ angibt.

Ein Transporter-Verleih verlangt einen festen Betrag plus einen konstanten Preis pro gefahrenem Kilometer. Für eine Fahrt von $50$ km werden $65$ € berechnet und für eine Fahrt von $120$ km $107$ €. Bestimme die Steigung der Kostenfunktion und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Ein Radfahrer hält bei seinem Training eine konstante Geschwindigkeit. In Minute $15$ seiner Fahrt befindet er sich bei Kilometermarke $6$ der Straße, und in Minute $40$ erreicht er Kilometer $16$. Gib die Position des Radfahrers in der Punkt-Steigungs-Form an und berechne, bei welchem Kilometer er sich in Minute $60$ befindet.

Eine Zugangsrampe muss zur Einhaltung der Vorschriften für barrierefreies Bauen eine Steigung von genau $8\%$ haben. Die Rampe beginnt ebenerdig im Punkt $A(0|0)$ und muss einen Höhenunterschied bis zu einer Plattform im Punkt $B(x_0|1,2)$ überwinden (Koordinaten in Metern). Stelle die Gleichung der Rampengeraden in der Punkt-Steigungs-Form auf und bestimme die x-Koordinate $x_0$.

Ein Industrietank enthält anfangs $500$ Liter einer flüssigen chemischen Verbindung. Ein Ventil wird geöffnet, das den Tank mit konstanter Geschwindigkeit leert. Die Gleichung, die das Volumen $V$ (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) modelliert, lässt sich in der Punkt-Steigungs-Form als $V - 200 = m(t - 15)$ schreiben. Berechne die Steigung $m$ und bestimme, wie lange es dauert, bis der Tank vollständig leer ist.

Stelle die Gleichung der zu $y = 3x - 7$ parallelen Geraden durch den Punkt $B(-4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Bestimme die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die senkrecht zu $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ist und durch den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und $y = x + 3$ verläuft.

Gegeben ist die Gerade $y - k = 3(x + 2)$. Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade genau durch den Punkt $A(1|4)$ verläuft.

Stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung der Geraden auf, die die x-Achse in $x = -3$ und die y-Achse in $y = 6$ schneidet. Gib das Ergebnis ausschließlich mit dem Schnittpunkt mit der x-Achse als Bezugspunkt an.

Gegeben sind die Geraden $r_1: y - 2 = a(x + 1)$ und $r_2: y - b = 3(x - 2)$. Bestimme rechnerisch die Werte der Parameter $a$ und $b$, sodass beide Terme identische Geraden darstellen.

Stelle die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke mit den Endpunkten $A(-2|5)$ und $B(4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf. Denke daran: Die Mittelsenkrechte ist die Gerade, die senkrecht zur Strecke durch deren Mittelpunkt verläuft.

Bestimme die Gleichung der zu $2x - 5y + 10 = 0$ parallelen Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die durch den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $P(-1|-4)$ und $Q(7|2)$ verläuft.

Bestimme im Dreieck mit den Eckpunkten $A(-2|-1)$, $B(4|1)$ und $C(1|5)$ die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die die Höhe zur Ecke $C$ enthält.