Die quadratische Funktion

Gib für jede dieser quadratischen Funktionen die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ an und begründe ohne Zeichnung, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist:

1. a) $y = 2x^2 - 3x + 5$

1. b) $y = -x^2 + 4x$

1. c) $y = 6 - x^2$

1. d) $y = \frac{1}{2}x^2$

In der Abbildung sind die Parabeln $y = x^2$, $y = 2x^2$ und $y = \frac{1}{2}x^2$ dargestellt, wie unten gezeigt.

1. a) Ordne jeder Parabel ihre Gleichung zu.

1. b) Welchen Einfluss hat der Wert des Koeffizienten $a$ in $y = ax^2$ auf die Form der Parabel?

Gib ohne Zeichnung an, ob der Scheitelpunkt jeder Parabel ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt der Funktion ist:

1. a) $y = -5x^2 + 3x - 1$

1. b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$

1. c) $y = 7x - x^2$

Erkläre, von welchem Koeffizienten das abhängt und warum.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Parabel. Jedes Kästchen des Gitters misst auf jeder Achse 1 Einheit.

1. a) Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts? Ist er ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt?

1. b) In welchen Punkten schneidet die Parabel die $X$-Achse?

1. c) Wie lautet ihre Symmetrieachse?

In der Abbildung sind drei Parabeln $a$, $b$ und $c$ zu sehen, die durch Verschieben der Parabel $y = x^2$ entstanden sind.

1. a) Ordne jeder Parabel ihre Gleichung zu: $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$, $y = x^2$.

1. b) Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts jeder Parabel?

1. c) Welche Koordinaten hätte der Scheitelpunkt von $y = (x + 1)^2 - 5$? Begründe ohne Zeichnung.

Betrachte die Parabel $y = x^2 - 4x + 3$.

1. a) Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel $x = \frac{-b}{2a}$ und bestimme anschließend seine y-Koordinate.

1. b) Lege eine Wertetabelle an, mit Werten von $x$ in der Umgebung des Scheitelpunkts.

1. c) Zeichne die Parabel und gib ihre Symmetrieachse an.

Betrachte die Funktion $y = x^2 - 2$.

1. a) Übertrage die Wertetabelle für $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in dein Heft und vervollständige sie.

1. b) Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem.

1. c) Wie lautet ihr Scheitelpunkt? Und ihre Symmetrieachse?

Berechne ohne Zeichnung den Schnittpunkt mit der $Y$-Achse für jede dieser Parabeln:

1. a) $y = x^2 - 6x + 8$

1. b) $y = -3x^2 + 2x - 7$

1. c) $y = 4x^2$

Welcher Koeffizient der Gleichung bestimmt diesen Schnittpunkt immer?

Bestimme die Schnittpunkte der Parabel $y = x^2 - 5x + 6$ mit den Koordinatenachsen:

1. a) Mit der $Y$-Achse.

1. b) Mit der $X$-Achse, indem du die Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ löst.

1. c) Berechne den Scheitelpunkt und überprüfe, dass seine x-Koordinate genau in der Mitte zwischen den beiden Schnittpunkten mit der $X$-Achse liegt.

Der Graph zeigt die Höhe eines nach oben geworfenen Balls in Abhängigkeit von der Zeit, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Welche maximale Höhe erreicht der Ball und zu welchem Zeitpunkt?

1. b) Aus welcher Höhe wurde er geworfen?

1. c) Zu welchem Zeitpunkt befindet sich der Ball wieder auf der Abwurfhöhe?

Ein Volleyball wird vom Boden aus geschlagen und seine Höhe in Metern ist durch $h = -5t^2 + 20t$ gegeben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht er die maximale Höhe? Wie groß ist diese Höhe?

1. b) Wie lange dauert es, bis er wieder am Boden ist?

1. c) Welche Höhe hat er nach $3\ \text{s}$? Steigt er gerade oder fällt er?

Bei einem Freiwurf im Basketball folgt der Ball einer Flugbahn, die durch $h = -0,08x^2 + 0,64x + 1,9$ gegeben ist, wobei $x$ der horizontale Abstand zum Spieler in Metern und $h$ die Höhe des Balls in Metern ist. Der Korb ist $4,6\ \text{m}$ vom Spieler entfernt und der Ring befindet sich in $3,05\ \text{m}$ Höhe.

1. a) Welche Höhe hat der Ball, wenn er senkrecht über dem Korb ankommt? Trifft der Wurf?

1. b) Welche maximale Höhe erreicht der Ball während des Wurfs?

Beim freien Fall beträgt die zurückgelegte Strecke eines fallen gelassenen Gegenstands näherungsweise $d = 5t^2$, wobei $t$ die Zeit in Sekunden und $d$ die Strecke in Metern ist.

1. a) Lege in deinem Heft eine Wertetabelle für $t = 0$, $1$, $2$, $3$ und $4$ an und vervollständige sie.

1. b) Welche Strecke ist er nach $3\ \text{s}$ gefallen?

1. c) Ein Mauerbrocken braucht $2,5\ \text{s}$, bis er den Boden erreicht. Aus welcher Höhe ist er gefallen?

Eine Feuerwerksrakete erreicht in den ersten $t$ Sekunden nach dem Start eine Höhe in Metern, die durch $h = -5t^2 + 25t$ gegeben ist.

1. a) Stelle die Gleichung auf, mit der man erfährt, zu welchen Zeitpunkten sich die Rakete in $30\ \text{m}$ Höhe befindet, und löse sie.

1. b) Erkläre, warum es zwei Lösungen gibt und was jede bedeutet.

1. c) Welche maximale Höhe erreicht die Rakete?

Eine Turmspringerin stößt sich von einem Sprungbrett ab und ihre Höhe über dem Wasser in Metern ist durch $h = -5t^2 + 6t + 1,8$ gegeben, mit $t$ in Sekunden.

1. a) Wie hoch ist das Sprungbrett? Begründe, woher diese Angabe in der Formel stammt.

1. b) Welche maximale Höhe erreicht die Springerin?

1. c) Stelle die Gleichung auf, mit der man erfährt, wie lange sie bis zum Wasser braucht, und löse sie. Warum verwirfst du eine der Lösungen?

Ein Gärtner möchte einen rechteckigen Gemüsegarten an der Hauswand einzäunen, sodass er nur für drei Seiten Zaun braucht. Er hat $40\ \text{m}$ Zaun.

1. a) Die Seite senkrecht zur Wand ist $x$ Meter lang. Gib die Länge der parallelen Seite in Abhängigkeit von $x$ an.

1. b) Stelle die Funktion auf, die den Flächeninhalt des Gartens in Abhängigkeit von $x$ angibt. Um welche Art von Funktion handelt es sich?

1. c) Berechne den Scheitelpunkt der Parabel und bestimme die Abmessungen, für die der Flächeninhalt maximal wird. Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt?

Ein Nachbarschaftsverein möchte einen rechteckigen Garten mit den $120\ \text{m}$ Maschendraht einzäunen, die ihm zur Verfügung stehen, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Eine der Seiten ist $x$ Meter lang. Gib die andere Seite in Abhängigkeit von $x$ an.

1. b) Stelle die Funktion auf, die den Flächeninhalt des Gartens in Abhängigkeit von $x$ angibt.

1. c) Bestimme die Abmessungen, für die der Flächeninhalt maximal wird, und berechne diesen Flächeninhalt.

1. d) Überprüfe, dass das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt ein Quadrat ist. Glaubst du, dass das beim Einzäunen mit festem Umfang immer so ist? Untersuche das für einen Umfang von $80\ \text{m}$.

Entscheidungsaufgabe. Das Schultheater verkauft die Eintrittskarten für das Stück zum Schuljahresende. Aus Erfahrung früherer Jahre kommen bei einem Eintrittspreis von $6\ \text{€}$ genau $300$ Zuschauer, und bei jeder Preiserhöhung um $0,50\ \text{€}$ kommen $20$ Zuschauer weniger, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Der Preis wird $x$-mal um $0,50\ \text{€}$ erhöht. Gib den Eintrittspreis und die Zuschauerzahl in Abhängigkeit von $x$ an.

1. b) Stelle die Funktion auf, die die Einnahmen in Abhängigkeit von $x$ angibt. Um welche Art von Funktion handelt es sich?

1. c) Bei welchem Eintrittspreis sind die Einnahmen maximal? Wie viel würde eingenommen?

1. d) Der Elternverein schlägt vor, den Eintritt auf $5\ \text{€}$ zu senken, um die Aula zu füllen. Vergleiche die Einnahmen mit denen des optimalen Falls und entscheide, welche der beiden Möglichkeiten du empfehlen würdest. Begründe mit deinen Rechnungen.

Der Graph in der Abbildung gehört zu einer dieser drei Funktionen, wie unten gezeigt:

• $y = x^2 - 4x + 5$

• $y = -x^2 + 4x - 1$

• $y = x^2 + 4x + 5$

1. a) Welche der drei Funktionen ist es? Begründe mit der Öffnungsrichtung, dem Schnittpunkt mit der $Y$-Achse und der Symmetrieachse.

1. b) Bestätige deine Wahl, indem du den Scheitelpunkt der gewählten Funktion berechnest und mit dem des Graphen vergleichst.

Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt im Punkt $V(1|-4)$ und verläuft durch den Punkt $P(3|0)$.

1. a) Wie lautet ihre Symmetrieachse?

1. b) Bestimme mithilfe der Symmetrie der Parabel einen weiteren Punkt, durch den sie ebenfalls verläuft.

1. c) In welchen Punkten schneidet sie die $x$-Achse?

Bei einer Parabel liegen die Punkte $A(-1|5)$ und $B(5|5)$ auf gleicher Höhe.

1. a) Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts mithilfe der Symmetrie, ohne die Gleichung zu kennen.

1. b) Die Parabel verläuft zusätzlich durch den Ursprung. Begründe, wie der andere Schnittpunkt mit der $X$-Achse lautet.

1. c) Bestimme die Gleichung der Parabel, wenn die y-Koordinate ihres Scheitelpunkts $-4$ beträgt.

Die Tabelle gehört zu einer quadratischen Funktion:

1. a) Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Werte von $y$ (erste Differenzen).

1. b) Berechne die Differenzen dieser Differenzen (zweite Differenzen). Was fällt dir auf?

1. c) Wie lautet der Scheitelpunkt der Parabel? Wohin ist sie geöffnet?

Bestimme die Gleichung der Parabel $y = ax^2 + bx + c$, die durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|0)$ und $C(3|0)$ verläuft:

1. a) Setze die Koordinaten von $A$ ein, um den Wert von $c$ zu erhalten.

1. b) Setze die von $B$ und $C$ ein und stelle ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit den Variablen $a$ und $b$ auf.

1. c) Löse das Gleichungssystem und gib die Gleichung der Parabel an. Wie lautet ihr Scheitelpunkt?

Ein Bergtunnel hat einen parabelförmigen Querschnitt: Seine Breite am Boden beträgt $12\ \text{m}$ und seine maximale Höhe in der Mitte $6\ \text{m}$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Lege den Koordinatenursprung in die Mitte der Fahrbahn. Zeige, dass das Tunnelgewölbe die Gleichung $y = ax^2 + 6$ hat, und bestimme den Wert von $a$.

1. b) Ein Lkw mit $4\ \text{m}$ Breite und $3,8\ \text{m}$ Höhe fährt mittig. Passt er durch den Tunnel? Berechne die Höhe des Gewölbes an den Seiten des Lkw.

1. c) Der Lkw fährt $1\ \text{m}$ zur Seite versetzt. Passt er noch durch? Begründe mit Rechnungen.

Betrachte die Parabelschar $y = x^2 - 6x + k$, wobei $k$ eine beliebige Zahl ist.

1. a) Berechne den Scheitelpunkt der Parabel in Abhängigkeit von $k$. Was haben alle Parabeln der Schar gemeinsam?

1. b) Für welche Werte von $k$ schneidet die Parabel die $X$-Achse in zwei Punkten? Und in genau einem? Und in keinem?

1. c) Zeichne in deinem Heft die Parabeln für $k = 5$, $k = 9$ und $k = 13$ und überprüfe damit deine Ergebnisse.

Untersuche, ob die Gerade $y = 2x + 1$ die Parabel $y = x^2 - 3x + 5$ schneidet:

1. a) Stelle das Gleichungssystem aus beiden Gleichungen auf und führe es auf eine einzige quadratische Gleichung zurück.

1. b) Löse sie und deute das Ergebnis: Schneiden sie sich? In wie vielen Punkten?

1. c) Wiederhole die Untersuchung mit der Geraden $y = 2x - 4$. Welcher Unterschied ergibt sich?

Ein Schüler berechnet den Scheitelpunkt der Parabel $y = 2x^2 - 8x + 1$ so:

„$x = \frac{b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 2} = -2$. Für $x = -2$ ist $y = 2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 1 = 25$. Der Scheitelpunkt ist $V(-2|25)$ und ist ein Tiefpunkt, weil $a = 2 > 0$.“

1. a) Finde die Fehler, die er in der Formel und in den Rechnungen gemacht hat.

1. b) Bestimme den richtigen Scheitelpunkt und begründe, ob er ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.

1. c) Überprüfe, dass der Wert von $y$ im Scheitelpunkt zur Öffnungsrichtung der Parabel passt.

Gib an, ob jede Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort mit einem Beispiel oder einem Gegenbeispiel:

1. a) „Jede Parabel schneidet die $X$-Achse in zwei Punkten.“

1. b) „Der Scheitelpunkt der Parabel $y = x^2 + c$ liegt nie unterhalb des Punktes $(0|c)$.“

1. c) „Wenn zwei Parabeln denselben Scheitelpunkt haben, dann sind sie dieselbe Parabel.“

1. d) „Der Graph von $y = -x^2$ entsteht durch Spiegeln von $y = x^2$ an der $X$-Achse.“