Basiskompetenzen ohne Taschenrechner
Am Ende von Klasse 10 schreibst du die Zentrale Prüfung (ZP10). Der erste Teil dauert nur 30 Minuten, und du hast weder Taschenrechner noch Formelsammlung. Wie kommst du dann an Ergebnisse wie $\sqrt{23{,}04}$ oder das Volumen einer Dose? Mit ein paar sicheren Griffen, die du hier trainierst. Am Ende der Seite löst du genau diese Aufgaben.
Wurzeln und Quadratzahlen im Kopf
Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Wenn du die Quadratzahlen kennst, brauchst du keinen Taschenrechner.
| $n$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 625 |
Bei großen und kleinen Zahlen hilft ein Trick: Zerlege den Radikanden in eine Quadratzahl und eine Zehnerpotenz.
Wenn der Radikand keine Quadratzahl ist, schließt du den Wurzelwert zwischen zwei Quadratzahlen ein. $\sqrt{50}$ liegt zwischen $\sqrt{49}=7$ und $\sqrt{64}=8$, und zwar ganz nahe bei 7. Das Wurzelziehen musst du dafür nicht „können“, es genügt, die Quadratzahlen zu kennen.
Berechne im Kopf: a) $\sqrt{49}$ b) $\sqrt{144}$ c) $\sqrt{0{,}25}$ d) $\sqrt{900}$
Berechne im Kopf:
- a) $\sqrt{49}$
- b) $\sqrt{144}$
- c) $\sqrt{0{,}25}$
- d) $\sqrt{900}$
Einheiten sicher umrechnen
Viele Punkte gehen in der Prüfung durch Einheitenfehler verloren. Mache dir zuerst klar, ob die Zahl größer oder kleiner werden muss. Dann multiplizierst oder dividierst du.
| Größe | Umrechnung |
|---|---|
| Länge | $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$; $1\,\text{km}=1.000\,\text{m}$ |
| Masse | $1\,\text{kg}=1.000\,\text{g}$ |
| Zeit | $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ |
| Volumen | $1\,\text{l}=1.000\,\text{cm}^3$ (also $1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3$) |
Bei Geschwindigkeiten hilft ein Dreisatz mit der Zeit. Für den Wechsel zwischen $\text{km/h}$ und $\text{m/s}$ gilt:
Wandle um: a) $3{,}5\text{ m}$ in $\text{cm}$ b) $2.400\text{ g}$ in $\text{kg}$ c) $0{,}75\text{ h}$ in Minuten d) $5\text{ l}$ in $\text{cm}^3$
Wandle um:
- a) $3{,}5\text{ m}$ in $\text{cm}$
- b) $2.400\text{ g}$ in $\text{kg}$
- c) $0{,}75\text{ h}$ in Minuten
- d) $5\text{ l}$ in $\text{cm}^3$
Ein Fahrrad fährt mit konstanter Geschwindigkeit $18\text{ km/h}$. a) Wie weit kommt es in $20$ Minuten? b) Wie lange braucht es für $6\text{ km}$? c) Gib die…
Ein Fahrrad fährt mit konstanter Geschwindigkeit $18\text{ km/h}$.
- a) Wie weit kommt es in $20$ Minuten?
- b) Wie lange braucht es für $6\text{ km}$?
- c) Gib die Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
Überschlagen: runden und rechnen
Beim Überschlag rundest du so, dass die Rechnung im Kopf geht, und schreibst die gerundete Rechnung auf. Das Ergebnis ist ein Näherungswert.
Für eine Wurzel ersetzt du den Radikanden durch die nächste Quadratzahl: $\sqrt{99}\approx\sqrt{100}=10$.
Schätze durch Runden das Ergebnis und gib die Rechnung an: a) $198\cdot 5{,}1$ b) $4.012:19{,}8$ c) $\sqrt{99}$ d) $0{,}49\cdot 201$
Schätze durch Runden das Ergebnis und gib die Rechnung an:
- a) $198\cdot 5{,}1$
- b) $4.012:19{,}8$
- c) $\sqrt{99}$
- d) $0{,}49\cdot 201$
Geraden ohne Taschenrechner
Eine lineare Funktion hat die Gleichung $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Bei $y=5x$ ist $b=0$, und bei $y=-x-2$ ist $m=-1$ (die Zahl vor dem $x$ ist $-1$, auch wenn sie nicht dasteht).
Wenn du zwei Punkte $A(x_1|y_1)$ und $B(x_2|y_2)$ kennst, gehst du in drei Schritten vor:
Bei Tarifaufgaben ist die Grundgebühr der $y$-Achsenabschnitt $b$ und der Preis pro Minute die Steigung $m$. Zwei Tarife vergleichst du, indem du die Terme gleichsetzt oder ungleich ansetzt. Der Tarif mit der kleineren Steigung wird bei vielen Minuten irgendwann günstiger, auch wenn er mit der höheren Grundgebühr startet.
Gib die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an: a) $y=2x+3$ b) $y=-\frac{1}{2}x+4$ c) $y=5x$ d) $y=-x-2$
Gib die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an:
- a) $y=2x+3$
- b) $y=-\frac{1}{2}x+4$
- c) $y=5x$
- d) $y=-x-2$
Eine Gerade geht durch $A(1|2)$ und $B(4|8)$. a) Berechne die Steigung $m$. b) Bestimme die Geradengleichung. c) Prüfe, ob $C(10|20)$ auf der Geraden liegt.
Eine Gerade geht durch $A(1|2)$ und $B(4|8)$.
- a) Berechne die Steigung $m$.
- b) Bestimme die Geradengleichung.
- c) Prüfe, ob $C(10|20)$ auf der Geraden liegt.
Ein Handytarif kostet $9{,}99\text{ €}$ Grundgebühr pro Monat plus $0{,}09\text{ €}$ pro Minute. Ein zweiter Tarif kostet $4{,}99\text{ €}$ plus $0{,}14\text{ €}$ pro…
Ein Handytarif kostet $9{,}99\text{ €}$ Grundgebühr pro Monat plus $0{,}09\text{ €}$ pro Minute. Ein zweiter Tarif kostet $4{,}99\text{ €}$ plus $0{,}14\text{ €}$ pro Minute.
- a) Stelle für beide Tarife eine Funktionsgleichung $K(x)$ auf.
- b) Ab wie vielen Minuten ist der erste Tarif günstiger?
- c) Begründe die Antwort aus b) mit den Steigungen.
Pythagoras und Zylinder im Kopf
Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2+b^2=c^2$ (Katheten $a$, $b$, Hypotenuse $c$). Ohne Taschenrechner sind die Zahlen oft so gewählt, dass du genau eine Quadratzahl herausbekommst. Merke dir die Tripel $3|4|5$, $5|12|13$, $8|15|17$ und ihre Vielfachen. Bei Dezimalzahlen rechnest du erst in ganzen Zahlen, zum Beispiel $1{,}4^2=1{,}96$.
Wenn die Zahl keine Quadratzahl ist, schließt du die Wurzel ein: $\sqrt{21}$ liegt zwischen $\sqrt{16}=4$ und $\sqrt{25}=5$, näher bei 5, also etwa $4{,}6$.
Für den Zylinder brauchst du die Formeln $V=\pi r^2h$ und $M=2\pi rh$. Wenn die Aufgabe „$\pi\approx 3$“ vorgibt, bleibt die Rechnung im Kopf machbar. Mit $r=2\,\text{cm}$ und $h=5\,\text{cm}$ ist $V\approx 3\cdot 4\cdot 5=60\,\text{cm}^3$. Wird der Radius mit dem Faktor $k$ vergrößert, wächst die Grundfläche mit $k^2$. Bei doppeltem Radius ($k=2$) wird das Volumen also viermal so groß.
Eine Leiter der Länge $5\text{ m}$ lehnt an einer Hauswand. Der Fuß der Leiter steht $1{,}4\text{ m}$ von der Wand entfernt. Ohne Taschenrechner: a) Wie hoch reicht die…
Eine Leiter der Länge $5\text{ m}$ lehnt an einer Hauswand. Der Fuß der Leiter steht $1{,}4\text{ m}$ von der Wand entfernt. Ohne Taschenrechner:
- a) Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?
- b) Der Fuß wird um $0{,}6\text{ m}$ weiter von der Wand weggezogen. Wie hoch reicht sie jetzt? Gib den Wert exakt (als Wurzel) an und schätze ihn auf eine Nachkommastelle.
- c) Begründe, ob die Leiter dabei um mehr oder weniger als $0{,}6\text{ m}$ sinkt.
Ein Zylinder hat den Radius $r=3\text{ cm}$ und die Höhe $h=10\text{ cm}$. Rechne mit $\pi\approx3$ und ohne Taschenrechner. a) Schätze das Volumen. b) Schätze die…
Ein Zylinder hat den Radius $r=3\text{ cm}$ und die Höhe $h=10\text{ cm}$. Rechne mit $\pi\approx3$ und ohne Taschenrechner.
- a) Schätze das Volumen.
- b) Schätze die Mantelfläche.
- c) Der Radius wird verdoppelt. Um welchen Faktor ändert sich das Volumen? Begründe.
Auf einen Blick
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Quadratzahlen bis $20^2$ kennen. $\sqrt{900}=30$, $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$. Immer die Probe durch Quadrieren machen.
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Einheiten: $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$, $1\,\text{kg}=1.000\,\text{g}$, $1\,\text{h}=60\,\text{min}$, $1\,\text{l}=1.000\,\text{cm}^3$, $1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
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Überschlag: bequem runden, gerundete Rechnung aufschreiben, Wurzel durch nächste Quadratzahl ersetzen.
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Gerade: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, dann $b$ durch Einsetzen. Punktprobe zur Kontrolle. Bei Tarifen: Grundgebühr $=b$, Preis pro Minute $=m$.
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Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$, die Hypotenuse ist die längste Seite. Zylinder: $V=\pi r^2h$, $M=2\pi rh$. Doppelter Radius heißt vierfaches Volumen.
Wenn du die Leiter jetzt im Kopf lösen kannst, bist du für Prüfungsteil 1 gut gerüstet. Die Aufgabe c) fragt, ob die Leiter um mehr oder weniger als $0{,}6\,\text{m}$ sinkt.