Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Winkel gleich sind. Überprüfe, ob die folgenden zwei Dreiecke ähnlich sind, indem du in jedem den fehlenden Winkel berechnest:

• Dreieck A hat zwei Winkel mit den Maßen $45^\circ$ und $75^\circ$.

• Dreieck B hat zwei Winkel mit den Maßen $75^\circ$ und $60^\circ$.

Denke daran, dass die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

Prüfe, ob diese beiden Dreiecke ähnlich sind, indem du den Ähnlichkeitssatz für proportionale Seiten (SSS-Satz) verwendest. Teile dazu die entsprechenden Seiten durcheinander (die längste durch die längste, die mittlere durch die mittlere und die kürzeste durch die kürzeste) und prüfe, ob du jeweils dasselbe Ergebnis erhältst.

• Dreieck 1: Seiten mit $6$ cm, $9$ cm und $12$ cm.

• Dreieck 2: Seiten mit $4$ cm, $6$ cm und $8$ cm.

Zwei Schüler der Klasse 8, Lea und Markus, prüfen, ob zwei dreieckige Segel ihrer Jollen ähnlich sind. Leas Segel hat zwei Winkel mit den Maßen $65^\circ$ und $45^\circ$. Markus’ Segel hat einen Winkel von $45^\circ$ und einen weiteren von $70^\circ$.

a) Berechne den dritten Winkel jedes Segels.

b) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze, ob die beiden Segel dieselbe Form haben (ähnlich sind).

Wir haben zwei gleichschenklige Dreiecke. Das erste hat einen Winkel an der Spitze von $40^\circ$, und seine gleich langen Seiten sind jeweils $10\text{ cm}$ lang. Das zweite hat ebenfalls einen Winkel an der Spitze von $40^\circ$, aber seine gleich langen Seiten sind $15\text{ cm}$ lang.

a) Sind diese beiden Dreiecke ähnlich? Begründe deine Antwort und nenne den angewendeten Ähnlichkeitssatz.

b) Wie groß ist der Streckfaktor vom ersten zum zweiten Dreieck?

c) Wenn die Basis des ersten Dreiecks $6,84\text{ cm}$ lang ist, wie lang ist dann die Basis des zweiten?

Berechne den Streckfaktor $k$, der das kleine Dreieck in das große Dreieck überführt; die Dreiecke sind ähnlich. Gib an, nachdem du $k$ bestimmt hast, wie lang die mit dem Buchstaben $x$ markierte Seite sein muss.

Berechne die Seitenlängen eines Dreiecks, das zu einem Dreieck mit den Seitenlängen $5$ cm, $7$ cm und $9$ cm ähnlich ist, wenn der Streckfaktor $k = 3$ beträgt. Wie wird das neue Dreieck sein, größer oder kleiner als das ursprüngliche?

Berechne den Abstand zwischen den Punkten $B$ und $D$ in der folgenden Figur. Die Strecken $BC$ und $DE$ sind parallel, und die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen auf einer Geraden, ebenso $A$, $C$ und $E$. Bekannt sind: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ und $DE = 12,5\text{ cm}$.

Die Gemeinde möchte eine Zugangsrampe für Rollstühle errichten. Der ursprüngliche Entwurf ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite $4$ Meter und der Höhe $0,8$ Meter. Aufgrund einer Vorschrift muss die Grundseite auf $6$ Meter verlängert werden, wobei die Neigung (der Winkel) gleich bleibt.

a) Welche Höhe hat die neue Rampe?

b) Wenn für die ursprüngliche Rampe $4,08$ Meter Fahrfläche (Hypotenuse) benötigt wurden, wie viele Meter werden dann für die verlängerte Rampe benötigt?

Ein Architekt präsentiert ein Modell eines Kulturzentrums in Form einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Der Streckfaktor zwischen Modell und realem Gebäude beträgt $1:150$. Wenn das Volumen des Modells $0,8$ $dm^3$ beträgt, wie groß ist das Volumen des realen Gebäudes in Kubikmetern ($m^3$)? Denke daran, den Zusammenhang zwischen Streckfaktor und Volumen richtig anzuwenden.

Beim Entwurf einer Stahlkonstruktion für ein Dach werden zwei parallele Träger verwendet, um das Hauptgerüst zu verstärken. Die entstehenden Dreiecke liegen in Strahlensatzfigur. Berechne die Länge der in der folgenden Skizze mit $x$ und $y$ markierten Strecken:

(Hinweis: An der Basis ist die kleine Strecke $4\text{ m}$ lang und die gesamte Strecke $10\text{ m}$. Auf der geneigten Dachfläche ist die kleine Strecke $5\text{ m}$ lang. Bestimme $x$, den restlichen Teil der Basis, und $y$, die restliche Strecke der geneigten Dachfläche.)

Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt $V$. Auf der einen werden die Punkte $A$ und $B$ markiert, auf der anderen die Punkte $C$ und $D$, sodass die Strecken $AC$ und $BD$ parallel sind (Strahlensatzfigur). Es gilt $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm, und der Flächeninhalt des kleineren Dreiecks $VAC$ beträgt $27$ $cm^2$. Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $ABDC$; die Dreiecke sind ähnlich.

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, ohne ihn zu überqueren, setzt ein Landvermesser mehrere Pflöcke, wie in der Abbildung gezeigt. Die entstehenden Dreiecke $ABC$ und $CDE$ sind ähnlich, weil die Ufer parallel sind und sich die Sichtlinien im Punkt $C$ schneiden. Die gemessenen Längen sind $AB = 24$ m, $BC = 30$ m und $CD = 15$ m. Bestimme die Breite des Flusses ($ED$) und erkläre, welchen Ähnlichkeitssatz du angewendet hast.

Ein Baum wirft einen Schatten von $12$ Metern. Im selben Moment wirft ein senkrecht in den Boden gestecktes Stock von $1,5$ Metern einen Schatten von $2$ Metern. Wie hoch ist der Baum? Erkläre, warum die Dreiecke, die der Baum und der Stock mit ihren Schatten bilden, ähnlich sind.

Um die Höhe eines Basketballkorbs zu messen, verwendet eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern einen senkrecht aufgestellten Stab von $1,5$ Metern. In dem Moment, in dem der Schatten des Stabs $1,2$ Meter lang ist, ist der auf den Boden geworfene Schatten des Korbs $2,4$ Meter lang. Berechne die Höhe des Korbs, indem du die Ähnlichkeit der durch die Sonne gebildeten Dreiecke nutzt.

Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern der Klasse 8 möchte die Höhe des Fernmeldeturms ihrer Stadt messen. Dazu verwenden sie einen senkrechten Pfahl mit einer Höhe von $2,5$ Metern. Sie stellen den Pfahl so auf, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt das Schattenende des Turms und das des Pfahls im selben Punkt auf dem Boden zusammenfallen. Der Abstand zwischen dem Fußpunkt des Pfahls und dem Punkt, an dem die Schatten enden, beträgt $3,2$ Meter, und der Abstand zwischen dem Fußpunkt des Turms und dem Fußpunkt des Pfahls beträgt $18,4$ Meter. Berechne die Höhe des Turms.

Ein Schreiner entwirft ein Regal, das mit einer Querstrebe in Form eines rechtwinkligen Dreiecks verstärkt wird. Im Dreieck an der Basis teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in zwei Abschnitte der Längen $18$ cm und $32$ cm. Der Schreiner muss die Länge der beiden Leisten kennen, die die Katheten des Dreiecks bilden, um sie zu kaufen. Berechne die Längen beider Katheten und die Höhe der Querstrebe mithilfe der Ähnlichkeitsbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken.