Zehnerpotenzschreibweise
Die Sonne ist etwa 150.000.000 km von der Erde entfernt, ein Haar ist nur 0,00007 m dick. Wer solche Zahlen mit all den Nullen aufschreibt, verzählt sich schnell. Wie schreibt man sie kurz und übersichtlich? Und wie rechnet man damit, ohne den Überblick zu verlieren?
Zehnerpotenzen
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Der Exponent sagt, wie viele Nullen die Zahl hat.
$$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1.000$$Für kleine Zahlen verwendest du negative Exponenten. Sie stehen für das Teilen durch 10, immer wieder:
$$10^{-1} = 0{,}1 \qquad 10^{-2} = 0{,}01 \qquad 10^{-3} = 0{,}001$$| Potenz | Zahl | Merkhilfe |
|---|---|---|
| $10^6$ | 1.000.000 | 6 Nullen |
| $10^2$ | 100 | 2 Nullen |
| $10^0$ | 1 | keine Null |
| $10^{-2}$ | 0,01 | 2 Stellen nach dem Komma, die letzte ist die 1 |
| $10^{-4}$ | 0,0001 | 4 Stellen nach dem Komma |
Warum ist das so? Jeder Schritt nach unten in der Tabelle teilt durch 10. Der Exponent sinkt dabei um 1. So kommt man über $10^0 = 1$ ganz natürlich zu $10^{-1} = 0{,}1$.
Schreibe als Zehnerpotenz (ohne Taschenrechner): a) $1.000$ b) $1.000.000$ c) $0{,}01$ d) $0{,}0001$
Schreibe als Zehnerpotenz (ohne Taschenrechner):
- a) $1.000$
- b) $1.000.000$
- c) $0{,}01$
- d) $0{,}0001$
Wissenschaftliche Schreibweise
Auch Zahlen wie 4.500 lassen sich mit Zehnerpotenzen schreiben. Man nutzt dafür die wissenschaftliche Schreibweise.
Der Faktor $a$ hat genau eine Stelle vor dem Komma, die nicht null ist. So ist die Darstellung eindeutig.
Merke: Große Zahlen (ab 10) haben einen positiven Exponenten. Kleine Zahlen zwischen 0 und 1 haben einen negativen Exponenten.
Zurück zur ausgeschriebenen Zahl geht es genau umgekehrt: Verschiebe das Komma um $n$ Stellen, bei positivem $n$ nach rechts und bei negativem $n$ nach links. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf.
$$2{,}5\cdot10^6 = 2.500.000 \qquad 1{,}2\cdot10^{-5} = 0{,}000012$$Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise ($a\cdot10^n$ mit $1\leq a<10$): a) $4.500$ b) $320.000$ c) $0{,}007$ d) $0{,}00061$
Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise ($a\cdot10^n$ mit $1\leq a<10$):
- a) $4.500$
- b) $320.000$
- c) $0{,}007$
- d) $0{,}00061$
Schreibe als ausgeschriebene Dezimalzahl: a) $3\cdot10^4$ b) $2{,}5\cdot10^6$ c) $8\cdot10^{-3}$ d) $1{,}2\cdot10^{-5}$
Schreibe als ausgeschriebene Dezimalzahl:
- a) $3\cdot10^4$
- b) $2{,}5\cdot10^6$
- c) $8\cdot10^{-3}$
- d) $1{,}2\cdot10^{-5}$
Vergleichen und Größenordnung
Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise vergleichst du in zwei Schritten:
-
Zuerst vergleichst du die Exponenten. Der größere Exponent gehört zur größeren Zahl.
-
Nur bei gleichem Exponenten vergleichst du die Faktoren $a$.
Beispiel: $3 \cdot 10^5 > 9 \cdot 10^4$, denn $300.000 > 90.000$. Der Faktor 9 ist größer, aber die Zehnerpotenz entscheidet.
Sind die Zahlen nicht normiert, bringst du sie erst in wissenschaftliche Schreibweise. Aus $380 \cdot 10^1$ wird $3{,}8 \cdot 10^3$.
Die Skala ist logarithmisch: Der Abstand zwischen zwei Marken ist ungefähr proportional zum Unterschied der Exponenten, und jede Zehnerpotenz mehr bedeutet „zehnmal so groß“. Alle Längen sind in Metern angegeben. Deshalb vergleicht man bei Größenordnungen die Exponenten.
Ordne der Größe nach (kleinste zuerst) und begründe: $4{,}2\cdot10^{3}$; $0{,}05\cdot10^{5}$; $380\cdot10^{1}$; $4{,}1\cdot10^{-2}$
Ordne der Größe nach (kleinste zuerst) und begründe:
$4{,}2\cdot10^{3}$; $0{,}05\cdot10^{5}$; $380\cdot10^{1}$; $4{,}1\cdot10^{-2}$
Rechnen mit Zehnerpotenzen
Multiplizieren: Multipliziere die Faktoren und addiere die Exponenten.
Dividieren: Dividiere die Faktoren und subtrahiere die Exponenten.
$$(a \cdot 10^m)\cdot(b\cdot 10^n) = (a\cdot b)\cdot10^{m+n}$$Der Grund: $10^4 \cdot 10^3$ sind insgesamt $4+3 = 7$ Zehnerfaktoren, also $10^7$.
Addieren und Subtrahieren: Das geht nur bei gleichem Exponenten. Dann rechnest du mit den Faktoren und behältst die Zehnerpotenz, so wie bei $3\text{ m} + 4\text{ m} = 7\text{ m}$. Sonst schreibst du erst eine Zahl um.
$$4\cdot10^5 + 3\cdot10^4 = 40\cdot10^4 + 3\cdot10^4 = 43\cdot10^4 = 4{,}3\cdot10^5$$Berechne und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an: a) $(3\cdot10^4)\cdot(2\cdot10^3)$ b) $(6\cdot10^8):(3\cdot10^5)$ c)…
Berechne und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:
- a) $(3\cdot10^4)\cdot(2\cdot10^3)$
- b) $(6\cdot10^8):(3\cdot10^5)$
- c) $(5\cdot10^{-3})\cdot(4\cdot10^{-2})$
- d) $(1{,}5\cdot10^5)\cdot(4\cdot10^2)$
Maja rechnet: $(4\cdot10^{5})+(3\cdot10^{4}) = 7\cdot10^{9}$. a) Finde den Fehler. b) Berechne die Summe richtig und gib sie in wissenschaftlicher Schreibweise an. c)…
Maja rechnet: $(4\cdot10^{5})+(3\cdot10^{4}) = 7\cdot10^{9}$.
- a) Finde den Fehler.
- b) Berechne die Summe richtig und gib sie in wissenschaftlicher Schreibweise an.
- c) Berechne $(2{,}5\cdot10^{-3})-(4\cdot10^{-4})$ in wissenschaftlicher Schreibweise.
Anwendungen
Jetzt kannst du die Zahlen vom Anfang nutzen. Wie lange braucht das Licht von der Sonne bis zur Erde?
Zurück zum Anfang: Mit Zehnerpotenzen sind $150.000.000\text{ km} = 1{,}5\cdot10^8\text{ km}$ und $0{,}00007\text{ m} = 7\cdot10^{-5}\text{ m}$ kurz und gut vergleichbar. Dividierst du Größen, subtrahierst du die Exponenten.
Bei Größenvergleichen („Wie viele Atome passen in ein Haar?“) teilst du die beiden Größen. Dabei zeigt der Exponent sofort die Größenordnung: Der Unterschied der Exponenten sagt, um wie viele Zehnerpotenzen die Größen auseinanderliegen.
Die Erde ist etwa $1{,}5\cdot10^{8}\text{ km}$ von der Sonne entfernt. Licht legt in einer Sekunde etwa $3\cdot10^{5}\text{ km}$ zurück. a) Wie lange braucht das Licht…
Die Erde ist etwa $1{,}5\cdot10^{8}\text{ km}$ von der Sonne entfernt. Licht legt in einer Sekunde etwa $3\cdot10^{5}\text{ km}$ zurück.
- a) Wie lange braucht das Licht von der Sonne zur Erde in Sekunden?
- b) Gib das Ergebnis in Minuten an (gerundet auf eine Nachkommastelle).
Ein Haar ist etwa $0{,}00007\text{ m}$ dick. Ein Wasserstoffatom hat einen Durchmesser von etwa $1\cdot10^{-10}\text{ m}$. a) Schreibe die Haardicke in…
Ein Haar ist etwa $0{,}00007\text{ m}$ dick. Ein Wasserstoffatom hat einen Durchmesser von etwa $1\cdot10^{-10}\text{ m}$.
- a) Schreibe die Haardicke in wissenschaftlicher Schreibweise.
- b) Wie viele Wasserstoffatome müssten nebeneinander liegen, um die Dicke eines Haars zu erreichen?
- c) Erkläre, warum man bei solchen Größenvergleichen die Zehnerpotenzen vergleicht.
Deutschland hat etwa $8{,}3\cdot10^{7}$ Einwohner. Eine Studie sagt, dass jede Person im Durchschnitt $1{,}2\cdot10^{2}$ Liter Wasser pro Tag verbraucht. a) Berechne den…
Deutschland hat etwa $8{,}3\cdot10^{7}$ Einwohner. Eine Studie sagt, dass jede Person im Durchschnitt $1{,}2\cdot10^{2}$ Liter Wasser pro Tag verbraucht.
- a) Berechne den Gesamtverbrauch pro Tag in Litern (wissenschaftliche Schreibweise).
- b) Rechne in Kubikmeter um.
- c) Ein Schwimmbecken fasst $2{,}5\cdot10^{3}\text{ m}^3$. Wie vielen Becken entspricht der Tagesverbrauch?