Potenzgesetze
Ein Schachbrett hat 64 Felder. Legst du auf das erste Feld ein Reiskorn und auf jedes weitere Feld doppelt so viele wie auf das vorherige, wird die Zahl schnell riesig. Wie schreibst du so etwas kurz auf, und wie rechnest du damit, ohne jedes Mal alles auszuschreiben? Genau dafür gibt es Potenzen und die Potenzgesetze.
Potenzen: abgekürztes Malnehmen
Wenn du denselben Faktor mehrfach multiplizierst, schreibst du kurz eine Potenz.
Beispiele: $2\cdot2\cdot2 = 2^3 = 8$ und $10\cdot10\cdot10\cdot10 = 10^4 = 10\,000$.
Bei negativer Basis hängt das Vorzeichen vom Exponenten ab: gerader Exponent ergibt ein positives Ergebnis, ungerader ein negatives. So ist $(-3)^3 = -27$.
Schreibe als Potenz und berechne: a) $2\cdot2\cdot2\cdot2$ b) $5\cdot5\cdot5$ c) $(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$ d) $10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10$
Schreibe als Potenz und berechne:
- a) $2\cdot2\cdot2\cdot2$
- b) $5\cdot5\cdot5$
- c) $(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)$
- d) $10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10$
Potenzen mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten
Schreib einmal aus: $3^4 \cdot 3^2 = (3\cdot3\cdot3\cdot3)\cdot(3\cdot3) = 3^6$. Es sind insgesamt $4+2$ Faktoren. Und $\dfrac{7^6}{7^2} = \dfrac{7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7}{7\cdot7} = 7^4$: Zwei Faktoren kürzen sich weg, es bleiben $6-2$.
Warum Gesetz 3? $(2^3)^2 = 2^3\cdot2^3 = 2^{3+3} = 2^{3\cdot2} = 2^6$. Warum Gesetz 4? $(3a)^2 = 3a\cdot3a = 3\cdot3\cdot a\cdot a = 9a^2$. Die Potenz gilt für jeden Faktor in der Klammer.
Fasse zu einer Potenz zusammen: a) $3^4\cdot3^2$ b) $x^5\cdot x^3$ c) $7^6:7^2$ d) $a^8:a^5$
Fasse zu einer Potenz zusammen:
- a) $3^4\cdot3^2$
- b) $x^5\cdot x^3$
- c) $7^6:7^2$
- d) $a^8:a^5$
Vereinfache: a) $(2^3)^2$ b) $(x^2)^4$ c) $(3a)^2$ d) $(2x^3)^3$
Vereinfache:
- a) $(2^3)^2$
- b) $(x^2)^4$
- c) $(3a)^2$
- d) $(2x^3)^3$
Vereinfache: a) $\frac{x^7\cdot x^2}{x^4}$ b) $\frac{6a^5}{2a^2}$ c) $a^{-2}\cdot a^5$ d) $\frac{(b^3)^2}{b^4}$
Vereinfache:
- a) $\frac{x^7\cdot x^2}{x^4}$
- b) $\frac{6a^5}{2a^2}$
- c) $a^{-2}\cdot a^5$
- d) $\frac{(b^3)^2}{b^4}$
Exponent 0 und negative Exponenten
Was soll $a^0$ bedeuten? Die Potenzgesetze geben die Antwort: Nach Gesetz 2 ist $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$. Andererseits ist ein Bruch mit gleichem Zähler und Nenner gleich 1. Also muss $a^0 = 1$ gelten.
Ebenso: $\dfrac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}$. Kürzen liefert $\dfrac{a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} = \dfrac1{a^3}$. Also ist $a^{-3} = \dfrac1{a^3}$.
Du siehst das Muster auch in einer Reihe: $10^3 = 1000$, $10^2 = 100$, $10^1 = 10$, $10^0 = 1$, $10^{-1} = \frac1{10} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$. Mit jedem Schritt nach unten wird durch 10 geteilt.
Berechne: a) $2^{-1}$ b) $10^{-3}$ c) $5^0$ d) $\left(\frac{1}{2}\right)^3$
Berechne:
- a) $2^{-1}$
- b) $10^{-3}$
- c) $5^0$
- d) $\left(\frac{1}{2}\right)^3$
Begründe mit den Potenzgesetzen: a) Warum gilt $a^0 = 1$ für $a\neq 0$? Gehe von $\frac{a^3}{a^3}$ aus. b) Warum gilt $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$? Gehe von $\frac{a^2}{a^5}$…
Begründe mit den Potenzgesetzen:
- a) Warum gilt $a^0 = 1$ für $a\neq 0$? Gehe von $\frac{a^3}{a^3}$ aus.
- b) Warum gilt $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$? Gehe von $\frac{a^2}{a^5}$ aus.
- c) Warum ist $(-2)^4 \neq -2^4$? Berechne beide Terme.
Anwendungen und schwierigere Terme
Potenzen beschreiben Verdopplungen. Auf dem Schachbrett liegen auf Feld 1 genau $2^0 = 1$ Korn, auf Feld 2 genau $2^1 = 2$ Körner, auf Feld 3 genau $2^2 = 4$ Körner. Auf Feld $n$ liegen also $2^{n-1}$ Körner, und von Feld 8 zu Feld 11 wächst die Zahl um den Faktor $2^{11-8} = 2^3 = 8$.
Vorgehen bei zusammengesetzten Termen:
-
Klammern zuerst nach Gesetz 3 und 4 auflösen.
-
Zahlen und gleiche Variablen getrennt zusammenfassen.
-
Am Ende negative Exponenten in Brüche umschreiben, wenn die Aufgabe es verlangt.
Ein Schachbrett hat $64$ Felder. Auf das erste Feld wird ein Reiskorn gelegt, auf jedes weitere Feld doppelt so viele wie auf das vorherige. a) Wie viele Reiskörner…
Ein Schachbrett hat $64$ Felder. Auf das erste Feld wird ein Reiskorn gelegt, auf jedes weitere Feld doppelt so viele wie auf das vorherige.
- a) Wie viele Reiskörner liegen auf Feld $5$? Schreibe als Potenz.
- b) Wie viele liegen auf Feld $n$?
- c) Wie viele Körner liegen auf Feld $11$ im Vergleich zu Feld $8$? Gib den Faktor als Potenz an.
Vereinfache so weit wie möglich und gib das Ergebnis ohne negative Exponenten an: a) $\frac{(2a^2b)^3}{4a^4b^2}$ b) $\left(\frac{x^{-2}y^3}{x\,y^{-1}}\right)^2$ c)…
Vereinfache so weit wie möglich und gib das Ergebnis ohne negative Exponenten an:
- a) $\frac{(2a^2b)^3}{4a^4b^2}$
- b) $\left(\frac{x^{-2}y^3}{x\,y^{-1}}\right)^2$
- c) $\frac{3^{n+2}-3^n}{3^n}$
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn sind es $800$ Bakterien. a) Gib einen Term für die Anzahl nach $t$ Stunden an. b) Wie viele Bakterien gibt es…
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn sind es $800$ Bakterien.
- a) Gib einen Term für die Anzahl nach $t$ Stunden an.
- b) Wie viele Bakterien gibt es nach $10$ Stunden?
- c) Wie viele waren es vor $3$ Stunden? Nutze einen negativen Exponenten.
- d) Nach wie vielen Stunden sind es erstmals mehr als eine Million?
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Auf Feld $n$ liegen $2^{n-1}$ Körner, und mit den Potenzgesetzen vergleichst du Felder, ohne alles auszuschreiben.