Lineare Funktionen
Ein Taxi in Köln berechnet 3,50 € Grundgebühr und 1,20 € pro Kilometer. Ein Fitnessstudio verlangt 20 € Anmeldegebühr und 15 € pro Monat. Deine Spardose wächst jede Woche um 5 €. In allen drei Fällen ist der Graph eine Gerade. Mit zwei Zahlen (Wie viel kommt pro Einheit dazu? Wo startet es?) kennst du alles.
Steigung und y-Achsenabschnitt
Verändere $m$ und $b$. Beobachte: $m$ ändert die Neigung, $b$ verschiebt die Gerade nach oben oder unten, ohne sie zu drehen.
-
$m > 0$: Der Graph steigt. $m < 0$: Der Graph fällt. $m = 0$: Der Graph ist waagerecht.
-
Je größer $|m|$ ist, desto steiler verläuft die Gerade.
Gib für jede der folgenden Funktionen den Wert der Steigung und des y-Achsenabschnitts an und entscheide, ob ihr Graph steigt oder fällt: a) $y = 4x - 3$ b)…
Gib für jede der folgenden Funktionen den Wert der Steigung und des y-Achsenabschnitts an und entscheide, ob ihr Graph steigt oder fällt:
- a) $y = 4x - 3$
- b) $y = -2x + 7$
- c) $y = \frac{1}{3}x$
- d) $y = 5 - x$
Gib an, welche der folgenden Gleichungen zu einer proportionalen Funktion, welche zu einer linearen Funktion der Form y = mx + b gehören und welche weder noch sind.…
Gib an, welche der folgenden Gleichungen zu einer proportionalen Funktion, welche zu einer linearen Funktion der Form y = mx + b gehören und welche weder noch sind. Begründe deine Antwort.
- a) $y = -3x$
- b) $y = x^2 + 1$
- c) $y = \frac{x}{2} - 4$
- d) $y = \frac{2}{x}$
- e) $y = 7$
In der Abbildung sind drei Geraden $a$, $b$ und $c$ zu sehen, wie unten gezeigt. a) Ordne jeder Geraden ihre Gleichung aus diesen dreien zu: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$,…
In der Abbildung sind drei Geraden $a$, $b$ und $c$ zu sehen, wie unten gezeigt.
- a) Ordne jeder Geraden ihre Gleichung aus diesen dreien zu: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.
- b) Erkläre, wie du das Vorzeichen der Steigung und den y-Achsenabschnitt für deine Entscheidung genutzt hast.
Die Steigung berechnen
Kennst du zwei Punkte $A(x_1 \mid y_1)$ und $B(x_2 \mid y_2)$ der Geraden, zeichnest du ein Steigungsdreieck:
$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$Das ist „Höhenunterschied geteilt durch Breitenunterschied“. Der Quotient ist überall auf der Geraden gleich, deshalb darfst du zwei beliebige Punkte nehmen.
Berechne die Steigung der Geraden durch jeweils zwei Punkte: a) $A(2|5)$ und $B(6|13)$ b) $P(-1|4)$ und $Q(3|-8)$ c) $M(0|-2)$ und $N(5|-2)$
Berechne die Steigung der Geraden durch jeweils zwei Punkte:
- a) $A(2|5)$ und $B(6|13)$
- b) $P(-1|4)$ und $Q(3|-8)$
- c) $M(0|-2)$ und $N(5|-2)$
Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|8)$ in folgenden Schritten: a) Berechne die Steigung $m$. b) Setze die Koordinaten eines der Punkte…
Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|8)$ in folgenden Schritten:
- a) Berechne die Steigung $m$.
- b) Setze die Koordinaten eines der Punkte in $y = mx + b$ ein, um $b$ zu bestimmen.
- c) Gib die endgültige Gleichung an und überprüfe, dass auch der andere Punkt sie erfüllt.
Die Gerade in der Abbildung stellt eine lineare Funktion dar, wie unten gezeigt. a) Finde zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die die Gerade verläuft. b)…
Die Gerade in der Abbildung stellt eine lineare Funktion dar, wie unten gezeigt.
- a) Finde zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die die Gerade verläuft.
- b) Berechne ihre Steigung mithilfe dieser Punkte.
- c) Gib die Funktionsgleichung an.
Eine Gerade zeichnen
Du brauchst nur zwei Punkte. Berechne in einer Wertetabelle zwei einfache $y$-Werte, trage die Punkte ein und verbinde sie mit dem Lineal. Oder: Starte bei $(0 \mid b)$ und gehe das Steigungsdreieck ab.
Ob ein Punkt auf der Geraden liegt, prüfst du mit der Punktprobe: Setze die Koordinaten in die Gleichung ein. $(1 \mid 4)$ liegt auf $y = -2x + 6$, denn $-2 + 6 = 4$ ✓.
Prüfe durch Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung, ob die Punkte $A(3|4)$ und $B(-2|11)$ auf der Geraden $y = -3x + 5$ liegen.
Prüfe durch Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung, ob die Punkte $A(3|4)$ und $B(-2|11)$ auf der Geraden $y = -3x + 5$ liegen.
Übertrage die Wertetabelle der Funktion $y = -2x + 6$ für $x = -1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in dein Heft und vervollständige sie. Zeichne die Gerade in ein…
Übertrage die Wertetabelle der Funktion $y = -2x + 6$ für $x = -1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in dein Heft und vervollständige sie. Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem. In welchem Punkt schneidet sie die $X$-Achse?
Der Graph zeigt eine lineare Funktion, wie in der Abbildung dargestellt. a) Wie lautet der y-Achsenabschnitt? b) Um wie viel nimmt $y$ zu, wenn $x$ um eine Einheit…
Der Graph zeigt eine lineare Funktion, wie in der Abbildung dargestellt.
- a) Wie lautet der y-Achsenabschnitt?
- b) Um wie viel nimmt $y$ zu, wenn $x$ um eine Einheit zunimmt? Wie groß ist die Steigung?
- c) Gib ihre Funktionsgleichung an.
Geraden im Alltag
In Sachaufgaben ist $b$ meist der feste Betrag (Grundgebühr, Anmeldegebühr) und $m$ der Wert pro Einheit (Euro pro Monat, Euro pro km). Das Modell gilt nur, solange die Annahme „gleichmäßig“ stimmt, und meist nur für $x \ge 0$.
Ein Fitnessstudio verlangt eine Anmeldegebühr von $20\ \text{€}$ und $15\ \text{€}$ pro Monat. a) Stelle die Gleichung auf, die die Gesamtkosten $y$ in Euro in…
Ein Fitnessstudio verlangt eine Anmeldegebühr von $20\ \text{€}$ und $15\ \text{€}$ pro Monat.
- a) Stelle die Gleichung auf, die die Gesamtkosten $y$ in Euro in Abhängigkeit von der Anzahl der Monate $x$ angibt.
- b) Wie groß ist der y-Achsenabschnitt und was bedeutet er in diesem Zusammenhang?
- c) Und die Steigung? Was bedeutet sie?
Ein Taxi verlangt $3,50\ \text{€}$ Grundgebühr und $1,20\ \text{€}$ für jeden gefahrenen Kilometer. a) Stelle die Funktion auf, die den Preis $y$ einer Fahrt von $x$…
Ein Taxi verlangt $3,50\ \text{€}$ Grundgebühr und $1,20\ \text{€}$ für jeden gefahrenen Kilometer.
- a) Stelle die Funktion auf, die den Preis $y$ einer Fahrt von $x$ Kilometern angibt.
- b) Wie viel kostet eine Fahrt von $12\ \text{km}$?
- c) Eine Fahrt hat $16,70\ \text{€}$ gekostet. Wie viele Kilometer wurden zurückgelegt?
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$: a) Stelle die Gleichung auf, die sich durch Gleichsetzen der beiden Terme ergibt, und löse sie. b)…
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$:
- a) Stelle die Gleichung auf, die sich durch Gleichsetzen der beiden Terme ergibt, und löse sie.
- b) Berechne die y-Koordinate des Schnittpunkts.
- c) Überprüfe das Ergebnis, indem du in beide Gleichungen einsetzt.
Um Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, verwendet man die Funktion $F = 1,8C + 32$. a) Wie viel Grad Fahrenheit sind $25\ \text{°C}$? b) Was bedeutet der…
Um Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, verwendet man die Funktion $F = 1,8C + 32$.
- a) Wie viel Grad Fahrenheit sind $25\ \text{°C}$?
- b) Was bedeutet der Koeffizient $1,8$? Und der Summand $32$?
- c) Die Vorhersage meldet $86\ \text{°F}$ in einer Stadt in den USA. Wie viel Grad Celsius sind das?
Zurück zum Anfang: Das Taxi folgt der Geraden $y = 1{,}20x + 3{,}50$ (Preis in € nach km), das Fitnessstudio $y = 15x + 20$ (Kosten in € nach Monaten). In beiden Fällen ist die Grundgebühr der y-Achsenabschnitt $b$ und der Preis pro Einheit die Steigung $m$.