Der Satz des Pythagoras

Bestimme die Länge der unbekannten Seite ($c$) im folgenden rechtwinkligen Dreieck, wenn du weißt, dass die Hypotenuse $13$ cm misst und eine der Katheten $5$ cm.

Überprüfe, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen $7$ cm, $10$ cm und $12$ cm ein rechtwinkliges Dreieck ist. Prüfe dazu, ob für seine Seiten die Gleichung des Satzes des Pythagoras erfüllt ist.

Bei einem Fußballtraining läuft ein Spieler in gerader Linie von einer Ecke des Spielfelds zur gegenüberliegenden Ecke. Wenn das Feld $80$ Meter lang und $60$ Meter breit ist, welche Strecke legt der Spieler auf seinem diagonalen Lauf zurück?

Um ein Volleyballnetz auf dem Schulhof zu sichern, wurde ein Spannseil von der Spitze eines Pfostens zu einem Anker im Boden gespannt. Der Pfosten ist $2,4$ Meter hoch und die Entfernung vom Fuß des Pfostens bis zum Anker beträgt $1,8$ Meter. Wenn wir ein gleichartiges Seil an einem anderen Pfosten anbringen wollen, der eine maßstäbliche Vergrößerung des ersten im Maßstab $k = 1,5$ ist, wie lang wird das neue Spannseil?

Ein rechteckiges Smartphone-Display hat eine Höhe von $12\text{ cm}$ und eine Breite von $5\text{ cm}$. Ein Tablet ist dem Smartphone ähnlich und seine kürzere Seite misst $15\text{ cm}$. Berechne zuerst die Diagonale des Smartphones mit dem Satz des Pythagoras und bestimme dann mithilfe des Streckfaktors die Diagonale des Tablets.

Im Modell eines Spielplatzes hat eine gerade Skateboard-Rampe die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Grundseite von $12\text{ cm}$ und einer Höhe von $5\text{ cm}$. Die tatsächlich gebaute Rampe im Park ist eine maßstäbliche, ähnliche Vergrößerung mit dem Streckfaktor $k = 20$. Um die Länge der schrägen Fläche der echten Rampe (die Hypotenuse) zu bestimmen, wählen zwei Schüler verschiedene Wege:

• Marcos' Methode: Er berechnet zuerst die Hypotenuse des Modells mit dem Satz des Pythagoras und multipliziert diese Länge dann mit dem Streckfaktor $k = 20$.

• Saras Methode: Sie multipliziert zuerst beide Maße des Modells mit dem Faktor $k = 20$, um die tatsächliche Grundseite und Höhe im Park zu erhalten, und wendet dann den Satz des Pythagoras auf diese größeren Werte an.

1. a) Führe beide Methoden vollständig Schritt für Schritt aus und überprüfe, ob beide zum selben Zahlenergebnis in Metern führen.
2. b) Wenn du diese Aufgabe in einer Klassenarbeit ohne Taschenrechner lösen müsstest, welche der beiden Methoden würdest du wählen und warum? Begründe deine Wahl, indem du den Rechenaufwand analysierst und dich auf die Eigenschaften der Ähnlichkeit stützt.

Eine aufgeklappte Stehleiter hat eine senkrechte Höhe von $2,4$ Metern. Wenn der Abstand zwischen den Füßen am Boden $1,4$ Meter beträgt, wie lang ist jeder der beiden Schenkel der Leiter? Hilfe: Beachte, dass die Höhe die Leiter in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke teilt.

In einem Park gibt es eine Skaterampe, die von der Seite gesehen ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Die Grundseite der Rampe misst $4\text{ Meter}$ und die maximale Höhe beträgt $3\text{ Meter}$. In einer Entfernung von $1,6\text{ Meter}$ vom Fuß der Rampe wurde eine senkrechte Verstärkungsstütze angebracht.

• a) Berechne die gesamte Länge der Rampe (der schrägen Fläche).

• b) Berechne mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken die Höhe der senkrechten Stütze.

Die Feuerwehr von Dortmund hat eine Rettungsleiter mit einer festen Länge von $6,5\text{ m}$. Um an einen Balkon zu gelangen, lehnt sie das obere Ende an die senkrechte Fassade eines Gebäudes und stellt den Fuß auf einen waagerechten Gehweg, $2,5\text{ m}$ von der Wand entfernt.

1. a) Modelliere die Situation mit einem rechtwinkligen Dreieck und berechne, in welcher Höhe der Fassade das obere Ende der Leiter in dieser Ausgangsposition liegt.
2. b) Um einen Radweg freizugeben, rückt die Feuerwehr den Fuß der Leiter $0,9\text{ m}$ näher an die Wand (er steht dann $1,6\text{ m}$ von ihr entfernt). Wird das obere Ende an der Wand genau um dieselben $0,9\text{ m}$ nach oben rutschen, um die der Fuß nach innen verschoben wurde? Formuliere vor der Rechnung eine begründete Vermutung und berechne anschließend die neue erreichte Höhe, um deine Vermutung zu überprüfen.
3. c) Vergleiche die waagerechte Änderung des Fußpunkts mit der senkrechten Änderung der Höhe und erkläre, warum wegen des quadratischen Zusammenhangs im Satz des Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) die waagerechte und die senkrechte Verschiebung nicht in einem konstanten Verhältnis stehen und im Allgemeinen nicht gleich sind.

Bei der Waldbrandüberwachung in den Bayerischen Alpen befindet sich ein Beobachtungsposten der Forstverwaltung in einer Höhe von $1900\text{ m}$. Der Wächter entdeckt eine Rauchsäule, deren Position auf der Landkarte $1200\text{ m}$ östlich und $900\text{ m}$ nördlich des Turms liegt, jedoch in einer Senke in tieferer Lage, auf einer Höhe von $1100\text{ m}$.

1. a) Modelliere die Situation in der waagerechten Ebene und berechne die Entfernung in gerader Linie auf der Karte (waagerechte Entfernung) zwischen dem Beobachtungsposten und der Rauchsäule.
2. b) Modelliere die Situation dreidimensional unter Berücksichtigung des Höhenunterschieds zwischen dem Turm und dem Feuer. Berechne die tatsächliche, direkte Strecke, die eine Aufklärungsdrohne in gerader Linie im Raum vom Beobachtungsposten bis zum Entstehungsbrand zurücklegen würde.

Ein Paketdienst verwendet Kartons in Form eines Quaders. Einer seiner größten Kartons hat die Maße $60\text{ cm}$ Länge, $45\text{ cm}$ Breite und $30\text{ cm}$ Höhe. Ein Kunde muss ein starres Rohr verschicken, das genau $82\text{ cm}$ lang ist.

Benutze den Satz des Pythagoras, um zu entscheiden, ob das Rohr in den Karton passt (diagonal angeordnet, zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken des Innenraums), und begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen.

Gegeben ist eine regelmäßige quadratische Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $10\text{ cm}$ ist. Die Höhe der Pyramide (vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze) beträgt $12\text{ cm}$.

1. Berechne die Höhe einer Seitenfläche (Apothema der Pyramide) mit dem Satz des Pythagoras.

2. Wir bauen eine kleinere, ähnliche Pyramide mit dem Streckfaktor $k = 0,5$. Berechne das Volumen der kleinen Pyramide, wenn das Volumen der ursprünglichen $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$ beträgt.