Intervallschachtelung
Auf einem Grundstück in Dortmund soll ein quadratischer Zaun entstehen. Die Fläche beträgt $750\,\text{m}^2$. Wie lang ist eine Seite? Die Wurzeltaste liefert sofort eine Antwort. Aber wie kommt der Taschenrechner darauf, und wie findest du die Länge, wenn du ihn nicht benutzen darfst? Am Ende der Seite löst du das Problem selbst.
Wurzeln zwischen Quadratzahlen einschließen
Die meisten Wurzeln sind keine ganzen Zahlen. $\sqrt{25}=5$ ist eine Quadratzahl, aber $\sqrt{30}$ nicht. Du kannst aber sagen, zwischen welchen ganzen Zahlen $\sqrt{30}$ liegt.
Dazu brauchst du die Quadratzahlen: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \dots$
Es gilt $25 < 30 < 36$. Wurzelziehen erhält die Ordnung: Ist $a Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt die Wurzel?Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt die Wurzel? a) $\sqrt{5}$ b) $\sqrt{30}$ c) $\sqrt{85}$ d) $\sqrt{200}$
Die Intervallschachtelung Schritt für Schritt
Ein Einschluss zwischen ganzen Zahlen ist grob. Die Intervallschachtelung verfeinert ihn Stelle für Stelle. Die Idee: Du probierst Zahlen aus, quadrierst sie und vergleichst mit dem Radikanden. Das Quadrieren ist leicht, auch ohne Wurzeltaste.
Man schreibt die Schritte als Tabelle. Eine solche Folge ineinanderliegender Intervalle heißt Intervallschachtelung.
| Schritt | Intervall | Länge |
|---|---|---|
| 1 | $[2;\,3]$ | $1$ |
| 2 | $[2{,}6;\,2{,}7]$ | $0{,}1$ |
| 3 | $[2{,}64;\,2{,}65]$ | $0{,}01$ |
Du musst nicht alle Zahlen testen. Nutze das Ergebnis eines Tests, um die nächste Zahl klug zu wählen: Ist das Quadrat noch viel zu klein, springst du weiter.
Es soll $\sqrt{7}$ näherungsweise bestimmt werden. Berechne die Quadrate: a) $2{,}6^2$ b) $2{,}7^2$ c) Zwischen welchen beiden Zahlen mit einer Nachkommastelle liegt…
Es soll $\sqrt{7}$ näherungsweise bestimmt werden. Berechne die Quadrate:
- a) $2{,}6^2$
- b) $2{,}7^2$
- c) Zwischen welchen beiden Zahlen mit einer Nachkommastelle liegt $\sqrt{7}$?
Ergänze die Intervallschachtelung für $\sqrt{3}$ mit Hilfe des Taschenrechners (nur Quadrieren): a) $1{,}7^2 = \ ?$ und $1{,}8^2 = \ ?$. Welches Intervall mit einer…
Ergänze die Intervallschachtelung für $\sqrt{3}$ mit Hilfe des Taschenrechners (nur Quadrieren):
- a) $1{,}7^2 = \ ?$ und $1{,}8^2 = \ ?$. Welches Intervall mit einer Nachkommastelle ergibt sich?
- b) Prüfe $1{,}73^2$ und $1{,}74^2$. Welches Intervall mit zwei Nachkommastellen ergibt sich?
Bestimme $\sqrt{10}$ durch eine Intervallschachtelung auf zwei Nachkommastellen. Gib dazu jeweils das Intervall mit einer und mit zwei Nachkommastellen an und nenne die…
Bestimme $\sqrt{10}$ durch eine Intervallschachtelung auf zwei Nachkommastellen. Gib dazu jeweils das Intervall mit einer und mit zwei Nachkommastellen an und nenne die verwendeten Quadrate.
Anwenden und das Verfahren beschreiben
Jetzt kannst du die Frage vom Anfang beantworten: ein Quadrat mit $A=750\,\text{m}^2$. Die Seitenlänge ist $s=\sqrt{750}$.
Das Verfahren in eigenen Worten zu beschreiben, gehört dazu: Du sollst begründen, warum es funktioniert. Es funktioniert, weil das Quadrieren für positive Zahlen die Ordnung erhält. Ist $x^2
Ein quadratisches Grundstück in Dortmund hat die Fläche $750 \text{ m}^2$. a) Bestimme die Seitenlänge mit einer Intervallschachtelung auf Zehntel Meter genau (ohne die…
Ein quadratisches Grundstück in Dortmund hat die Fläche $750 \text{ m}^2$.
- a) Bestimme die Seitenlänge mit einer Intervallschachtelung auf Zehntel Meter genau (ohne die Wurzeltaste).
- b) Kontrolliere dein Ergebnis mit der Wurzeltaste.
Beschreibe in eigenen Worten in drei bis vier Schritten, wie man mit einer Intervallschachtelung $\sqrt{a}$ für eine Zahl $a$ auf $3$ Nachkommastellen bestimmt. Wende…
Beschreibe in eigenen Worten in drei bis vier Schritten, wie man mit einer Intervallschachtelung $\sqrt{a}$ für eine Zahl $a$ auf $3$ Nachkommastellen bestimmt. Wende das Verfahren anschließend auf $a = 2$ bis zur zweiten Nachkommastelle an.
Halbieren und irrationale Zahlen
Statt in Zehnteln kannst du das Intervall auch immer in der Mitte teilen (Bisektion). Du quadrierst die Mitte und behältst die Hälfte, in der die Wurzel liegt.
Nach $n$ Halbierungen hat das Intervall die Länge $\frac{1}{2^n}$ (bei Startlänge $1$). Für Länge unter $0{,}01$ brauchst du $2^n>100$. Wegen $2^6=64$ und $2^7=128$ sind es $7$ Schritte.
Warum hört die Schachtelung bei $\sqrt2$ nie auf? Mit $1{,}4^2=1{,}96$, $1{,}5^2=2{,}25$, $1{,}41^2=1{,}9881$ und $1{,}42^2=2{,}0164$ wird das Intervall immer kürzer, aber kein endlicher Dezimalbruch trifft genau $\sqrt2$. Der Grund: Die Dezimalentwicklung von $\sqrt2$ ist unendlich und nicht periodisch. Ein endlicher Dezimalbruch hat dagegen nur endlich viele Stellen, kann also nicht gleich $\sqrt2$ sein. Solche Zahlen heißen irrationale Zahlen. Die Schachtelung nähert sich dem Wert beliebig genau, erreicht ihn aber nie in endlich vielen Schritten.
Jonas startet beim Näherungsverfahren für $\sqrt{20}$ mit dem Intervall $[4;\,5]$ und halbiert das Intervall immer in der Mitte (Bisektion). a) Führe drei…
Jonas startet beim Näherungsverfahren für $\sqrt{20}$ mit dem Intervall $[4;\,5]$ und halbiert das Intervall immer in der Mitte (Bisektion).
- a) Führe drei Halbierungsschritte durch und gib jeweils das neue Intervall an.
- b) Wie groß ist die Länge des Intervalls nach drei Schritten?
- c) Wie viele Halbierungsschritte braucht man mindestens, damit die Länge kleiner als $0{,}01$ ist? Begründe.
Ein Schüler behauptet: „$\sqrt{2} = 1{,}414$, denn $1{,}414^2 = 1{,}999396$ und das ist fast $2$.“ a) Beurteile die Aussage. b) Gib ein Intervall der Länge $0{,}001$ an,…
Ein Schüler behauptet: „$\sqrt{2} = 1{,}414$, denn $1{,}414^2 = 1{,}999396$ und das ist fast $2$.“
- a) Beurteile die Aussage.
- b) Gib ein Intervall der Länge $0{,}001$ an, in dem $\sqrt{2}$ sicher liegt, und begründe mit Quadraten.
- c) Erkläre, warum eine Intervallschachtelung für $\sqrt{2}$ nie mit einem endlichen Dezimalbruch endet. Gehe dabei auf den Begriff irrationale Zahl ein.
Ein schnelleres Verfahren
Für $\sqrt{a}$ wird folgendes Verfahren genutzt: Man wählt einen Startwert $x_0$ und berechnet $x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)$. a) Berechne für…
Für $\sqrt{a}$ wird folgendes Verfahren genutzt: Man wählt einen Startwert $x_0$ und berechnet $x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)$.
- a) Berechne für $a = 10$ und $x_0 = 3$ den Wert $x_1$ und danach $x_2$.
- b) Vergleiche $x_2$ mit dem Wert der Wurzeltaste für $\sqrt{10}$.
- c) Begründe, warum $x_0$ und $\frac{a}{x_0}$ immer auf verschiedenen Seiten von $\sqrt{a}$ liegen, wenn $x_0 \neq \sqrt{a}$ gilt (Beispiel $a = 10$, $x_0 = 3$).