Aufgaben: Kubikwurzeln

Berechne ohne Taschenrechner:

1. a) $\sqrt[3]{8}$

1. b) $\sqrt[3]{27}$

1. c) $\sqrt[3]{125}$

1. d) $\sqrt[3]{1000}$

Ein Würfel hat das Volumen $64 \text{ cm}^3$.

1. a) Berechne die Kantenlänge des Würfels.

1. b) Berechne die Oberfläche des Würfels.

Löse die Gleichungen:

1. a) $x^3 = 343$

1. b) $x^3 = 0{,}001$

1. c) $x^3 = \frac{1}{8}$

Ein würfelförmiger Wassertank in Münster fasst $2{,}197 \text{ m}^3$ Wasser.

1. a) Berechne die Kantenlänge des Tanks in Metern.

1. b) Wie viele Liter Wasser passen in den Tank?

1. c) Der Tank soll innen gestrichen werden (Boden und vier Seitenwände). Berechne die Fläche.

Ein Würfel aus Eisen hat die Masse $7{,}8 \text{ kg}$. Die Dichte von Eisen beträgt $7{,}8 \text{ g/cm}^3$.

1. a) Berechne das Volumen des Würfels in $\text{cm}^3$.

1. b) Berechne die Kantenlänge des Würfels.

Aus einem Metallwürfel mit der Kantenlänge $6 \text{ cm}$ und einem Würfel mit der Kantenlänge $8 \text{ cm}$ wird durch Einschmelzen ein neuer, größerer Würfel gegossen.

1. a) Berechne das Gesamtvolumen.

1. b) Berechne die Kantenlänge des neuen Würfels.

1. c) Vergleiche sie mit der Summe $6 \text{ cm} + 8 \text{ cm}$ und erkläre kurz den Unterschied.

Ein Würfel hat die Kantenlänge $a$. Die Kantenlänge wird verdoppelt.

1. a) Um welchen Faktor wächst das Volumen?

1. b) Um welchen Faktor muss die Kantenlänge vergrößert werden, damit das Volumen auf das $5$-fache wächst? Gib das Ergebnis als Wurzelterm und gerundet auf zwei Nachkommastellen an.

1. c) Ein Würfel hat das Volumen $V$. Begründe, dass die Kantenlänge eines Würfels mit dem Volumen $27V$ genau dreimal so lang ist.

Lena behauptet: „$\sqrt[3]{-8} = -2$, aber $\sqrt{-4}$ gibt es nicht. Deshalb kann man aus negativen Zahlen manchmal die dritte, aber nie die zweite Wurzel ziehen.“

1. a) Überprüfe die Aussage $\sqrt[3]{-8} = -2$ durch eine Probe.

1. b) Begründe, warum es keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 = -4$ gibt.

1. c) Löse $x^3 = -125$ und $x^3 + 27 = 0$.

Eine Kugel und ein Würfel haben dasselbe Volumen $V = 1000 \text{ cm}^3$.

1. a) Berechne die Kantenlänge des Würfels.

1. b) Berechne den Radius der Kugel (mit $V = \frac{4}{3}\pi r^3$) auf eine Nachkommastelle genau.

1. c) Welcher Körper hat die kleinere Oberfläche? Begründe mit Rechnung (Kugeloberfläche: $O = 4\pi r^2$).