Aufgaben: Intervallschachtelung

Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt die Wurzel?

1. a) $\sqrt{5}$

1. b) $\sqrt{30}$

1. c) $\sqrt{85}$

1. d) $\sqrt{200}$

Es soll $\sqrt{7}$ näherungsweise bestimmt werden. Berechne die Quadrate:

1. a) $2{,}6^2$

1. b) $2{,}7^2$

1. c) Zwischen welchen beiden Zahlen mit einer Nachkommastelle liegt $\sqrt{7}$?

Ergänze die Intervallschachtelung für $\sqrt{3}$ mit Hilfe des Taschenrechners (nur Quadrieren):

1. a) $1{,}7^2 = \ ?$ und $1{,}8^2 = \ ?$. Welches Intervall mit einer Nachkommastelle ergibt sich?

1. b) Prüfe $1{,}73^2$ und $1{,}74^2$. Welches Intervall mit zwei Nachkommastellen ergibt sich?

Bestimme $\sqrt{10}$ durch eine Intervallschachtelung auf zwei Nachkommastellen. Gib dazu jeweils das Intervall mit einer und mit zwei Nachkommastellen an und nenne die verwendeten Quadrate.

Ein quadratisches Grundstück in Dortmund hat die Fläche $750 \text{ m}^2$.

1. a) Bestimme die Seitenlänge mit einer Intervallschachtelung auf Zehntel Meter genau (ohne die Wurzeltaste).

1. b) Kontrolliere dein Ergebnis mit der Wurzeltaste.

Beschreibe in eigenen Worten in drei bis vier Schritten, wie man mit einer Intervallschachtelung $\sqrt{a}$ für eine Zahl $a$ auf $3$ Nachkommastellen bestimmt. Wende das Verfahren anschließend auf $a = 2$ bis zur zweiten Nachkommastelle an.

Jonas startet beim Näherungsverfahren für $\sqrt{20}$ mit dem Intervall $[4;\,5]$ und halbiert das Intervall immer in der Mitte (Bisektion).

1. a) Führe drei Halbierungsschritte durch und gib jeweils das neue Intervall an.

1. b) Wie groß ist die Länge des Intervalls nach drei Schritten?

1. c) Wie viele Halbierungsschritte braucht man mindestens, damit die Länge kleiner als $0{,}01$ ist? Begründe.

Ein Schüler behauptet: „$\sqrt{2} = 1{,}414$, denn $1{,}414^2 = 1{,}999396$ und das ist fast $2$.“

1. a) Beurteile die Aussage.

1. b) Gib ein Intervall der Länge $0{,}001$ an, in dem $\sqrt{2}$ sicher liegt, und begründe mit Quadraten.

1. c) Erkläre, warum eine Intervallschachtelung für $\sqrt{2}$ nie mit einem endlichen Dezimalbruch endet. Gehe dabei auf den Begriff irrationale Zahl ein.

Für $\sqrt{a}$ wird folgendes Verfahren genutzt: Man wählt einen Startwert $x_0$ und berechnet $x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)$.

1. a) Berechne für $a = 10$ und $x_0 = 3$ den Wert $x_1$ und danach $x_2$.

1. b) Vergleiche $x_2$ mit dem Wert der Wurzeltaste für $\sqrt{10}$.

1. c) Begründe, warum $x_0$ und $\frac{a}{x_0}$ immer auf verschiedenen Seiten von $\sqrt{a}$ liegen, wenn $x_0 \neq \sqrt{a}$ gilt (Beispiel $a = 10$, $x_0 = 3$).