Aufgaben: Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Winkel gleich sind. Überprüfe, ob die folgenden zwei Dreiecke ähnlich sind, indem du in jedem den fehlenden Winkel berechnest:

• Dreieck A hat zwei Winkel mit den Maßen $45^\circ$ und $75^\circ$.

• Dreieck B hat zwei Winkel mit den Maßen $75^\circ$ und $60^\circ$.

Denke daran, dass die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

Berechne den Streckfaktor $k$, der das kleine Dreieck in das große Dreieck überführt; die Dreiecke sind ähnlich. Gib an, nachdem du $k$ bestimmt hast, wie lang die mit dem Buchstaben $x$ markierte Seite sein muss.

Lina hat zwei Dreiecke in Strahlensatzfigur gezeichnet. Die waagerechten Strecken sind parallel. Berechne die Länge der Seite $x$ mithilfe des Verhältnisses der entsprechenden Seiten.

Ein Baum wirft einen Schatten von $12$ Metern. Im selben Moment wirft ein senkrecht in den Boden gestecktes Stock von $1,5$ Metern einen Schatten von $2$ Metern. Wie hoch ist der Baum? Erkläre, warum die Dreiecke, die der Baum und der Stock mit ihren Schatten bilden, ähnlich sind.

Prüfe, ob diese beiden Dreiecke ähnlich sind, indem du den Ähnlichkeitssatz für proportionale Seiten (SSS-Satz) verwendest. Teile dazu die entsprechenden Seiten durcheinander (die längste durch die längste, die mittlere durch die mittlere und die kürzeste durch die kürzeste) und prüfe, ob du jeweils dasselbe Ergebnis erhältst.

• Dreieck 1: Seiten mit $6$ cm, $9$ cm und $12$ cm.

• Dreieck 2: Seiten mit $4$ cm, $6$ cm und $8$ cm.

Zwei rechtwinklige Dreiecke haben einen gleich großen spitzen Winkel von $37^\circ$. Können wir sagen, dass sie ähnlich sind? Begründe deine Antwort mit den Ähnlichkeitssätzen für Dreiecke.

Berechne die Seitenlängen eines Dreiecks, das zu einem Dreieck mit den Seitenlängen $5$ cm, $7$ cm und $9$ cm ähnlich ist, wenn der Streckfaktor $k = 3$ beträgt. Wie wird das neue Dreieck sein, größer oder kleiner als das ursprüngliche?

Verwende die Strahlensätze, um den Wert von $x$ in der folgenden Abbildung zu bestimmen. Die Regalböden des dreieckigen Regals sind parallel zur Grundseite.

Hugo lernt für die Mathearbeit und soll entscheiden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind. Das erste Dreieck hat Seiten der Längen $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$, das zweite hat Seiten der Längen $7\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ und $11\text{ cm}$. Hugo schreibt in sein Heft:\n„Sie sind ähnlich, denn wenn man die entsprechenden Seiten subtrahiert, erhält man $7 - 4 = 3$, $9 - 6 = 3$ und $11 - 8 = 3$; da die Differenz immer gleich ist ($3\text{ cm}$), wachsen beide Dreiecke gleich schnell und haben dieselbe Form.“\n\na) Finde den Denkfehler, den Hugo macht, und erkläre mit eigenen Worten, warum eine konstante Differenz zwischen den Seiten nicht garantiert, dass zwei Figuren ähnlich sind.\nb) Überprüfe rechnerisch, indem du die Verhältnisse der entsprechenden Seiten berechnest, ob Hugos Dreiecke ähnlich sind oder nicht.\nc) Gib die Maße an, die das zweite Dreieck haben müsste, wenn die zur Seite $4\text{ cm}$ gehörende Seite tatsächlich $7\text{ cm}$ lang wäre, damit beide ähnlich wären.

In einem Park in Valladolid wirft eine senkrechte Laterne einen Schatten von $4,8\text{ m}$ auf den Boden, im selben Moment, in dem Marcos, der $1,60\text{ m}$ groß ist, einen Schatten von $1,20\text{ m}$ wirft.\n\na) Betrachte vor jeder schriftlichen Rechnung die Maße von Marcos und seinem Schatten: Ist sein Schatten länger oder kürzer als seine tatsächliche Körpergröße? Schätze auf dieser Grundlage, ob die Höhe der Laterne größer oder kleiner als ihre $4,8\text{ m}$ Schatten ist, und gib eine begründete Schätzung an, zwischen welchen ungefähren Werten ihre tatsächliche Höhe liegen müsste.\nb) Begründe, warum die Dreiecke, die die Laterne mit ihrem Schatten und Marcos mit seinem Schatten bilden, ähnlich sind, und nenne den passenden Ähnlichkeitssatz.\nc) Stelle die passende Proportion auf, berechne die genaue Höhe der Laterne und prüfe, ob deine Schätzung aus Teilaufgabe a) zutreffend war.

Zwei Schüler der Klasse 8, Lea und Markus, prüfen, ob zwei dreieckige Segel ihrer Jollen ähnlich sind. Leas Segel hat zwei Winkel mit den Maßen $65^\circ$ und $45^\circ$. Markus’ Segel hat einen Winkel von $45^\circ$ und einen weiteren von $70^\circ$.

a) Berechne den dritten Winkel jedes Segels.

b) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze, ob die beiden Segel dieselbe Form haben (ähnlich sind).

Um die Höhe eines Basketballkorbs zu messen, verwendet eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern einen senkrecht aufgestellten Stab von $1,5$ Metern. In dem Moment, in dem der Schatten des Stabs $1,2$ Meter lang ist, ist der auf den Boden geworfene Schatten des Korbs $2,4$ Meter lang. Berechne die Höhe des Korbs, indem du die Ähnlichkeit der durch die Sonne gebildeten Dreiecke nutzt.

Beim Entwurf einer Stahlkonstruktion für ein Dach werden zwei parallele Träger verwendet, um das Hauptgerüst zu verstärken. Die entstehenden Dreiecke liegen in Strahlensatzfigur. Berechne die Länge der in der folgenden Skizze mit $x$ und $y$ markierten Strecken:

(Hinweis: An der Basis ist die kleine Strecke $4\text{ m}$ lang und die gesamte Strecke $10\text{ m}$. Auf der geneigten Dachfläche ist die kleine Strecke $5\text{ m}$ lang. Bestimme $x$, den restlichen Teil der Basis, und $y$, die restliche Strecke der geneigten Dachfläche.)

Eine Drohne überfliegt einen Park in einer Höhe von $15$ Metern. Ihre Kamera projiziert ein dreieckiges Sichtfeld auf den Boden. Die Drohne steigt auf eine Höhe von $45$ Metern:

a) Wie groß ist der Streckfaktor zwischen dem ursprünglichen und dem neuen Sichtdreieck?

b) Wenn der Umfang der Fläche, die am Boden erfasst wurde, $120$ Meter betrug, wie groß ist dann der Umfang der neuen Fläche?

c) Wenn der ursprünglich erfasste Flächeninhalt $800\text{ m}^2$ betrug, wie groß ist dann der Flächeninhalt in der neuen Höhe?

Berechne den Abstand zwischen den Punkten $B$ und $D$ in der folgenden Figur. Die Strecken $BC$ und $DE$ sind parallel, und die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen auf einer Geraden, ebenso $A$, $C$ und $E$. Bekannt sind: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ und $DE = 12,5\text{ cm}$.

Die Gemeinde möchte eine Zugangsrampe für Rollstühle errichten. Der ursprüngliche Entwurf ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite $4$ Meter und der Höhe $0,8$ Meter. Aufgrund einer Vorschrift muss die Grundseite auf $6$ Meter verlängert werden, wobei die Neigung (der Winkel) gleich bleibt.

a) Welche Höhe hat die neue Rampe?

b) Wenn für die ursprüngliche Rampe $4,08$ Meter Fahrfläche (Hypotenuse) benötigt wurden, wie viele Meter werden dann für die verlängerte Rampe benötigt?

Daniel möchte die Tiefe eines runden Brunnens mit $1,6$ Metern Durchmesser messen. Dazu entfernt er sich $0,8$ Meter vom Rand, bis er aus einer Höhe von $1,75$ Metern (seine Augenhöhe) genau den Rand des Brunnenbodens sehen kann. Verwende die Ähnlichkeit von Dreiecken, um die Tiefe des Brunnens zu bestimmen.

Wir haben zwei gleichschenklige Dreiecke. Das erste hat einen Winkel an der Spitze von $40^\circ$, und seine gleich langen Seiten sind jeweils $10\text{ cm}$ lang. Das zweite hat ebenfalls einen Winkel an der Spitze von $40^\circ$, aber seine gleich langen Seiten sind $15\text{ cm}$ lang.

a) Sind diese beiden Dreiecke ähnlich? Begründe deine Antwort und nenne den angewendeten Ähnlichkeitssatz.

b) Wie groß ist der Streckfaktor vom ersten zum zweiten Dreieck?

c) Wenn die Basis des ersten Dreiecks $6,84\text{ cm}$ lang ist, wie lang ist dann die Basis des zweiten?

Die Vorschriften für barrierefreies Bauen in Deutschland (DIN 18040) legen fest, dass Rampen für Menschen mit eingeschränkter Mobilität eine maximale Steigung nicht überschreiten dürfen und keine Höhenunterschiede von mehr als $1,20\text{ m}$ ohne ein waagerechtes Zwischenpodest überwinden dürfen. An einem Gesundheitszentrum in Münster wurde eine gerade Rampe gebaut. Bei der Prüfung stellt der Bauleiter fest, dass die Rampe auf den ersten $3\text{ m}$ waagerechter Strecke $0,18\text{ m}$ an Höhe über dem Boden gewonnen hat.\n\na) Modelliere die Situation mit rechtwinkligen Dreiecken und erkläre, warum jeder Punkt entlang der Rampe mit dem Boden ein Dreieck bildet, das zu dem Dreieck ähnlich ist, das die gesamte Rampe umfasst.\nb) Wenn die gesamte waagerechte Entfernung vom Beginn der Rampe bis zur Eingangstür $18\text{ m}$ beträgt, berechne die Gesamthöhe, die die Rampe überwindet.\nc) Bestimme mit den erhaltenen Daten und der genannten Vorschrift, ob die Rampe durchgehend sein darf oder ob ein waagerechtes Zwischenpodest vorgeschrieben ist. Begründe dein Ergebnis.

Eine Kunsthandwerkstatt fertigt dreieckige Holzrahmen. Sie hat einen Musterrahmen als Vorlage, dessen Seiten $5\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ lang sind. Die Werkstatt erhält den Auftrag, zwei neue dreieckige Rahmen zu entwerfen, den Rahmen $A$ und den Rahmen $B$, die die Bedingung erfüllen müssen, zwei Seiten mit genau den Längen $15\text{ cm}$ und $24\text{ cm}$ zu haben.\n\na) Bestimme, wie lang die dritte Seite des Rahmens $A$ genau sein muss, damit er zum Musterrahmen ähnlich ist. Gib an, welchen Ähnlichkeitssatz du angewendet hast und wie groß der Streckfaktor $k$ ist, der sie verbindet.\nb) Schlage eine mögliche ganzzahlige Länge für die dritte Seite des Rahmens $B$ vor, sodass ein geometrisch gültiges Dreieck entsteht (denke daran, dass die Summe zweier beliebiger Seiten immer größer sein muss als die dritte), das aber NICHT zum Musterrahmen ähnlich ist.\nc) Zeige ausführlich, warum der von dir vorgeschlagene Rahmen $B$ nicht zum Musterrahmen ähnlich ist, indem du die Verhältnisse seiner Seiten vergleichst.

Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern der Klasse 8 möchte die Höhe des Fernmeldeturms ihrer Stadt messen. Dazu verwenden sie einen senkrechten Pfahl mit einer Höhe von $2,5$ Metern. Sie stellen den Pfahl so auf, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt das Schattenende des Turms und das des Pfahls im selben Punkt auf dem Boden zusammenfallen. Der Abstand zwischen dem Fußpunkt des Pfahls und dem Punkt, an dem die Schatten enden, beträgt $3,2$ Meter, und der Abstand zwischen dem Fußpunkt des Turms und dem Fußpunkt des Pfahls beträgt $18,4$ Meter. Berechne die Höhe des Turms.

Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt $V$. Auf der einen werden die Punkte $A$ und $B$ markiert, auf der anderen die Punkte $C$ und $D$, sodass die Strecken $AC$ und $BD$ parallel sind (Strahlensatzfigur). Es gilt $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm, und der Flächeninhalt des kleineren Dreiecks $VAC$ beträgt $27$ $cm^2$. Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $ABDC$; die Dreiecke sind ähnlich.

Ein Schreiner entwirft ein Regal, das mit einer Querstrebe in Form eines rechtwinkligen Dreiecks verstärkt wird. Im Dreieck an der Basis teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in zwei Abschnitte der Längen $18$ cm und $32$ cm. Der Schreiner muss die Länge der beiden Leisten kennen, die die Katheten des Dreiecks bilden, um sie zu kaufen. Berechne die Längen beider Katheten und die Höhe der Querstrebe mithilfe der Ähnlichkeitsbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken.

Eine Freiluftkino-Leinwand zeigt ein Bild, das von einer Lichtquelle in $12$ Metern Entfernung projiziert wird. Die ursprüngliche Leinwand hat einen Flächeninhalt von $24$ $m^2$. Wenn wir die Leinwand auf den Projektor zubewegen, bis sie genau auf halber Entfernung steht ($6$ Meter von der Lichtquelle), ist das projizierte Bild kleiner, behält aber dieselbe Form. Wie groß ist der Flächeninhalt des Bildes an dieser neuen Position? Begründe deine Antwort mit dem Zusammenhang zwischen Streckfaktor und Flächeninhalt.

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, ohne ihn zu überqueren, setzt ein Landvermesser mehrere Pflöcke, wie in der Abbildung gezeigt. Die entstehenden Dreiecke $ABC$ und $CDE$ sind ähnlich, weil die Ufer parallel sind und sich die Sichtlinien im Punkt $C$ schneiden. Die gemessenen Längen sind $AB = 24$ m, $BC = 30$ m und $CD = 15$ m. Bestimme die Breite des Flusses ($ED$) und erkläre, welchen Ähnlichkeitssatz du angewendet hast.

Ein Architekt präsentiert ein Modell eines Kulturzentrums in Form einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Der Streckfaktor zwischen Modell und realem Gebäude beträgt $1:150$. Wenn das Volumen des Modells $0,8$ $dm^3$ beträgt, wie groß ist das Volumen des realen Gebäudes in Kubikmetern ($m^3$)? Denke daran, den Zusammenhang zwischen Streckfaktor und Volumen richtig anzuwenden.

In einem Dreieck $ABC$ ist die Seite $AB$ $12$ cm lang und die Seite $AC$ $15$ cm lang. Wir zeichnen eine Strecke $PQ$ parallel zur Seite $BC$, sodass der Punkt $P$ auf $AB$ und der Punkt $Q$ auf $AC$ liegt. Wenn die Strecke $AP$ ein Drittel so lang ist wie die Strecke $PB$, berechne die Längen der Strecken $AP$ und $AQ$. Begründe deine Antwort mit den Strahlensätzen.

Betrachte zwei rechtwinklige Dreiecke. Das erste hat Katheten der Längen $3$ cm und $4$ cm. Das zweite Dreieck ist zum ersten ähnlich, und seine Hypotenuse ist $15$ cm lang. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt dieses zweiten Dreiecks. (Tipp: Bestimme zuerst die Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks, um den Streckfaktor zu ermitteln.)

Auf einer Skateboardanlage wird eine Sprungrampe gebaut, deren seitlicher Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist. Die Höhe auf die Hypotenuse (den Boden) teilt diese in zwei Abschnitte (Hypotenusenabschnitte) der Längen $m = 1,8\text{ m}$ und $n = 3,2\text{ m}$. Gesucht ist die Länge der Auffahrt der Rampe, die der kürzeren Kathete $c$ entspricht, welche an den Abschnitt $m$ angrenzt.\n\nZur Lösung schlagen zwei Konstrukteure unterschiedliche Methoden vor:\n- Methode 1 (Sophie): Zuerst die Höhe $h$ mit dem Höhensatz ($h^2 = m \cdot n$) berechnen und dann den Satz des Pythagoras im kleineren rechtwinkligen Dreieck anwenden, um $c = \sqrt{h^2 + m^2}$ zu bestimmen.\n- Methode 2 (Matteo): Direkt den aus der Ähnlichkeit von Dreiecken abgeleiteten Kathetensatz anwenden, nach dem $c^2 = m \cdot (m + n)$ gilt, und $c$ in einem einzigen Schritt berechnen.\n\na) Wende beide Methoden Schritt für Schritt mit den gegebenen Daten an und überprüfe, dass sich für die Länge $c$ genau derselbe Zahlenwert ergibt.\nb) Zeige algebraisch, dass die Formel von Sophie ($c^2 = h^2 + m^2$) genau der von Matteo ($c^2 = m \cdot (m + n)$) entspricht, indem du die Gleichung $h^2 = m \cdot n$ einsetzt und ausklammerst.\nc) Angenommen, die Ausgangsmaße führen zu nicht exakten Quadratwurzeln und du dürftest keinen Taschenrechner benutzen: Begründe, welche der beiden Methoden empfehlenswerter ist, um die Fortpflanzung von Rundungsfehlern zu vermeiden.

Eine Lochkamera beruht auf einem winzigen Loch, durch das Lichtstrahlen geradlinig eintreten: Indem sie sich im Loch kreuzen, erzeugen sie auf der hinteren Wand ein umgekehrtes und zum äußeren Gegenstand ähnliches Bild.\nEine Gruppe von Schülerinnen und Schülern baut eine Lochkamera aus einer Kiste mit $20\text{ cm}$ Tiefe (Abstand vom Loch zur hinteren Wand). Sie wollen eine Windkraftanlage eines Windparks in der Eifel fotografieren, deren Gesamthöhe $45\text{ m}$ beträgt. Die Rückwand der Kamera hat eine nutzbare Höhe von höchstens $15\text{ cm}$.\n\na) Modelliere die Situation, indem du die beiden Dreiecke beschreibst, die sich auf beiden Seiten des Lochs bilden, und zeige, warum sie ähnlich sind. Gib an, welche Winkel übereinstimmen und welcher Ähnlichkeitssatz erfüllt ist.\nb) Stelle das passende Verhältnis auf und berechne, in welchem Mindestabstand von der Windkraftanlage die Kamera aufgestellt werden muss, damit das vollständige Bild ohne Abschneiden auf die Rückwand passt.\nc) Wenn die Schülerinnen und Schüler aus Sicherheitsgründen gezwungen sind, die Kamera genau im Dreifachen der in der vorigen Teilaufgabe berechneten Entfernung aufzustellen, begründe, ohne die ganze Gleichung erneut zu lösen, welche Höhe das projizierte Bild nun hat und wie sie mit dem Streckfaktor zusammenhängt.