Aufgaben: Maßstab bei Flächeninhalten und Volumina

Zwei ebene Figuren sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 3$.

a) Mit welcher Zahl werden die Längen multipliziert?

b) Mit welcher Zahl wird der Flächeninhalt multipliziert?

c) Mit welcher Zahl würde das Volumen multipliziert, wenn es sich um Körper handelte?

Zwei Quadrate sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 2$. Das kleine hat $5$ cm Seitenlänge:

a) Wie lang ist die Seite des großen?

b) Wie groß sind die Flächeninhalte der beiden Quadrate?

Ein Würfel hat $4$ cm Kantenlänge, ein zweiter, ihm ähnlicher Würfel hat eine doppelt so lange Kante.

a) Wie groß ist das Volumen jedes Würfels?

b) Wie viel Mal größer ist das Volumen des großen Würfels als das des kleinen?

Auf einem Plan im Maßstab $1:100$ nimmt ein Zimmer $12\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist sein tatsächlicher Flächeninhalt? Gib ihn in Quadratmetern an.

Ein Foto der Größe $40\ \text{cm}^2$ wird mit einem Kopierer auf $150\%$ vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt der Vergrößerung?

An einem Modell im Maßstab $1:50$ hat ein Tank ein Volumen von $80\ \text{cm}^3$. Wie groß ist das Volumen des echten Tanks? Gib es in Kubikmetern an.

Begründe, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind:

a) Wenn ich die Seiten eines Rechtecks verdopple, verdopple ich seinen Flächeninhalt.

b) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher Figuren ist das Quadrat des Streckfaktors.

c) Wenn der Streckfaktor zweier Körper $2$ beträgt, ist das Volumen des großen das $8$-Fache des kleinen.

d) Auf einem Plan im Maßstab $1:50$ stellt ein Quadratzentimeter auf dem Plan $50\ \text{cm}^2$ in Wirklichkeit dar.

Betrachte die beiden ähnlichen Rechtecke in der Abbildung.

a) Überprüfe, dass der Streckfaktor $3$ beträgt.

b) Wenn der Flächeninhalt des kleinen Rechtecks $8\ \text{cm}^2$ beträgt, wie groß ist dann der des großen?

Fehler eines anderen. Markus möchte für das Stadtteilfest ein Werbebanner nach einem Entwurf drucken lassen, der $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ misst (Flächeninhalt: $600\text{ cm}^2$). Für das endgültige Banner beschließt er, alle Seiten auf das Dreifache zu vergrößern, also mit dem Streckfaktor $k = 3$. In der Druckerei berechnet Markus die Kosten so: „Da ich die Seiten mit $3$ multipliziert habe, brauche ich genau das Dreifache an Plane und Tinte, also $3 \cdot 600 = 1800\text{ cm}^2$.“\n\na) Erkläre mit eigenen Worten, ohne die neuen Seitenlängen zu berechnen, warum Markus' Überlegung falsch ist. Stütze dich dabei auf den Zusammenhang zwischen Längen und Flächeninhalten.\nb) Korrigiere die Rechnung: Wie groß ist der tatsächliche Flächeninhalt des Banners in $\text{cm}^2$ und in $\text{m}^2$? Mit welcher Zahl wird der Verbrauch an Plane und Tinte tatsächlich multipliziert?

Schätze und überprüfe. Eine Eisdiele verkauft zylinderförmige Eisbecher in zwei ähnlichen Größen. Der Becher „Klein“ hat einen Durchmesser von $6\text{ cm}$ und ein Fassungsvermögen von $125\text{ ml}$. Der Becher „Riese“ ist dem kleinen genau ähnlich, sein Durchmesser beträgt jedoch $12\text{ cm}$.\n\na) Schätze: Überlege, bevor du mit Formeln rechnest: Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, enthält der Riesenbecher dann doppelt so viel Eis ($250\text{ ml}$), viermal so viel ($500\text{ ml}$) oder deutlich mehr? Schreibe deine Vermutung auf und begründe kurz, worauf sie beruht.\nb) Überprüfe: Bestimme den linearen Streckfaktor $k$ und berechne das genaue Fassungsvermögen des Riesenbechers in Millilitern.\nc) Vergleiche das Ergebnis mit deiner anfänglichen Schätzung und beurteile, ob es angemessen ist, dass der Riesenbecher dreimal so viel kostet wie der kleine, wenn du die enthaltene Eismenge berücksichtigst.

Für das Modell eines Stadtviertels wurden zwei ähnliche Häuschen mit dem Streckfaktor $1,5$ gebaut. Das kleine Häuschen benötigte $7,2\ \text{dm}^2$ Karton und sein Innenvolumen beträgt $6,4$ Liter.

a) Wie viel Karton wird für das große Häuschen benötigt?

b) Wie groß ist sein Innenvolumen?

Zwei Aquarien sind ähnlich: Das kleine ist $40$ cm lang und das große $80$ cm.

a) Wie groß ist der Streckfaktor?

b) Wenn das Glas des kleinen Aquariums $30\text{ €}$ gekostet hat, wie viel kostet das des großen bei gleichem Preis pro Fläche?

c) Wenn es $5\text{ €}$ kostet, das kleine mit Wasser zu füllen, wie viel kostet es dann, das große zu füllen?

Eine Künstlerin malt ein Wandbild nach einer Vorzeichnung von $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ mit dem Maßstabsfaktor $k = 8$.

a) Welche Maße hat das Wandbild?

b) Welchen Flächeninhalt hat es?

c) Wenn ein Eimer Farbe $2\ \text{m}^2$ abdeckt, wie viele Eimer braucht sie mindestens?

Im Plan einer Wohnsiedlung im Maßstab $1:75$ nimmt ein rechteckiger Garten $96\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist der tatsächliche Flächeninhalt des Gartens in Quadratmetern?

Eine Werft baut ein Modell eines Segelschiffs im Maßstab $1:40$, das $3$ kg wiegt. Wie schwer wäre das echte Schiff, wenn es aus denselben Materialien und mit derselben mittleren Dichte gebaut würde? Gib das Ergebnis in Tonnen an.

Eine Skulptur und ihre Souvenir-Miniatur sind zueinander ähnlich mit dem Streckfaktor $5$.

a) Für das Bemalen der Miniatur werden $120$ ml Farbe verbraucht. Wie viele Liter werden für das Bemalen der Skulptur benötigt?

b) Die Miniatur wiegt $2$ kg und beide bestehen aus demselben Material. Wie schwer ist die Skulptur?

Auf einem Plan im Maßstab $1:2\,000$ nimmt ein Fußballfeld $17,5\ \text{cm}^2$ ein.

a) Wie groß ist sein tatsächlicher Flächeninhalt in Quadratmetern?

b) Kommt er dem regulären Flächeninhalt eines Fußballfeldes von etwa $7\,000\ \text{m}^2$ nahe?

Betrachte die beiden Würfel in der Abbildung: Der kleine hat $2$ cm Kantenlänge, der große $6$ cm. Das Volumen des kleinen Würfels beträgt $8\ \text{cm}^3$.

a) Wie groß ist der Streckfaktor?

b) Berechne das Volumen des großen Würfels aus dem Volumen des kleinen, ohne die Volumenformel des Würfels zu verwenden.

c) Wenn die Oberfläche des kleinen Würfels $24\ \text{cm}^2$ beträgt, wie groß ist dann die Oberfläche des großen?

Umkehraufgabe. Ein nachhaltiger Paketdienst möchte seinen Standard-Versandkarton neu gestalten. Es soll ein neues Modell mit genau derselben Form (ähnlich) bestellt werden, bei dem die Abmessungen so verkleinert werden, dass die benötigte gesamte Kartonfläche $64\,\%$ der Oberfläche des ursprünglichen Kartons beträgt (d. h., die Oberfläche des neuen Kartons ist das $0,64$-Fache der alten).\n\na) Stelle den Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten auf und bestimme den linearen Streckfaktor $k$ zwischen dem neuen und dem ursprünglichen Karton.\nb) Wenn der ursprüngliche Karton $35\text{ cm}$ hoch war, wie hoch muss das neue Modell sein?\nc) Wie viel Prozent des ursprünglichen Volumens behält der neue Karton? Verringert sich das Volumen im gleichen Verhältnis wie der Karton? Begründe deine Antwort, indem du den Volumenfaktor deutest.

Modelliere. Eine Ölgenossenschaft aus Jaén vertreibt ihr hochwertiges natives Olivenöl extra in Glasflaschen ähnlichen Designs in zwei Größen: einer Einzelflasche mit $100\text{ ml}$ und einer Familienflasche mit $800\text{ ml}$.\n\na) Beide Flaschen sind ähnliche Körper. Bestimme aus den Fassungsvermögen den linearen Streckfaktor $k$ zwischen der Familienflasche und der Einzelflasche.\nb) Die Einzelflasche ist $14\text{ cm}$ hoch. Wie hoch ist die Familienflasche?\nc) Das Etikett, das die Einzelflasche umgibt, hat einen Flächeninhalt von $25\text{ cm}^2$. Wie viele Quadratzentimeter hat das Etikett der Familienflasche?\nd) Für den Körper der Einzelflasche werden $120\text{ g}$ geschmolzenes Glas verwendet (das ausschließlich die Außenwand des Gefäßes bildet, deren Dicke bei beiden Größen gleich ist). Ein Mitarbeiter behauptet, für die Familienflasche würden $960\text{ g}$ Glas benötigt ($8$-mal so viel). Begründe, ob der Mitarbeiter recht hat, und gib die tatsächlich benötigte Glasmenge näherungsweise an.

a) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher ebener Figuren ist $9$. Wie groß ist der Streckfaktor zwischen ihren Seiten? Und das Verhältnis ihrer Umfänge?

b) Die Volumina zweier ähnlicher Körper stehen im Verhältnis $\frac{27}{8}$. Wie groß ist der Streckfaktor?

c) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Grundstücke stehen im Verhältnis $\frac{1}{4}$. Wie groß ist das Verhältnis ihrer Seiten?

Ein Beamer erzeugt auf einer Leinwand in $3$ m Entfernung ein Quadrat mit der Seitenlänge $1,5$ m. Wird die Leinwand auf $6$ m weggerückt, bleibt das Bild quadratisch, wie in der Abbildung gezeigt.

a) Wie groß ist der Streckfaktor zwischen den beiden Bildern? Wie lang ist die Seite des Quadrats bei $6$ m?

b) Wievielmal so groß ist der Flächeninhalt des weiter entfernten Bildes wie der des nahen?

c) Da dieselbe Lichtmenge auf die gesamte Fläche verteilt wird, mit welchem Bruchteil der Helligkeit pro Quadratmeter erscheint das Bild bei $6$ m im Vergleich zu $3$ m?

d) In welcher Entfernung müsste man die Leinwand aufstellen, damit der Flächeninhalt des Bildes das $9$-Fache des ursprünglichen beträgt?

Ein Umzugsunternehmen möchte die „Kapazität verdoppeln“ seiner würfelförmigen Kartons und beschließt, sie mit doppelt so langer Kante herzustellen. Der Chef behauptet: „So passt doppelt so viel hinein.“

a) Erkläre den Fehler des Chefs.

b) Wievielmal so groß ist das Fassungsvermögen des neuen Kartons tatsächlich?

c) Wenn der kleine Karton ein Volumen von $27\ \text{dm}^3$ hat, wie groß ist das Volumen des neuen?

Zwei zylindrische Tanks sind ähnlich und das Verhältnis ihrer Höhen ist $2$. Den kleinen Tank mit Wasser zu füllen kostet $15\text{ €}$ und seine Außenfläche zu streichen kostet $40\text{ €}$.

a) Wie viel kostet es, den großen Tank mit Wasser zu füllen?

b) Wie viel kostet es, seine Außenfläche zu streichen?

c) Ein Arbeiter behauptet, „alles kostet doppelt so viel, weil der Tank doppelt so groß ist“. Korrigiere seine Aussage mithilfe der vorherigen Ergebnisse und erkläre, warum er sich irrt.

Wähle die Methode. Ein Architekturbüro entwirft das Dach einer städtischen Sporthalle, das aus $150$ untereinander verschiedenen dreieckigen Platten besteht, die wie ein vieleckiges Mosaik zusammengefügt sind. Im Büro bauen sie ein Modell im Maßstab $1:20$ ($k = 20$). Nach dem Ausmessen des Modells wissen sie, dass die gesamte Kunststofffläche der $150$ Platten genau $1,2\text{ m}^2$ beträgt. Um die Polycarbonatplatten für den tatsächlichen Bau zu bestellen, diskutieren zwei Architekten, wie sie vorgehen sollen:\n\n- Albas Methode: Mit der Schieblehre die drei Seiten jedes der $150$ Dreiecke am Modell messen, jede Länge mit $20$ multiplizieren, den Flächeninhalt jedes tatsächlichen Dreiecks berechnen und die $150$ erhaltenen Flächeninhalte addieren.\n- Brunos Methode: Die Gesamtfläche des Modells ($1,2\text{ m}^2$) nehmen und direkt mit $k^2 = 20^2 = 400$ multiplizieren.\n\na) Vergleiche beide Methoden: Welche ist hinsichtlich Effizienz und Anhäufung von Rundungsfehlern vorzuziehen? Begründe deine Wahl.\nb) Wende die geeignetere Methode an, um die gesamte Polycarbonatfläche zu berechnen, die für das tatsächliche Dach gekauft werden muss.\nc) Wenn der Quadratmeter Polycarbonat $38\text{ \euro}$ kostet, wie hoch sind die Materialkosten für das Dach?

Modelliere und übertrage. Ein Bildhauer gießt eine Gedenkstatue aus Bronze. Um das Gleichgewicht zu prüfen und das Budget zu berechnen, fertigt er zuerst ein massives Modell der Höhe $20\text{ cm}$ an, das $1,5\text{ kg}$ wiegt und dessen Standfläche einen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$ hat. Die endgültige monumentale Skulptur wird $3\text{ m}$ hoch sein und aus derselben Bronzelegierung gegossen.\n\na) Bestimme den linearen Streckfaktor $k$ zwischen der tatsächlichen Skulptur und dem Modell.\nb) Wenn die monumentale Statue vollständig massiv gefertigt würde (wie das Modell), wie groß wäre ihre Masse in Kilogramm und in Tonnen?\nc) Welchen Flächeninhalt hat die Standfläche der großen Skulptur auf dem Sockel?\nd) Der Druck, den der Sockel unter der Skulptur aushalten muss, ist proportional zu $\frac{\text{Masse}}{\text{Flächeninhalt}}$. Gib an, wie sich dieser Bruch in Abhängigkeit von $k$ verändert, und zeige, warum die große Skulptur pro Quadratzentimeter einen viel größeren Druck ausübt als das Modell. Welche technische Lösung wählen Bildhauer in der Praxis, um dieses Gewichtsproblem zu vermeiden?

Themenprojekt. Wolltest du schon einmal die Höhe eines Gegenstands in deiner Umgebung berechnen, ohne hinaufzusteigen, und seinen Nachbau planen? Werde von zu Hause aus zum Landvermesser und technischen Konstrukteur.

1. Messwerte und Strahlensätze: Miss an einem sonnigen Tag mit einem Maßband deine Körpergröße ($h_1$) und die Länge deines Schattens ($s_1$). Miss gleichzeitig den Schatten eines hohen Gegenstands in der Nähe ($s_2$, wie eine Laterne oder ein Baum). Bestimme mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken und der Strahlensätze seine tatsächliche Höhe ($h_2$).

2. Anwendung des Pythagoras: Nimm $s_2$ und $h_2$ als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und berechne mit dem Satz des Pythagoras die tatsächliche Entfernung von der Spitze des Gegenstands bis zum Ende seines Schattens.

3. Maßstäbe in der Tabellenkalkulation: Plane ein Modell im Maßstab $1:20$ ($k = 0,05$). Stelle in einer Tabellenkalkulation (oder GeoGebra) die tatsächlichen Maße und die Modellmaße in einer Tabelle zusammen. Berechne den Maßstab der Flächeninhalte ($k^2$), um die Materialfläche abzuschätzen, die du verbrauchen würdest, und den Maßstab der Volumina ($k^3$), um das Fassungsvermögen oder die Masse des Nachbaus mit dem Original zu vergleichen.

Verfasse einen kurzen Bericht mit deinen Messwerten, begründeten Rechnungen und einem Bildschirmfoto deiner Tabellenkalkulation.

Bewertet wird:

• Geometrische Genauigkeit bei der Anwendung der Strahlensätze und des Pythagoras mit selbst gemessenen Werten.

• Richtige Herleitung und Verwendung der Maßstäbe $k$, $k^2$ und $k^3$ in der Tabellenkalkulation.

• Klarheit, Ordnung und mathematische Begründung im abschließenden Bericht.