Aufgaben: Quadratische Funktion (Parabel)

Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts, die Gleichung der Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung der Parabel $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Berechne die Schnittpunkte der quadratischen Funktion $y = -x^2 + x + 6$ mit den Koordinatenachsen.

Betrachte den Graphen der folgenden Parabel, die durch Verschiebung von $y = x^2$ entsteht. Gib ihre Funktionsgleichung in der Form $f(x) = (x - h)^2 + k$ an und multipliziere sie aus, um sie als Polynom zweiten Grades zu schreiben.

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 - 4x$ in den Intervallen $[1;3]$ und $[3;5]$. Was sagen die erhaltenen Vorzeichen über das Wachstum der Funktion in diesen Intervallen aus?

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.

Stelle die Gleichung der Parabel auf, die entsteht, wenn man den Graphen von $y = -2x^2$ um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach oben verschiebt.

Berechne den Wert des Koeffizienten $c$ so, dass die Parabel mit der Gleichung $y = x^2 - 6x + c$ durch den Punkt $P(2|-3)$ verläuft.

Gib die Intervalle an, in denen die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$ monoton steigt bzw. monoton fällt.

TYP: FREMDER FEHLER. Marcos untersucht die wirtschaftliche Tragfähigkeit einer kleinen handwerklichen Schuhwerkstatt in Münster. Die Funktion, die den monatlichen Nettogewinn (in Hundert Euro) in Abhängigkeit vom Preis $x$ (in Euro) für jedes Paar Espadrilles schätzt, lautet $B(x) = -2x^2 + 80x - 600$.

In seinem Bericht schreibt Marcos Folgendes:

„Da $a = -2$ und $b = 80$, ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-80}{-4} = 20$. Der optimale Preis ist also $20\text{ €}$. Da jedoch der Koeffizient $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet, was bedeutet, dass wir bei $20\text{ €}$ den kleinstmöglichen Gewinn erzielen; deshalb sollten wir niemals zu diesem Preis verkaufen.“

1. a) Benenne den Denkfehler, den Marcos bei der Deutung der Öffnungsrichtung und des Scheitelpunkts macht, wenn $a < 0$. Erkläre klar, warum seine Schlussfolgerung falsch ist.
2. b) Korrigiere den Bericht, indem du den tatsächlichen Gewinn beim Verkauf zu $20\text{ €}$ berechnest (denke daran, dass das Ergebnis in Hundert Euro angegeben ist), und gib an, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt.
3. c) Erkläre ohne lange Rechnung, welcher Zusammenhang zwischen dem Gewinn bei einem Preis von $15\text{ €}$ und dem Gewinn bei einem Preis von $25\text{ €}$ besteht, und stütze dich dabei auf die Symmetrieachse der Funktion.

TYP: MODELLIERE. Während einer Hitzewelle in Córdoba stellt der spanische Wetterdienst (AEMET) fest, dass sich die Temperatur $T(t)$ in $^{\circ}\text{C}$ während der Tagesstunden (zwischen $8:00$ und $20:00$) sehr genau durch die quadratische Funktion

beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit $8:00$ morgens vergangene Zeit in Stunden (also entspricht $t = 0$ der Uhrzeit $8:00$ und $t = 12$ der Uhrzeit $20:00$).

1. a) Zu welcher tatsächlichen Uhrzeit wird die höchste Temperatur erreicht und welchen Wert hat sie laut Modell?
2. b) Prüfe, ob das Modell um $10:00$ ($t = 2$) dieselbe Temperatur vorhersagt wie um $18:00$ ($t = 10$). Begründe mithilfe der Symmetrieachse, warum das so ist, ohne beide Temperaturen einzeln zu berechnen.
3. c) Der Wetterdienst gibt für die Ebene um Córdoba eine orange Hitzewarnung aus, wenn die Temperatur $40\text{ }^{\circ}\text{C}$ erreicht oder überschreitet. Begründe anhand der Wertemenge der Funktion in diesem Intervall, ob an diesem Tag die Schwelle für die orange Warnung erreicht wurde.

Der Wurf eines Speers folgt einer parabelförmigen Flugbahn, die durch die Funktion $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$ gegeben ist. Dabei ist $x$ die waagerechte Entfernung in Metern vom Werfer und $h(x)$ die Höhe in Metern. Welche maximale Höhe erreicht der Speer? In welcher Entfernung vom Werfer trifft er auf den Boden?

Bestimme die Gleichung der Parabel in der Form $y = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Scheitelpunkt der Punkt $V(-1|4)$ ist und sie die y-Achse in $y = 2$ schneidet.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Parabel $f(x) = x^2 - 5x + 4$ und der Geraden $g(x) = -x + 1$.

Ein Landwirt hat $120\text{ m}$ Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Auf der Flussseite braucht er keinen Zaun. Welche Maße muss das Feld haben, damit sein Flächeninhalt maximal wird? Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt?

Die Skizze zeigt die Lage von Feld und Fluss:

Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Graph durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|4)$ und $C(-1|6)$ verläuft.

Der monatliche Gewinn eines Unternehmens in Tausend Euro ist durch die Funktion $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ gegeben, wobei $x$ die Anzahl der verkauften Einheiten (in Hundert) ist. Wie viele Einheiten muss das Unternehmen verkaufen, um den Gewinn zu maximieren, und wie hoch ist dieser? Für welche Werte von $x$ macht das Unternehmen keinen Verlust?

Gib den Funktionsterm einer quadratischen Funktion an, die an der Stelle $x = 3$ ein absolutes Maximum mit dem Wert $8$ hat und deren Graph durch den Koordinatenursprung verläuft.

Bestimme für die Funktion $f(x) = -2(x - 3)(x + 1)$, ohne sie in die Polynomform auszumultiplizieren, die Schnittpunkte mit der x-Achse, die x-Koordinate des Scheitelpunkts und den maximalen Funktionswert.

TYP: WÄHLE DIE METHODE. Das Trainerteam eines Basketballvereins untersucht die Parabel, die der Ball bei einem Freiwurf beschreibt. Um die Höhe $y$ (in Metern) in Abhängigkeit von der waagerechten Entfernung $x$ (in Metern ab der Freiwurflinie) zu untersuchen, legen zwei Analysten dieselbe Funktion in zwei verschiedenen Schreibweisen vor:

• Analyst A (ausmultiplizierte Form): $f(x) = -0,2x^2 + 1,2x + 2$

• Analyst B (Scheitelpunktform): $g(x) = -0,2(x - 3)^2 + 3,8$

Das Trainerteam muss zwei Fragen beantworten:

1. Welche maximale Höhe erreicht der Ball und in welcher waagerechten Entfernung vom Werfer geschieht das?

2. In welcher genauen Höhe verlässt der Ball im Moment des Wurfs die Hände des Spielers ($x = 0$)?

1. a) Welcher der beiden Terme ist für Frage 1 vorteilhafter und direkter? Begründe deine Antwort und gib an, wie man beide Werte ohne zusätzliche Formeln erhält.
2. b) Welcher Term erlaubt es, Frage 2 sofort zu beantworten, und warum?
3. c) Zeige, dass beide Terme äquivalent sind, indem du den Term von Analyst B ausmultiplizierst.

TYP: MODELLIERE / SCHÄTZE UND PRÜFE. Red Eléctrica de España (REE) überwacht die Erzeugung eines Photovoltaik-Solarparks in der Extremadura an einem wolkenlosen Frühlingstag. Die erzeugte Leistung $P(t)$ (in Megawatt, $\text{MW}$) zwischen Sonnenaufgang ($6:00$) und Sonnenuntergang ($18:00$) wird durch die Funktion

modelliert. Dabei ist $t$ die seit $6:00$ ($0 \le t \le 12$) vergangene Zeit in Stunden.

1. a) Schätze: Um $6:00$ ($t=0$) und um $18:00$ ($t=12$) ist die Leistung null ($0\text{ MW}$). Schätze, zu welcher Uhrzeit die Sonneneinstrahlung und die Erzeugung aufgrund der natürlichen Symmetrie maximal sein sollten. Welche Leistung vermutest du ungefähr für den Park?
2. b) Prüfe: Berechne rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. Stimmt die berechnete Uhrzeit mit deiner Schätzung überein? Wie groß ist die tatsächliche maximale Leistung?
3. c) Um $14:00$ ($t = 8$) meldet das Telemetriesystem des Parks eine Erzeugung von $480\text{ MW}$. Ein Techniker vermutet eine Störung der Sensoren. Werte $P(8)$ im Modell aus und entscheide, ob der Sensorwert korrekt ist oder ob tatsächlich ein technischer Defekt vorliegt.
4. d) Bestimme die Wertemenge der Funktion in der betrachteten Definitionsmenge und deute, was der erhaltene Minimalwert im Zusammenhang der Stromversorgung bedeutet.

Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite $8\text{ cm}$ und der Höhe $6\text{ cm}$ soll ein Rechteck einbeschrieben werden, wobei eine Seite des Rechtecks auf der Grundseite des Dreiecks liegt. Drücke den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von der halben Rechteckbreite $x$ aus und bestimme die Maße des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt.

Gegeben sind die Parabeln $f(x) = x^2 - 4x + 3$ und $g(x) = -x^2 + bx + c$. Bestimme die Werte von $b$ und $c$ so, dass sich beide Graphen im Scheitelpunkt von $f(x)$ und auf der y-Achse schneiden.

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$, nachdem du sie zuvor als abschnittsweise definierte Funktion dargestellt hast. Bestimme ihre Monotonieintervalle (steigend und fallend) und ihre lokalen Extrema.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort senden.

Bei einem Feuerwerk wird eine Rakete von einer Plattform in $10\text{ m}$ Höhe abgeschossen. Sie folgt einer parabelförmigen Bahn, erreicht in einer waagerechten Entfernung von $20\text{ m}$ eine Höhe von $25\text{ m}$ und explodiert beim Auftreffen auf dem Boden in $60\text{ m}$ waagerechter Entfernung. Bestimme die Gleichung der Flugbahn $y = ax^2 + bx + c$.

Berechne den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade mit der Gleichung $y = 2x + k$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 4x + 5$ ist. Bestimme auch die Koordinaten des Berührpunkts.

Ein Theater hat Platz für $500$ Personen. Bei einem Eintrittspreis von $20\text{ \euro}$ ist das Theater vollständig gefüllt. Eine Marktstudie zeigt, dass für jeden Euro, um den der Eintrittspreis steigt, $10$ Zuschauer weniger kommen. Zu welchem Preis sollte der Eintritt festgesetzt werden, um die Einnahmen des Theaters zu maximieren? Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?

Bestimme die Koeffizienten $a$ und $b$ der Funktion $f(x) = ax^2 + bx - 3$, wenn sie an der Stelle $x = -2$ ein lokales Minimum hat und die mittlere Änderungsrate im Intervall $[-2;1]$ gleich $3$ ist.

Gegeben ist die Parabelschar mit der Gleichung $f_m(x) = mx^2 - 2mx + 1$, wobei $m$ ein reeller Parameter ungleich null ist. Zeige, dass alle Parabeln dieser Schar durch zwei feste Punkte verlaufen, die unabhängig vom Wert von $m$ sind, und berechne die Koordinaten dieser Punkte.

TYP: UMKEHRPROBLEM. Beim Bau einer Straßenumgehung in Asturien muss die Straßenbauverwaltung die Öffnung eines Tunnels (Galerie) mit symmetrischem parabelförmigem Profil entwerfen, um die Fahrbahn vor Steinschlag zu schützen. Der Querschnitt wird durch eine Parabel der Form $f(x) = a(x - h)^2 + k$ modelliert. Dabei ist $x$ die waagerechte Position in Metern, gemessen von der Fahrbahnmitte (die Mitte liegt also bei $x = 0$), und $y = f(x)$ die lichte Höhe in Metern.

Die in der Ausschreibung festgelegten technischen Anforderungen sind:

1. Die Basis des Tunnels am Boden muss eine Gesamtbreite von $12\text{ Meter}$ haben (der Tunnel steht am Boden bei $x = -6$ und $x = 6$, wo die Höhe $0\text{ m}$ beträgt).

2. Die maximale Höhe des Tunnels muss in der Fahrbahnmitte liegen und genau $6\text{ Meter}$ betragen.

3. Verkehrssicherheitsvorschrift: In $4\text{ Meter}$ Entfernung von der Mitte (bei $x = 4$ und $x = -4$, wo die Lkw auf den äußeren Fahrstreifen fahren) muss die lichte Höhe des Tunnels mindestens $3\text{ Meter}$ betragen.

1. a) Bestimme mit Begründung die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(h|k)$ aus den Angaben und stelle die Gleichung in Scheitelpunktform auf.
2. b) Verwende den Fußpunkt am Boden ($x = 6$, $y = 0$), um den genauen Wert des Parameters $a$ zu berechnen. Gib die vollständige quadratische Funktion an, die das Tunnelprofil beschreibt.
3. c) Prüfe rechnerisch, ob der Entwurf die Verkehrssicherheitsvorschrift erfüllt, indem du die genaue Höhe bei $x = 4$ berechnest. Können Schwerlasttransporte sicher passieren?

TYP: MODELLIERE. Eine Olivenöl-Genossenschaft aus Jaén vermarktet Kanister mit $5\text{ Liter}$ nativem Olivenöl extra. Aus den Verkaufsdaten der letzten Saison liegen dem Vorstand folgende Angaben vor:

• Beim Grundpreis von $30\text{ €}$ pro Kanister werden durchschnittlich $1200\text{ Kanister}$ pro Monat verkauft.

• Für jede Preiserhöhung um $2\text{ €}$ sinkt die Nachfrage um $50\text{ Kanister}$ pro Monat, weil Kunden zu anderen Marken wechseln.

Wir nennen $x$ die Anzahl der vorgenommenen Preiserhöhungen um $2\text{ €}$ (der Preis pro Kanister ist dann $P(x) = 30 + 2x$ und die verkaufte Menge $V(x) = 1200 - 50x$).

1. a) Bestimme den Funktionsterm der monatlichen Einnahmen der Genossenschaft $I(x) = P(x) \cdot V(x)$ in ausmultiplizierter Form $ax^2 + bx + c$. Begründe anhand des Vorzeichens des quadratischen Koeffizienten, warum dieser Zusammenhang die Existenz maximaler Einnahmen sichert.
2. b) Bestimme, wie viele Preiserhöhungen um $2\text{ €}$ vorgenommen werden müssen, um die monatlichen Einnahmen zu maximieren, und leite daraus den Verkaufspreis pro Kanister ab.
3. c) Der Verkaufsleiter schlägt vor: „Um erfolgreich zu sein, muss man möglichst viel Produkt verkaufen; eine Preiserhöhung senkt den Absatz und schadet der Genossenschaft immer.“ Widerlege seine Aussage mathematisch, indem du die Einnahmen beim Grundpreis von $30\text{ €}$ mit den Einnahmen beim berechneten optimalen Preis vergleichst.
4. d) Ab wie vielen Preiserhöhungen um $2\text{ €}$ hätte die Genossenschaft keine Kunden mehr? Gib die realistische Definitionsmenge der Variablen $x$ und die Wertemenge der Einnahmenfunktion in diesem wirtschaftlichen Zusammenhang an.