Aufgaben: Lineare Funktionen. Steigung

Bestimme die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(1|4)$ und $B(3|10)$ verläuft.

Gegeben ist die lineare Funktion $y = -3x + 5$. Gib ihre Steigung und ihren y-Achsenabschnitt an. Ist die Funktion monoton steigend oder fallend?

Betrachte den folgenden Graphen und bestimme die Steigung der dargestellten Geraden.

Gib die Gleichung der Geraden in der Form y = mx + b an, die die Steigung $m = \frac{1}{2}$ hat und die y-Achse im Punkt $(0|-4)$ schneidet.

Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Variablen ist durch die folgende Wertetabelle gegeben:

Berechne die Steigung dieser Funktion.

Ein Wasserhahn füllt einen Tank mit $3$ Litern pro Minute. Wenn sich anfangs $10$ Liter im Tank befanden, welche Steigung hat die Funktion, die das Wasservolumen mit der vergangenen Zeit verknüpft?

Gegeben sind die folgenden Geraden: $y = 2x$, $y = 0,5x$, $y = -x$, $y = -4x$. Ordne sie von der geringsten zur größten Neigung (Betrag der Steigung) und teile sie in steigende und fallende Geraden ein.

Die Gerade durch die Punkte $P(2|5)$ und $Q(4|y)$ hat die Steigung $m = 3$. Berechne den Wert der unbekannten Koordinate $y$.

Marcel soll die Steigung der Geraden berechnen, die durch die Punkte $A(2|3)$ und $B(6|11)$ verläuft. In seiner Klassenarbeit schreibt er das folgende Verfahren auf:

Daraus folgert er, dass die Gerade für jede Einheit, die sie senkrecht nach oben geht, $0,5$ Einheiten in waagerechter Richtung vorangeht.

1. a) Gib genau an, welchen inhaltlichen Fehler Marcel bei der Anwendung der Steigungsformel gemacht hat.
2. b) Erkläre, warum seine anschließende verbale Deutung nach dem Konzept der Steigung als Änderungsrate ebenfalls falsch ist.
3. c) Korrigiere die Rechnung, indem du den richtigen Wert von $m$ bestimmst, und begründe anhand seines Vorzeichens, ob die Funktion steigend oder fallend ist.

Beim Taxidienst einer deutschen Großstadt mit amtlich festgelegten Stadttarifen kostet der Grundpreis $2,40$ € (verpflichtender Festbetrag für den Fahrtbeginn) und der Preis pro gefahrenem Kilometer beträgt $1,25$ €.

1. a) Gib die Gleichung der linearen Funktion $y = mx + b$ an, die die Endkosten der Fahrt ($y$, in Euro) in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern ($x$) beschreibt.
2. b) Bestimme den Wert der Steigung $m$ und formuliere einen Satz, der erklärt, welche physikalische und wirtschaftliche Bedeutung diese Zahl im Zusammenhang der Fahrt hat.
3. c) Ein Fahrgast behauptet: „Wenn ich für eine Fahrt von $4$ km $7,40$ € bezahlt habe, zahle ich für die doppelte Strecke ($8$ km) genau das Doppelte, $14,80$ €." Begründe mithilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts mathematisch, warum diese Behauptung falsch ist.

Berechne die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(-2,5|3,2)$ und $B(1,5|-4,8)$ verläuft.

Ein Flugzeug sinkt mit konstanter Geschwindigkeit zur Landung. $10$ Minuten nach Beginn des Manövers befindet es sich in $8000$ Metern Höhe, und nach $25$ Minuten in $3500$ Metern. Berechne die Steigung der Funktion, die die Höhe mit der Zeit verknüpft, und deute ihre Bedeutung in diesem Zusammenhang.

Bestimme die Steigung der Geraden mit der allgemeinen Gleichung $4x - 5y + 20 = 0$. Schreibe anschließend ihre Gleichung in der Form y = mx + b.

Betrachte die beiden im Graphen dargestellten Geraden. Berechne die Steigung jeder Geraden und gib an, welche das stärkere Wachstum darstellt.

Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Grundgebühr plus einen Preis pro Nutzungsstunde. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für $2$ Stunden $14$ € kostet und für $5$ Stunden $26$ €, bestimme die Steigung der Kostenfunktion und erkläre, was dieser Wert im Zusammenhang der Aufgabe darstellt.

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade durch die Punkte $A(k|3)$ und $B(2k - 1|7)$ die Steigung $m = -2$ hat.

Zwei Größen $x$ und $y$ stehen in einem linearen Zusammenhang. Wenn man weiß, dass $y$ um $3$ Einheiten abnimmt, wenn $x$ um $5$ Einheiten zunimmt, und dass die Gerade durch den Punkt $(10|-2)$ verläuft, gib die Gleichung der linearen Funktion in der Form y = mx + b an, die sie verknüpft.

Gib die Gleichung einer Geraden an, die parallel zu $y = -\frac{3}{4}x + 2$ ist und durch den Punkt $(-8|5)$ verläuft.

Nach Wetteraufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes wird in einem Mittelgebirge in $500$ m Höhe über dem Meeresspiegel eine Temperatur von $19$ ºC gemessen, während die Temperatur an einer Station in $2000$ m Höhe auf $10$ ºC sinkt.

1. a) Schätze vor der formalen Rechnung mit Begründung das Vorzeichen der Steigung ab und prognostiziere, ob die Temperatur pro $100$ m Anstieg um mehr oder weniger als $1$ ºC sinkt.
2. b) Berechne unter der Annahme einer linearen Änderung die Steigung $m$ der Funktion, die die Temperatur ($y$, in ºC) in Abhängigkeit von der Höhe ($x$, in Metern) angibt.
3. c) Überprüfe, ob deine vorherige Schätzung zutraf, gib die Steigung als Änderung pro $100$ m an und deute, was es physikalisch in der Atmosphäre bedeuten würde, wenn die Steigung $m = 0$ wäre.

Im Koordinatensystem soll eine Gerade $r$ mit der festen Steigung $m = -1,5$ entworfen werden, aber mehrere ihrer Ausgangsgrößen sind unbekannt.

1. a) Die Gerade $r$ muss zwingend durch den Punkt $A(2|4)$ verlaufen. Gehe rückwärts vor, um den y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen, und schreibe die Funktionsgleichung $y = mx + b$ auf.
2. b) Stelle eine Gleichung auf der Grundlage der Definition der Steigung auf und löse sie, um die unbekannte x-Koordinate eines Punktes $B(x_B|-2)$ zu bestimmen, der auf dieser Geraden liegt.
3. c) Gib die allgemeine Gleichung einer weiteren Geraden $s$ an, die parallel zu $r$ ist und deren y-Achsenabschnitt das Dreifache des y-Achsenabschnitts von $r$ beträgt. Begründe, wie du die Parallelitätsbedingung verwendest.

Eine Feder dehnt sich proportional zur angreifenden Kraft (Hookesches Gesetz). Hängt man ein Gewicht von $2$ kg an, beträgt die Gesamtlänge der Feder $15$ cm. Bei einem Gewicht von $5$ kg beträgt ihre Gesamtlänge $21$ cm. Berechne die Steigung der Funktion, die die Länge dem Gewicht zuordnet, stelle ihre Gleichung auf und gib an, wie lang die Feder im Ruhezustand (ohne Gewicht) ist.

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $A(-2|5)$, $B(1|-1)$ und $C(5|-9)$ auf einer Geraden liegen, indem du die Steigungen der Verbindungsstrecken berechnest und vergleichst.

Das folgende Diagramm zeigt die Fahrt eines Güterzugs, der eine Hinfahrt macht, einen Halt einlegt und zu seinem Ausgangspunkt zurückfährt. Berechne die Steigung in jedem der drei Abschnitte und deute das Ergebnis als Geschwindigkeit (in km/h).

Der Wert einer Industriemaschine sinkt linear mit der Zeit. Sie wurde neu für $45000$ € gekauft und nach $6$ Jahren auf $18000$ € geschätzt. Berechne die Steigung der Funktion, die dem Alter den Wert zuordnet, bestimme, in welchem Jahr die Maschine rechnerisch ihren gesamten Wert verliert, und stelle den Funktionsterm auf.

Gegeben sind die Geraden $r: ax + 3y - 6 = 0$ und $s: 2x - by + 4 = 0$. Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b$, wenn die Gerade $r$ die Steigung $m = 2$ hat und beide Geraden echt parallel sind.

Zeige algebraisch, dass die mittlere Änderungsrate der linearen Funktion $f(x) = mx + n$ in jedem beliebigen Intervall $[a; b]$ stets konstant und gleich ihrer Steigung $m$ ist.

Eine Gerade mit der Steigung $m = -\frac{2}{3}$ bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck im ersten Quadranten. Wenn der Flächeninhalt dieses Dreiecks $27$ Flächeneinheiten beträgt, bestimme die Funktionsgleichung der Geraden.

Ein Industrietank enthält $1200$ Liter Wasser und wird mit konstanter Rate geleert. Die Steigung der Funktion, die das verbleibende Wasservolumen (in Litern) der vergangenen Zeit (in Stunden) zuordnet, beträgt $m = -40$. Bestimme, wie lange es dauert, bis der Tank genau auf ein Viertel seines anfänglichen Fassungsvermögens geleert ist.

Man möchte prüfen, ob drei landwirtschaftliche Parzellen, deren Zufahrten in einem Katasterplan in den Punkten $A(-2|-5)$, $B(2|1)$ und $C(6|7)$ liegen, genau auf einer Linie entlang eines geradlinigen Bewässerungskanals liegen. Zwei Techniker schlagen unterschiedliche Methoden vor:

• Lauras Methode: Berechne die Steigung des Abschnitts zwischen $A$ und $B$, dann die Steigung des Abschnitts zwischen $B$ und $C$, und prüfe, ob beide übereinstimmen.

• Karls Methode: Bestimme die Gleichung der Geraden durch $A$ und $B$ ($y = mx + b$) und prüfe dann, ob die Koordinaten von $C$ diese Gleichung erfüllen.

1. a) Löse die Aufgabe, indem du Lauras Methode Schritt für Schritt anwendest, und entscheide, ob die Punkte auf einer Geraden liegen.
2. b) Löse dieselbe Aufgabe mit Karls Methode, um das Ergebnis zu bestätigen.
3. c) Analysiere beide Verfahren: Welche der beiden Methoden ist effizienter und zweckmäßiger, wenn ein Landvermesser die Ausrichtung von zehn aufeinanderfolgenden Parzellen prüfen müsste? Begründe deine Wahl, indem du den Rechenaufwand der beiden Möglichkeiten bewertest.

Laut den Berichten der Generaldirektion Wasser des Ministeriums für den ökologischen Wandel und die demografische Herausforderung (MITECO) speicherte zu Beginn des Sommers (Woche $0$) ein Stausee in einem Flusseinzugsgebiet im Süden der Iberischen Halbinsel $360$ hm³ Wasser. Nach $15$ Wochen anhaltender Hitze ohne Regen sank das Volumen durch Verbrauch und Verdunstung gleichmäßig auf $210$ hm³.

1. a) Modelliere die Entwicklung des Wasservorrats ($y$, in hm³) in Abhängigkeit von den vergangenen Wochen ($x$) durch eine lineare Funktion. Berechne die Steigung $m$ und deute ihr Vorzeichen und ihre Einheit als wöchentliche Änderungsrate.
2. b) Das Dürreprotokoll ruft die Notfallstufe aus, wenn der Stausee unter $100$ hm³ fällt. Bestimme begründet, in welcher Woche diese Stufe erreicht würde, wenn sich die Bedingungen nicht änderten.
3. c) Im selben Einzugsgebiet hatte ein zweiter, benachbarter Stausee in Woche $0$ ein Volumen von $270$ hm³. Die Gerade, die seine Entleerung beschreibt, ist parallel zu der des ersten Stausees. Erkläre, was diese Parallelität praktisch für die Rate des Wasserverlusts bedeutet, und begründe, ohne die vollständige Gleichung des zweiten Stausees zu berechnen, welcher von beiden zuerst die Notfallstufe erreicht.