Aufgaben: Begriff der linearen Funktion. Arten

Bestimme die Steigung ($m$) und den y-Achsenabschnitt ($n$) der folgenden linearen Funktionen:

• a) $y = 5x - 2$

• b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$

• c) $y = 8$

• d) $y = \frac{x}{2}$

Ordne die folgenden Funktionen ein: proportionale Funktion (Ursprungsgerade), lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt (affine Funktion) oder konstante Funktion:

• a) $y = -3x + 5$

• b) $y = \frac{4}{5}x$

• c) $y = -7$

• d) $y = x$

Gib die Gleichung der proportionalen Funktion an, deren Graph durch den Punkt $P(4|-12)$ verläuft.

Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = -2x + 9$. Berechne die Funktionswerte von $x = 3$, $x = -1$ und $x = \frac{1}{2}$.

Gib die Gleichung der konstanten Funktion an, die durch den Punkt $A(-3|6)$ verläuft. Welchen genauen Wert hat ihre Steigung?

Bestimme rechnerisch, ob die Punkte $A(2|5)$ und $B(-1|-3)$ auf dem Graphen der Funktion $y = 3x - 1$ liegen.

Berechne die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $A(0|4)$ und $B(2|10)$ verläuft.

Eine proportionale Funktion ist durch die folgende Wertetabelle gegeben. Bestimme ihre Funktionsgleichung $y = f(x)$.

• $x$: $2, 4, 6$

• $y$: $7, 14, 21$

Beim städtischen Mobilitätsangebot einer deutschen Stadt verlangt der E-Scooter-Anbieter $1$ € Grundgebühr fürs Entsperren plus $0,20$ € pro Fahrminute. Der städtische Leihfahrraddienst dagegen verlangt nur $0,15$ € pro Minute, ohne Entsperrgebühr.

1. a) Gib für beide Verkehrsmittel die Funktion an, die die Kosten $y$ (in Euro) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer $x$ (in Minuten) beschreibt.
2. b) Ordne jede Funktion als proportional oder affin ein, bestimme jeweils die Steigung ($m$) und den y-Achsenabschnitt ($b$) und erkläre, was diese beiden Werte auf der Rechnung bedeuten.
3. c) Wenn dir höchstens $3$ € zur Verfügung stehen, wie viele volle Minuten kannst du höchstens mit dem E-Scooter fahren?

Um die Funktion $y = 8 - 2x$ einzuordnen und ihr Verhalten am Anfang zu bestimmen, schreibt Karl in seiner Klassenarbeit:

„Es ist eine proportionale Funktion, weil ihr Graph eine Gerade ist. Ihre Steigung ist $m = 8$, weil das der erste Wert ist, der vorkommt, und ihr y-Achsenabschnitt ist $b = -2$. Außerdem verläuft der Graph, weil sie proportional ist, zwingend durch den Punkt $(0|0)$."

1. a) Nenne die drei inhaltlichen Fehler, die Karl in seiner Erklärung gemacht hat.
2. b) Korrigiere Karls Aussagen, indem du die tatsächliche Steigung und den tatsächlichen y-Achsenabschnitt der Funktion angibst, und ordne sie mit Begründung richtig ein.
3. c) Zeige rechnerisch, dass der Graph nicht durch den Ursprung $(0|0)$ verläuft, indem du den Funktionswert von $x = 0$ berechnest.

Ein Klempner verlangt $40$ € Anfahrtspauschale plus $25$ € pro Arbeitsstunde. Gib die Funktion an, die die Gesamtkosten des Einsatzes ($y$) mit den Arbeitsstunden ($x$) verknüpft. Wie viel kostet eine Reparatur, die $3,5$ Stunden gedauert hat?

Betrachte die folgende grafische Darstellung mit den zwei Geraden $A$ und $B$. Bestimme den Funktionsterm jeder Geraden, indem du die Punkte untersuchst, durch die sie verlaufen.

Eine Feder ist im Ruhezustand $15$ cm lang. Beim Anhängen von Gewichten stellt man fest, dass sich die Feder pro hinzugefügtem Kilogramm um $3$ cm dehnt (nach dem hookeschen Gesetz). Gib die lineare Funktion an, die die Gesamtlänge der Feder ($L$) mit der angehängten Masse in Kilogramm ($m$) verknüpft. Welche Länge hat die Feder, wenn wir $4,5$ kg anhängen?

Bestimme die Gleichung einer Geraden, die parallel zur Funktion $y = -2x + 5$ ist und genau durch den Koordinatenursprung verläuft.

Der Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius ($C$) und Grad Fahrenheit ($F$) ist linear. Wir wissen, dass Wasser bei $0$ ºC gefriert, was $32$ ºF entspricht, und bei $100$ ºC siedet, was $212$ ºF entspricht. Bestimme die Funktion $F(C)$, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnen kann.

Berechne die exakten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ($X$-Achse und $Y$-Achse) der linearen Funktion $y = \frac{2}{5}x - 4$.

Ein Tank enthält $800$ Liter Wasser und wird von einer Pumpe geleert, die $40$ Liter pro Minute abpumpt. Gib den Funktionsterm für das Wasservolumen im Tank in Abhängigkeit von der Zeit an. Wie lange dauert es, bis er vollständig leer ist?

Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte $P(-2|5)$ und $Q(1|-4)$ verläuft.

Nach den Wetterdaten der spanischen Wetterbehörde AEMET sinkt die Temperatur durch den mittleren vertikalen Temperaturgradienten in der Troposphäre um etwa $0,65$ °C pro $100$ Meter Höhenunterschied ($0,0065$ °C pro Meter). An einem Frühlingstag um 12:00 Uhr misst die Wetterstation in Granada (auf $700$ m über dem Meeresspiegel) eine Temperatur von $20$ °C. Man möchte die Temperatur im Skigebiet Pradollano (auf $2100$ m Höhe) vorhersagen.

1. a) Schätze vor dem Rechnen mit Begründung ab, ob die Temperatur in Pradollano über oder unter $10$ °C liegen wird, indem du im Kopf berechnest, wie viele Grad auf den $1400$ m Anstieg ungefähr verloren gehen.
2. b) Modelliere die Situation durch eine lineare Funktion $T(x) = mx + n$, die die Temperatur $T$ (in °C) in Abhängigkeit von der erreichten Höhe $x$ (in Metern, mit $x = 0$ in der Stadt Granada) angibt. Gib den Wert der Steigung $m$ an und erkläre die Bedeutung ihres Vorzeichens.
3. c) Berechne mit der Funktion die genaue erwartete Temperatur in Pradollano und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung zutreffend und mit dem Ergebnis vereinbar war.

Ein Datenanalyst muss drei Verbrauchstarife modellieren, die sich genau in einem Kontrollpunkt treffen: dem Punkt $P(5|20)$, wobei $x$ den Verbrauch in Gigabyte und $y$ die Kosten in Euro darstellt. Bestimme die gesuchten Terme:

1. a) Bestimme die Gleichung einer proportionalen Funktion $f(x)$, die durch den Punkt $P$ verläuft. Begründe Schritt für Schritt, wie du ihre Steigung aus den Koordinaten von $P$ berechnest.
2. b) Stelle die Gleichung einer linearen Funktion $g(x)$ auf, die ebenfalls durch den Punkt $P$ verläuft, deren Grundgebühr (y-Achsenabschnitt) aber $5$ € beträgt. Berechne die Steigung, die diese Gerade haben muss.
3. c) Gib den Term einer konstanten Funktion $h(x)$ an, die den Punkt $P$ enthält. Nenne den Wert ihrer Steigung und beschreibe, wie ihr Graph im Koordinatensystem aussieht.

Zwei Telefonanbieter bieten unterschiedliche Tarife an. Im Graphen der monatlichen Kosten in Euro ($C$) in Abhängigkeit von den Gesprächsminuten ($t$) verläuft die Gerade von Tarif A durch die Punkte $(0|10)$ und $(200|20)$, während die von Tarif B durch den Ursprung $(0|0)$ und $(200|20)$ verläuft. Bestimme anhand des Graphen den Term jedes Tarifs und erkläre, indem du das entsprechende Gleichungssystem löst, ab wie vielen Minuten sich Tarif A gegenüber Tarif B lohnt.

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade mit der Gleichung $y = (3k - 2)x + 5$ mit der Geraden zusammenfällt, die durch die Punkte $A(-1|2)$ und $B(3|14)$ verläuft.

Eine Industriemaschine wird für $15\,000$ € gekauft. Ihr Wert sinkt linear mit der Zeit, bis er nach $0$ € nach $12$ Jahren erreicht. Bestimme die Funktion, die den Wert der Maschine in Abhängigkeit von den vergangenen Jahren angibt. Wie groß ist ihr exakter Restwert, wenn sie $7$ Jahre alt ist?

Der folgende Graph stellt eine abschnittsweise definierte Funktion dar, die aus drei geradlinigen Strecken besteht. Bestimme ihren vollständigen Funktionsterm $f(x)$ und gib dabei für jeden Abschnitt die Definitionsintervalle deutlich an.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Gerade $y = -\frac{3}{2}x + 6$ mit den Koordinatenachsen $X$ und $Y$ bildet.

Zwei Schiffe befinden sich in zwei Häfen, die $300$ km voneinander entfernt sind. Das Schiff $A$ fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $40$ km/h zum Hafen des Schiffs $B$. Gleichzeitig fährt das Schiff $B$ mit $35$ km/h zum Hafen des Schiffs $A$. Gib die Ortsfunktionen beider Schiffe bezüglich des Starthafens des Schiffs $A$ an und berechne rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt sie sich begegnen.

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt $P(2|3)$ verläuft, wenn ihr y-Achsenabschnitt genau das Doppelte ihres x-Achsenabschnitts ist (das heißt, der Schnittpunkt mit der $Y$-Achse ist das Doppelte des Schnittpunkts mit der $X$-Achse).

Zeige mathematisch, dass für eine proportionale Funktion $f(x)$ ($f(x) = mx$) für beliebige Werte $a$ und $b$ stets $f(a+b) = f(a) + f(b)$ gilt. Überprüfe anschließend und begründe, warum diese Eigenschaft für eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt $g(x) = mx + n$ (mit $n \neq 0$) nicht gilt.

Im Kfz-Labor eines Berufskollegs werden folgende Daten zum Kraftstoff erfasst, der im Tank eines Hybridfahrzeugs verbleibt, das mit konstanter Geschwindigkeit auf der Autobahn fährt:

• Nach $100$ km sind noch $45$ Liter übrig.

• Nach $200$ km sind noch $40$ Liter übrig.

• Nach $300$ km sind noch $35$ Liter übrig.

• Nach $400$ km sind noch $30$ Liter übrig.

Zwei Schüler diskutieren, wie man die Funktion einordnen soll, die die Kilometer ($x$) mit den verbleibenden Litern ($y$) verknüpft:

• Anna schlägt vor, in jedem Punkt den Quotienten $\frac{y}{x}$ zu berechnen und zu prüfen, ob er konstant ist.

• Ben schlägt vor, die Änderungsrate $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ zwischen aufeinanderfolgenden Punktepaaren zu berechnen und den y-Achsenabschnitt zu prüfen.

1. a) Wende Annas Vorschlag an. Welche Quotienten erhältst du? Welche falsche Schlussfolgerung über den Funktionstyp könnte man ziehen, wenn man sich nur auf diese Methode stützt?
2. b) Wende Bens Vorschlag an. Welchen konstanten Wert erhältst du für die Steigung? Gib den vollständigen Funktionsterm $y = mx + b$ an.
3. c) Vergleiche beide Verfahren: Begründe, welche der beiden Methoden die einzig geeignete ist, um lineare Funktionen mit y-Achsenabschnitt in experimentellen Tabellen zu erkennen und aufzustellen, und warum die andere Methode nur für proportionale Funktionen taugt.

Im Taxi-Tarifgebiet von Berlin (Tarif 1, werktags von 7:00 bis 21:00 Uhr) beträgt der Grundpreis $2,50$ € und jeder gefahrene Kilometer kostet $1,30$ €. Ein Fahrdienstvermittler, der im selben Gebiet tätig ist, verlangt für dieselbe Tageszeit eine feste Grundgebühr von $0,70$ € und einen Kilometerpreis von $1,80$ €/km.

1. a) Gib die Funktion der Gesamtkosten $y$ (in Euro) in Abhängigkeit von den Kilometern $x$ für beide Beförderungsdienste an. Bestimme jeweils Steigung und y-Achsenabschnitt und ordne sie mit Begründung nach den behandelten Funktionstypen ein.
2. b) Deute die praktische Bedeutung der Steigungen: Welcher Dienst verteuert die Fahrt pro zusätzlich gefahrenem Kilometer stärker? Begründe davon ausgehend und unter Beachtung der Grundgebühren sachlich, welcher der beiden Dienste auf kurzen Strecken und welcher auf langen Strecken günstiger ist.
3. c) Berechne mit Begründung, ab wie vielen Kilometern genau die Kosten bei beiden Diensten gleich sind. Wenn du vom Bahnhof Berlin Gesundbrunnen zum Flughafen BER fahren musst (eine Strecke von $12$ km), welche Option solltest du wählen und wie viel Euro sparst du?