Aufgaben: Lineare Funktionen

Gib für jede der folgenden Funktionen den Wert der Steigung und des y-Achsenabschnitts an und entscheide, ob ihr Graph steigt oder fällt:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Ein Obststand verkauft Orangen für $1,80\ \text{€}$ das Kilogramm.

1. a) Lege in deinem Heft eine Tabelle mit dem Preis für $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ kg Orangen an.

1. b) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das Gewicht $x$ in Kilogramm dem Preis $y$ in Euro zuordnet.

1. c) Ist es eine proportionale Funktion? Wie groß ist ihre Steigung und was bedeutet sie?

Die Gerade in der Abbildung stellt eine lineare Funktion dar, wie unten gezeigt.

1. a) Finde zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die die Gerade verläuft.

1. b) Berechne ihre Steigung mithilfe dieser Punkte.

1. c) Gib die Funktionsgleichung an.

Berechne die Steigung der Geraden durch jeweils zwei Punkte:

1. a) $A(2|5)$ und $B(6|13)$

1. b) $P(-1|4)$ und $Q(3|-8)$

1. c) $M(0|-2)$ und $N(5|-2)$

Gib an, welche der folgenden Gleichungen zu einer proportionalen Funktion, welche zu einer linearen Funktion der Form y = mx + b gehören und welche weder noch sind. Begründe deine Antwort.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

Der Graph zeigt eine lineare Funktion, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Wie lautet der y-Achsenabschnitt?

1. b) Um wie viel nimmt $y$ zu, wenn $x$ um eine Einheit zunimmt? Wie groß ist die Steigung?

1. c) Gib ihre Funktionsgleichung an.

Ein Fitnessstudio verlangt eine Anmeldegebühr von $20\ \text{€}$ und $15\ \text{€}$ pro Monat.

1. a) Stelle die Gleichung auf, die die Gesamtkosten $y$ in Euro in Abhängigkeit von der Anzahl der Monate $x$ angibt.

1. b) Wie groß ist der y-Achsenabschnitt und was bedeutet er in diesem Zusammenhang?

1. c) Und die Steigung? Was bedeutet sie?

In der Abbildung sind drei Geraden $a$, $b$ und $c$ zu sehen, wie unten gezeigt.

1. a) Ordne jeder Geraden ihre Gleichung aus diesen dreien zu: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Erkläre, wie du das Vorzeichen der Steigung und den y-Achsenabschnitt für deine Entscheidung genutzt hast.

Prüfe durch Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung, ob die Punkte $A(3|4)$ und $B(-2|11)$ auf der Geraden $y = -3x + 5$ liegen.

Ein Radfahrer fährt mit der konstanten Geschwindigkeit $24\ \text{km/h}$. Wir bezeichnen mit $x$ die Zeit in Stunden und mit $y$ die zurückgelegte Strecke in Kilometern.

1. a) Vervollständige in deinem Heft die Wertetabelle für $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ und $2$.

1. b) Stelle die Funktionsgleichung auf.

1. c) Der Radfahrer startet von zu Hause, das $6\ \text{km}$ vom Punkt entfernt ist, an dem die Streckenmessung beginnt. Wie lautet nun die Gleichung für die Entfernung von zu Hause? Um welche Art von Funktion handelt es sich?

Während einer Hitzewelle registrierte die Wetterstation eines Dorfes in der gesamten Nacht eine konstante Temperatur von $24\ \text{°C}$.

1. a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die die Temperatur $y$ in Abhängigkeit von der Uhrzeit $x$ in diesem Zeitraum angibt.

1. b) Wie groß ist ihre Steigung? Wie sieht ihr Graph aus?

1. c) Ist es eine proportionale Funktion, eine lineare Funktion der Form y = mx + b oder keins von beiden? Begründe deine Antwort.

Übertrage die Wertetabelle der Funktion $y = -2x + 6$ für $x = -1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in dein Heft und vervollständige sie. Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem. In welchem Punkt schneidet sie die $X$-Achse?

Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|8)$ in folgenden Schritten:

1. a) Berechne die Steigung $m$.

1. b) Setze die Koordinaten eines der Punkte in $y = mx + b$ ein, um $b$ zu bestimmen.

1. c) Gib die endgültige Gleichung an und überprüfe, dass auch der andere Punkt sie erfüllt.

Der Graph zeigt den Kontostand von Adrians digitaler Spardose in den letzten Wochen, wie in der Abbildung dargestellt.

Welche dieser drei Funktionsgleichungen gehört zum Graphen? Begründe deine Wahl, indem du die beiden anderen ausschließt.

• $y = 5x + 10$

• $y = -5x + 40$

• $y = 10x - 5$

Ein Taxi verlangt $3,50\ \text{€}$ Grundgebühr und $1,20\ \text{€}$ für jeden gefahrenen Kilometer.

1. a) Stelle die Funktion auf, die den Preis $y$ einer Fahrt von $x$ Kilometern angibt.

1. b) Wie viel kostet eine Fahrt von $12\ \text{km}$?

1. c) Eine Fahrt hat $16,70\ \text{€}$ gekostet. Wie viele Kilometer wurden zurückgelegt?

Zwei Wanderer starten gleichzeitig an zwei Berghütten, die $18\ \text{km}$ voneinander entfernt sind, und gehen auf demselben Weg aufeinander zu. Der erste geht mit $5\ \text{km/h}$, der zweite mit $4\ \text{km/h}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Stelle für jeden Wanderer die Gleichung auf, die die Entfernung zur ersten Hütte in Abhängigkeit von der Zeit $x$ in Stunden angibt.

1. b) Zeichne beide Geraden in dein Heft.

1. c) Nach welcher Zeit begegnen sie sich? In welcher Entfernung von der ersten Hütte?

Der Graph zeigt den Parkpreis in einem Parkhaus in Abhängigkeit von der Zeit, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Wie viel kostet es, $4$ Stunden zu parken?

1. b) Wie hoch ist die feste Einfahrtsgebühr und wie viel kostet jede Stunde?

1. c) Stelle die Funktionsgleichung für $x \ge 0$ auf.

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$:

1. a) Stelle die Gleichung auf, die sich durch Gleichsetzen der beiden Terme ergibt, und löse sie.

1. b) Berechne die y-Koordinate des Schnittpunkts.

1. c) Überprüfe das Ergebnis, indem du in beide Gleichungen einsetzt.

Um Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, verwendet man die Funktion $F = 1,8C + 32$.

1. a) Wie viel Grad Fahrenheit sind $25\ \text{°C}$?

1. b) Was bedeutet der Koeffizient $1,8$? Und der Summand $32$?

1. c) Die Vorhersage meldet $86\ \text{°F}$ in einer Stadt in den USA. Wie viel Grad Celsius sind das?

Der Wassertank einer Bewässerungsgenossenschaft enthält $1.200\ \text{m}^3$ und wird mit $75\ \text{m}^3$ pro Tag verbraucht, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Stelle die Funktion auf, die das Wasservolumen $y$ in Abhängigkeit vom Tag $x$ angibt.

1. b) Wie groß ist die Steigung? Warum ist sie negativ?

1. c) Welches Volumen bleibt nach $9$ Tagen übrig?

1. d) An welchem Tag ist der Tank leer, wenn es nicht regnet?

Gib an, ob jede Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort mit einem Beispiel:

1. a) „Jede proportionale Funktion ist auch eine lineare Funktion der Form y = mx + b.“

1. b) „Wenn eine Gerade negative Steigung hat, verläuft sie durch den Ursprung.“

1. c) „Die Geraden $y = 3x + 2$ und $y = 3x - 5$ sind parallel.“

1. d) „Die Funktion $y = 4$ hat keine Steigung.“

Die Tabelle zeigt die Kosten für den Druck von Fotos in einem Copyshop in Abhängigkeit von der Anzahl der Abzüge:

1. a) Überprüfe, dass die Kosten für jeweils $10$ Abzüge immer um denselben Betrag steigen.

1. b) Wie groß ist die Steigung der Funktion? Und der y-Achsenabschnitt?

1. c) Stelle die Gleichung auf, die $x$ und $y$ verbindet.

1. d) Was stellt der y-Achsenabschnitt in diesem Zusammenhang dar?

Beim Spendenlauf der Schule gibt Nora ihrem kleinen Bruder einen Vorsprung: Er startet $40\ \text{m}$ weiter vorn und läuft mit $3\ \text{m/s}$, während Nora mit $4,5\ \text{m/s}$ läuft, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Stelle für jeden Läufer die Funktion „Entfernung vom Start in Abhängigkeit von der Zeit“ auf.

1. b) Nach wie vielen Sekunden holt Nora ihren Bruder ein?

1. c) In welcher Entfernung vom Start geschieht das?

1. d) Wenn das Rennen nach $150\ \text{m}$ endet, gewinnt dann Nora oder kommt ihr Bruder zuerst ins Ziel? Begründe mit Rechnungen.

Ein Telefonanbieter bietet zwei Tarife an, wie in der Abbildung gezeigt (horizontale Achse: Gesprächsminuten pro Monat; vertikale Achse: monatliche Kosten in Euro):

• Tarif A: Grundgebühr von $12\ \text{€}$ pro Monat und $0,04\ \text{€}$ pro Gesprächsminute.

• Tarif B: keine Grundgebühr, $0,08\ \text{€}$ pro Minute.

1. a) Stelle für jeden Tarif die Funktion der monatlichen Kosten in Abhängigkeit von den verbrauchten Minuten auf.

1. b) Ab wie vielen Minuten pro Monat ist Tarif A günstiger?

1. c) Lina telefoniert durchschnittlich $250$ Minuten pro Monat. Welcher Tarif lohnt sich für sie und wie viel spart sie pro Jahr?

Die Funktion $F = 1,8C + 32$ rechnet Grad Celsius in Grad Fahrenheit um.

1. a) Es gibt genau eine Temperatur, bei der Celsius- und Fahrenheit-Thermometer denselben Zahlenwert anzeigen. Stelle die Gleichung $C = F$ auf und berechne sie.

1. b) Ist das Ergebnis physikalisch sinnvoll? Erkläre, was bei dieser Temperatur geschieht.

1. c) Zeichne die Funktion in dein Heft und deute den Schnittpunkt des Graphen mit der Geraden $F = C$.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ein Onlineshop für bedruckte T-Shirts verlangt $18\ \text{€}$ für die Gestaltung des Logos und $7,50\ \text{€}$ für jedes T-Shirt. Ein anderer Shop verlangt nichts für die Gestaltung, aber jedes T-Shirt kostet $10,20\ \text{€}$.

1. a) Stelle für jeden Shop die Funktion der Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Anzahl der T-Shirts auf.

1. b) Die Basketballmannschaft des Stadtviertels braucht $14$ T-Shirts. Welcher Shop ist günstiger und um wie viel?

1. c) Bei welcher Anzahl an T-Shirts kosten beide Shops gleich viel? Was passiert bei größeren Bestellungen?

Bestimme in jedem Fall den Wert von $k$:

1. a) Damit die Gerade $y = kx + 3$ durch den Punkt $(2|11)$ verläuft.

1. b) Damit die Gerade $y = 5x + k$ durch den Punkt $(-1|2)$ verläuft.

1. c) Damit die Gerade $y = kx - 4$ dieselbe Steigung hat wie die Gerade durch $(0|1)$ und $(4|9)$.

Ein Schüler hat die Aufgabe „Bestimme die Steigung der Geraden durch $A(2|5)$ und $B(6|13)$ und entscheide, ob sie steigt“ so gelöst:

„Die Steigung ist $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0,5$. Da $0,5 < 1$, ist die Gerade nur wenig geneigt, also fast waagerecht und fallend.“

1. a) Finde die zwei Fehler, die er gemacht hat.

1. b) Berechne die richtige Steigung und ordne die Gerade ein.

1. c) Erkläre mit eigenen Worten, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Steigung und dem Verlauf der Funktion besteht.

Entscheidungsaufgabe. Drei Freunde wollen für die Abschlussfahrt sparen, die $420\ \text{€}$ pro Person kostet. Sie haben schon etwas gespart und legen jede Woche einen festen Betrag dazu, wie in der Abbildung gezeigt:

• Lea: hat $120\ \text{€}$ und spart $15\ \text{€}$ pro Woche.

• Paul: hat $40\ \text{€}$ und spart $25\ \text{€}$ pro Woche.

1. a) Stelle für jeden die Funktion „gespartes Geld in Abhängigkeit von den Wochen“ auf.

1. b) Wer braucht weniger Wochen, um $420\ \text{€}$ zu erreichen?

1. c) In welcher Woche hat Paul genauso viel gespart wie Lea?

1. d) Wenn die Fahrt in $16$ Wochen stattfindet, schaffen es beide rechtzeitig? Wie viel Geld hat dann jeder?

In einem Physiklabor werden Massen an eine Feder gehängt und ihre Länge wird gemessen:

1. a) Überprüfe, dass die Länge für jeweils $50\ \text{g}$ gleichmäßig zunimmt, und stelle die Funktion auf, die die Länge $y$ in Abhängigkeit von der Masse $x$ angibt.

1. b) Welche Länge hat die Feder bei einer Masse von $320\ \text{g}$?

1. c) Welche Masse muss man anhängen, damit die Feder $30,5\ \text{cm}$ lang ist?

1. d) Welche physikalische Bedeutung hat der y-Achsenabschnitt?

1. a) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(-1|7)$ und $B(2|-5)$.

1. b) Überprüfe, ob der Punkt $C(5|-17)$ auf einer Geraden mit $A$ und $B$ liegt.

1. c) Und der Punkt $D(0|5)$? Begründe deine Antwort ohne Zeichnung.

Die Barrierefreiheitsnorm begrenzt die Steigung von Rampen: Eine barrierefreie Rampe darf nicht mehr als $10\ \,\%$ Steigung haben. Die Steigung in Prozent ist der Quotient aus der überwundenen Höhe und der zurückgelegten horizontalen Strecke, multipliziert mit $100$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Eine Rampe überwindet einen Höhenunterschied von $0,54\ \text{m}$ auf einer horizontalen Strecke von $6\ \text{m}$. Berechne ihre Steigung in Prozent. Erfüllt sie die Norm?

1. b) Derselbe Höhenunterschied soll mit einer Steigung von $8\ \,\%$ überwunden werden. Welche horizontale Länge muss die Rampe mindestens haben?

1. c) Stelle die Rampe aus Teilaufgabe a) als Funktion $y = mx$ dar, wobei der Beginn der Rampe der Ursprung ist. Was bedeutet $m$?