Vektoren und Geraden im Raum · Mathematik EF

Punkte, Vektoren, Länge und Mittelpunkt

Im räumlichen Koordinatensystem hat jeder Punkt drei Koordinaten: $P(x\mid y\mid z)$. Der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ zeigt vom Ursprung zu $P$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}$$

(„Spitze minus Fuß“). Seine Länge ist zugleich der Abstand der Punkte. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras, zweimal angewendet.

Im Schrägbild zeichnen Sie die $x_1$-Achse schräg nach vorn links unten, die $x_2$-Achse waagerecht nach rechts und die $x_3$-Achse senkrecht nach oben. Die $x_1$-Strecken werden dabei verkürzt gezeichnet (meist halbe Länge). Einen Punkt $P(x\mid y\mid z)$ zeichnen Sie, indem Sie nacheinander $x$, $y$ und $z$ von $O$ aus abtragen. Der Pfeil von $O$ zu $P$ stellt den Ortsvektor dar.

Üben★☆☆

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 2\mid 3)$, $B(5\mid 5\mid 3)$ und $C(5\mid 5\mid 9)$. a) Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AB}$ an und berechnen…

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 2\mid 3)$, $B(5\mid 5\mid 3)$ und $C(5\mid 5\mid 9)$.

a) Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AB}$ an und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

b) Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AC}$.

c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$.

d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

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Kollinearität und Figuren

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist: $\vec v=k\cdot\vec u$ mit $k\in\mathbb{R}$. Sie zeigen dann in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtung. Sind $\overrightarrow{PQ}$ und $\overrightarrow{EF}$ kollinear, sind die Strecken parallel. Das ist die Grundlage fast aller Nachweise in Figuren.

Üben★★☆

Das Gebäude einer Schule hat die Form eines Hauses mit Satteldach. Im Koordinatensystem (Einheit: Meter) gilt für die Grundfläche $A(0\mid 0\mid 0)$,…

Das Gebäude einer Schule hat die Form eines Hauses mit Satteldach. Im Koordinatensystem (Einheit: Meter) gilt für die Grundfläche $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(12\mid 0\mid 0)$, $C(12\mid 8\mid 0)$, $D(0\mid 8\mid 0)$ und für die Traufen $E(0\mid 0\mid 6)$, $F(12\mid 0\mid 6)$. Die Firstpunkte sind $P(0\mid 4\mid 9)$ und $Q(12\mid 4\mid 9)$.

a) Zeigen Sie, dass die Vektoren $\overrightarrow{PQ}$ und $\overrightarrow{EF}$ kollinear sind.

b) Berechnen Sie die Länge des Dachsparrens $\overline{EP}$.

c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Firststrecke $\overline{PQ}$.

d) Ein Kabel verläuft geradlinig vom Firstpunkt $P$ zur Gebäudeecke $B$. Berechnen Sie die Länge des Kabels.

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Üben★★★

Gegeben ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(6\mid 0\mid 2)$, $C(8\mid 6\mid 4)$ und $D(2\mid 8\mid 0)$. Die Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ sind die…

Gegeben ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(6\mid 0\mid 2)$, $C(8\mid 6\mid 4)$ und $D(2\mid 8\mid 0)$. Die Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ sind die Mittelpunkte der Seiten $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ bzw. $\overline{DA}$.

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$ und $M_4$.

b) Zeigen Sie, dass das Viereck $M_1M_2M_3M_4$ ein Parallelogramm ist.

c) Zeigen Sie für beliebige Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ mit den Ortsvektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, $\vec d$ allgemein, dass $\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_4M_3}$ gilt.

d) Untersuchen Sie, ob das Parallelogramm $M_1M_2M_3M_4$ eine Raute ist. Nutzen Sie dazu die Längen der Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$.

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Geraden in Parameterform

Eine Gerade im Raum ist durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt:

$$g:\ \vec x=\vec p+r\cdot\vec u,\quad r\in\mathbb{R}$$

Dabei ist $\vec p$ der Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes von $g$) und $\vec u$ der Richtungsvektor. Jeder Wert des Parameters $r$ gehört zu genau einem Punkt der Geraden.

Eine Gerade durch $A$ und $B$ erhalten Sie mit $\vec p=\overrightarrow{OA}$ und $\vec u=\overrightarrow{AB}$. Die Strecke $\overline{AB}$ entspricht dann genau den Parameterwerten $r\in[0;1]$: $r=0$ liefert $A$, $r=1$ liefert $B$, $r=\tfrac12$ den Mittelpunkt.

Üben★☆☆

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die Koordinaten…

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes von $g$ für $r=-2$.

b) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(5\mid 5\mid -3)$ auf $g$ liegt.

c) Untersuchen Sie, ob der Punkt $Q(4\mid 3\mid 0)$ auf $g$ liegt.

d) Die Punkte $A$ und $B$ von $g$ gehören zu den Parameterwerten $r=0$ und $r=4$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

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Üben★★☆

Eine Seilbahn in Winterberg verläuft geradlinig von der Talstation $T(0\mid 0\mid 0)$ zur Bergstation $B(600\mid 800\mid 200)$ (Koordinaten in Metern, $z$ ist die Höhe…

Eine Seilbahn in Winterberg verläuft geradlinig von der Talstation $T(0\mid 0\mid 0)$ zur Bergstation $B(600\mid 800\mid 200)$ (Koordinaten in Metern, $z$ ist die Höhe über der Talstation).

a) Berechnen Sie die Länge der Seilbahnstrecke.

b) Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden durch $T$ und $B$ und geben Sie an, für welche Parameterwerte die Punkte der Geraden auf der Strecke $\overline{TB}$ liegen.

c) Die Gondel fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $5\,\mathrm{m/s}$. Berechnen Sie die Fahrzeit von der Talstation zur Bergstation.

d) Berechnen Sie die Koordinaten der Gondel 60 Sekunden nach der Abfahrt an der Talstation.

e) Eine Stütze steht im Punkt $S(450\mid 600\mid 150)$. Zeigen Sie, dass $S$ auf der Strecke $\overline{TB}$ liegt.

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Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden im Raum können vier Lagen haben: identisch, parallel (nicht identisch), sich schneidend oder windschief. Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum: Sie sind nicht parallel und haben trotzdem keinen gemeinsamen Punkt.

Vorgehen bei $g:\ \vec x=\vec p+r\vec u$ und $h:\ \vec x=\vec q+s\vec v$:

Sind $\vec u$ und $\vec v$ kollinear? Wenn ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Dann prüfen Sie, ob $\vec q$ (der Stützpunkt von $h$) auf $g$ liegt. Liegt er darauf, sind die Geraden identisch, sonst parallel.
Wenn nein, setzen Sie gleich: $\vec p+r\vec u=\vec q+s\vec v$. Das sind drei Gleichungen mit zwei Unbekannten $r$ und $s$. Hat dieses LGS eine Lösung, schneiden sich die Geraden, und Sie setzen $r$ in $g$ ein (oder $s$ in $h$). Hat es keine Lösung, sind die Geraden windschief.

Schneiden oder windschief?

Gegeben: $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $h:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.

Richtungsvektoren: $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$ ist kein Vielfaches von $\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ (aus der ersten Koordinate folgt $k=3$, aber $3\cdot 2\neq 1$). Die Geraden sind nicht parallel.

Gleichsetzen: I $1+r=3s$, II $2r=3+s$, III $2-r=-2+2s$.

Aus I folgt $r=3s-1$. In II: $6s-2=3+s$, also $s=1$ und $r=2$.

Probe in III: links $2-2=0$, rechts $-2+2=0$ ✓. Das LGS ist lösbar, die Geraden schneiden sich.

Schnittpunkt: $r=2$ in $g$ einsetzen: $S(3\mid 4\mid 0)$.

Ändern Sie den Stützvektor von $h$ zu $\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}$. Wie liegen die Geraden jetzt?

I und II liefern wie vorher $s=1$, $r=2$. In III steht aber links $0$ und rechts $-1+2=1$, ein Widerspruch. Das LGS hat keine Lösung, die Geraden sind windschief.

Üben★☆☆

Gegeben sind die Geraden $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$,…

Gegeben sind die Geraden

$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\quad h:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\quad k:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.

a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.

b) Zeigen Sie, dass sich $g$ und $k$ im Punkt $S(1\mid 1\mid 1)$ schneiden.

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $h$ und $k$.

d) Geben Sie eine Parameterform einer Geraden an, die zu $g$ windschief ist, und begründen Sie Ihre Wahl.

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Üben★★★

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$. Für jede reelle Zahl $a$ ist…

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$. Für jede reelle Zahl $a$ ist außerdem die Gerade $h_a:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\a\end{pmatrix}$, $s\in\mathbb{R}$, gegeben.

a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für $a=4$ parallel, aber nicht identisch sind.

b) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für alle $a\ne 4$ windschief sind.

c) Der Punkt $P(0\mid 3\mid 1)$ liegt auf $h_a$, der Punkt $Q(3\mid 3\mid 2)$ liegt auf $g$. Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden $k$ durch $P$ und $Q$ und zeigen Sie, dass sich $k$ und $g$ in $Q$ schneiden.

d) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $P$ und $Q$.

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Bewegte Punkte: Geschwindigkeit, Begegnung, Abstand

Bewegt sich ein Punkt gleichmäßig geradlinig, beschreibt $P(t)=\vec p+t\cdot\vec v$ seinen Ort zur Zeit $t$. Der Richtungsvektor $\vec v$ ist dann die Geschwindigkeit (Verschiebung pro Sekunde), und $\lvert\vec v\rvert$ ist der Betrag der Geschwindigkeit, also die Fahrt in $\mathrm{m/s}$.

Wichtig ist der Unterschied zwischen Flugbahn und Zusammenstoß:

Die Flugbahnen (Geraden) schneiden sich, wenn es Parameter $t$ und $s$ gibt mit gleichem Punkt. Die Parameter dürfen dabei verschieden sein.
Die Objekte treffen sich nur, wenn sie zur selben Zeit am selben Ort sind: $P(t)=Q(t)$ mit demselben $t$.

Für den Abstand zur Zeit $t$ gilt $d(t)=\lvert\overrightarrow{P(t)Q(t)}\rvert$. Weil die Wurzel stört, rechnet man mit dem Quadrat $d(t)^2$. Das ist eine quadratische Funktion von $t$, deren Minimum man mit dem Scheitelpunkt bestimmt.

Kleinster Abstand zweier Drohnen

Drohne 1: $P(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$. Drohne 2: $Q(t)=\begin{pmatrix}20\\0\\14\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ ($t$ in s, Koordinaten in m).

Geschwindigkeit der ersten Drohne: $\lvert\vec v\rvert=\sqrt{4+1+0}=\sqrt5\approx 2{,}24\,\mathrm{m/s}$.

Verbindungsvektor zur Zeit $t$: $\overrightarrow{P(t)Q(t)}=\begin{pmatrix}20-2t\\0\\4\end{pmatrix}$. Die $y$-Koordinaten fallen weg, weil beide Drohnen gleich schnell in $y$-Richtung fliegen.

Abstandsquadrat: $d(t)^2=(20-2t)^2+16=4t^2-80t+416$.

Scheitelpunktform: $d(t)^2=4(t-10)^2+16$. Das Minimum liegt bei $t=10$, dort ist $d^2=16$.

Der kleinste Abstand beträgt also $\sqrt{16}=4\,\mathrm{m}$ nach $10\,\mathrm{s}$. Die Drohnen stoßen nicht zusammen.

Zurück zum Anfang: Die Drohnen kollidieren nur, wenn sie zur selben Zeit am selben Ort sind. Dass sich die Flugbahnen schneiden, genügt nicht.

Üben★★☆

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld bei Paderborn. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch…

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld bei Paderborn. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch $\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}$, der Ort der zweiten Drohne durch $\vec x=\begin{pmatrix}60\\0\\50\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-3\end{pmatrix}$ beschrieben ($t$ in Sekunden, Koordinaten in Metern, $z$ ist die Flughöhe).

a) Berechnen Sie die Koordinaten der ersten Drohne 10 Sekunden nach dem Start.

b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der ersten Drohne.

c) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Drohnen im Punkt $S(40\mid 30\mid 20)$ schneiden.

d) Beurteilen Sie, ob es zu einem Zusammenstoß der beiden Drohnen kommt.

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Üben★★★

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch…

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch $P(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$, der Ort der zweiten Drohne durch $Q(t)=\begin{pmatrix}40\\-10\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$ beschrieben ($t$ in Sekunden, Koordinaten in Metern).

a) Berechnen Sie die Orte beider Drohnen zur Zeit $t=10$ und deren Abstand zu diesem Zeitpunkt.

b) Berechnen Sie die Beträge der Geschwindigkeiten beider Drohnen.

c) Zeigen Sie, dass für das Quadrat des Abstands der beiden Drohnen zur Zeit $t$ gilt: $d(t)^2=14t^2-380t+2600$.

d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Drohnen am nächsten kommen, und berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

e) Untersuchen Sie, ob sich die Flugbahnen der beiden Drohnen schneiden, und begründen Sie, dass es daher in keinem Fall zu einem Zusammenstoß kommt.

Lösen

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 2\mid 3)$, $B(5\mid 5\mid 3)$ und $C(5\mid 5\mid 9)$. a)…★☆☆ Gegeben ist die Gerade…★☆☆ Gegeben sind die Geraden…

Auf einen Blick

Verbindungsvektor: $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ („Spitze minus Fuß“); Länge $\lvert\vec v\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$; Mittelpunkt: Koordinaten mitteln.
Kollinear: $\vec v=k\cdot\vec u$, derselbe Faktor $k$ für alle Koordinaten. Parallelogramm $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Gerade: $g:\ \vec x=\vec p+r\cdot\vec u$. Die Strecke $\overline{AB}$ entspricht $r\in[0;1]$. Punktprobe: alle drei Gleichungen müssen mit demselben $r$ stimmen.
Lage zweier Geraden: erst Richtungsvektoren vergleichen (parallel oder identisch?), sonst gleichsetzen: eine Lösung heißt schneidend, keine Lösung heißt windschief.
Bewegte Punkte: $\lvert\vec v\rvert$ ist die Fahrt. Eine Begegnung braucht dieselbe Zeit. Den kleinsten Abstand erhalten Sie aus dem Scheitelpunkt von $d(t)^2$.