Vektoren und Vektorräume

Stellen Sie den Vektor $\vec{w} = (7, 11, 2)$ als Linearkombination der Vektoren der kanonischen Basis von $\mathbb{R}^3$ dar, d. h. in Abhängigkeit von $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ und $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Eine Überwachungsdrohne startet von einer Plattform im Punkt $A(1|-2|5)$ und fliegt geradlinig bis zu einem Ziel im Punkt $B(4|3|-1)$. Berechnen Sie die Komponenten des Verschiebungsvektors $\vec{AB}$ und bestimmen Sie seinen Betrag, um die von der Drohne zurückgelegte Entfernung zu erhalten.

Karl soll die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke mit den Endpunkten $A(1\,|\,-2\,|\,4)$ und $B(5\,|\,2\,|\,-2)$ berechnen. Zur Lösung schreibt er in seiner Klassenarbeit:

Daher schließt er, dass der Mittelpunkt $M(2\,|\,2\,|\,-3)$ ist.

1. a) Erklären Sie ausführlich, worin Karls begrifflicher Fehler besteht. Was stellt der Vektor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ geometrisch dar und warum stimmen seine Komponenten nicht mit den Koordinaten des Mittelpunkts bezüglich des Koordinatenursprungs überein?
2. b) Zeigen Sie, wie Karl mit seinem Vektor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ zum richtigen Mittelpunkt hätte gelangen können, indem er ihn zum passenden Ortsvektor addiert.
3. c) Korrigieren Sie die Rechnung mit der direkten Mittelpunktformel $M = \frac{A+B}{2}$ und überprüfen Sie, dass beide Wege zum selben Ergebnis führen.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (0, 4, 1)$. Führen Sie die folgenden analytischen Operationen durch:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Berechnen Sie den Wert des Skalars $k$, wenn bekannt ist, dass $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$ gilt.

Gegeben ist der Vektor des Raumes $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Begründen Sie, ohne Quadratwurzeln zu berechnen, warum der Betrag eines beliebigen Vektors $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ ungleich dem Nullvektor stets größer oder gleich dem Betrag jeder seiner Komponenten ist ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, mit strenger Ungleichung, wenn er mindestens zwei von null verschiedene Komponenten hat) und kleiner oder gleich der Summe der Beträge aller Komponenten ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Nutzen Sie die obige Überlegung, um den Wert von $|\vec{v}|$ zwischen zwei ganzen Zahlen einzugrenzen, indem Sie ein Intervall abschätzen, in dem seine Länge notwendigerweise liegen muss.
3. c) Berechnen Sie den exakten Betrag von $\vec{v}$ mit der dreidimensionalen Formel und überprüfen Sie, ob Ihre anfängliche Abschätzung richtig war.

Bestimmen Sie, ob die Vektoren $\vec{a} = (1, -2, 4)$ und $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ linear abhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie prüfen, ob ihre Koordinaten proportional sind, und erklären Sie, welche geometrische Beziehung zwischen ihnen besteht (sind sie parallel?).

Berechnen Sie den Wert des Parameters $m$ so, dass der Vektor $\vec{u} = (m, 2, 4)$ eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v} = (1, 0, 2)$ und $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mit dem Ansatz $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$ ist.

Eine Kurierdrohne bewegt sich im dreidimensionalen Raum entlang von Bahnen, die durch Vektoren festgelegt sind. Ihre Grundtriebwerke erlauben ihr drei Grundbewegungen, die durch die Vektoren $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ und $\vec{w} = (2, 0, 3)$ definiert sind. Muss die Drohne einen dringenden Transport von der Kontrollzentrale zu einem Kunden entlang des resultierenden Verschiebungsvektors $\vec{d} = (5, 1, 10)$ durchführen, berechnen Sie die Koeffizienten $a, b$ und $c$ so, dass sich die Bewegung als Linearkombination der Triebwerke darstellen lässt: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Beim Entwurf eines Metalltragwerks werden zwei Träger an ihren Enden verbunden, die durch die Punkte $P(2|5|-3)$ und $Q(8|-1|7)$ dargestellt sind. Zur Verstärkung des Tragwerks soll genau im Mittelpunkt der Strecke $PQ$ eine Stütze angebracht werden. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Mittelpunkts $M$.

Drei Radiostationen befinden sich in den Punkten $A(1|1|1)$, $B(3|2|0)$ und $C(5|3|-1)$. Prüfen Sie, ob die drei Stationen auf einer Geraden liegen, indem Sie die Proportionalität der Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ untersuchen.

Betrachten Sie ein Parallelogramm, bei dem drei aufeinanderfolgende Eckpunkte $A(1|1|0)$, $B(4|2|1)$ und $C(5|5|3)$ sind. Berechnen Sie mithilfe der Gleichheit von Vektoren (zum Beispiel $\vec{AB} = \vec{DC}$) die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$.

Gegeben sind die Punkte $A(2|-1|4)$ und $B(8|5|-2)$. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$, die die Strecke $AB$ in drei gleich lange Teile teilen. Erklären Sie die vektorielle Beziehung, die Sie zur Lösung verwendet haben.

Gegeben sind die Punkte des Raumes $A(1\,|\,-1\,|\,2)$ und $B(3\,|\,1\,|\,0)$. Gesucht ist die Lage eines dritten Punktes $P(x\,|\,y\,|\,z)$, der gleichzeitig drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Punkte $A$, $B$ und $P$ liegen auf einer gemeinsamen Geraden.

2. Der Abstand zwischen $A$ und $P$ ist genau das Dreifache des Abstands zwischen $A$ und $B$ (also $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. Die dritte Koordinate von $P$ ist streng negativ ($z < 0$).

1. a) Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors $\vec{AB}$ und berechnen Sie seinen exakten Betrag.
2. b) Stellen Sie die vektorielle Beziehung zwischen $\vec{AP}$ und $\vec{AB}$ auf und leiten Sie die beiden möglichen Verschiebungsvektoren $\vec{AP}$ her, die die Abstandsbedingung erfüllen.
3. c) Bestimmen Sie begründet die Koordinaten des Punktes $P$, indem Sie die Lösung verwerfen, die die Einschränkung für die Koordinate $z$ nicht erfüllt.

Ein Laser-Sicherheitssystem verwendet drei Sensoren in den Punkten $A(1|2|3)$, $B(3|0|1)$ und $C(k|-2|-1)$. Damit das System korrekt funktioniert, müssen die drei Sensoren genau auf einer Geraden liegen.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$ so, dass die Sensoren $A, B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.
2. b) Bestimmen Sie mit dem gefundenen Wert von $k$ die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $AC$.

Um zu entscheiden, ob drei Punkte des Raumes $A(1\,|\,2\,|\,-1)$, $B(3\,|\,-2\,|\,3)$ und $C(6\,|\,-8\,|\,9)$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen, werden zwei verschiedene Lösungsstrategien vorgeschlagen:

• Methode 1 (metrisch): Berechnen Sie die euklidischen Abstände $d(A, B)$, $d(B, C)$ und $d(A, C)$ über den Betrag der jeweiligen Vektoren und prüfen Sie, ob die Summe der beiden kleineren Abstände genau dem größten entspricht.

• Methode 2 (vektoriell): Bilden Sie die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ und untersuchen Sie, ob sie linear abhängig sind, indem Sie die Proportionalität ihrer Komponenten prüfen: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Wenden Sie Methode 2 an, um begründet zu entscheiden, ob die Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden liegen oder nicht.
2. b) Wenden Sie Methode 1 an, indem Sie die Beträge $|\vec{AB}|$ und $|\vec{AC}|$ berechnen und die erhaltenen Wurzeln vereinfachen, und überprüfen Sie, dass Sie zum selben Ergebnis gelangen.
3. c) Vergleichen Sie beide Methoden kritisch und verfassen Sie eine begründete Stellungnahme, welche zweckmäßiger ist. Berücksichtigen Sie dabei zwei Aspekte: den rechnerischen Aufwand (Quadratwurzeln im Vergleich zu direkten Verhältnissen) und die Anwendbarkeit für den Fall, dass die dritte Koordinate von $C$ einen unbekannten Parameter $k$ enthielte.