Ganzrationale Funktion
Eine Beobachtungsdrohne startet, und die Leitstelle zeichnet ihre Höhe auf: $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ (Höhe in m, Zeit in s). Wann ist die Drohne am höchsten, und wie hoch fliegt sie dann? Der Term ist ein Polynom in $t$, der Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion. In diesem Abschnitt wiederholen Sie Geraden und Parabeln und untersuchen Definitionsbereich, Wertebereich, das Verhalten für $x \to \pm\infty$, Symmetrie und Nullstellen.
Was ist eine ganzrationale Funktion?
Je nach Grad haben die Funktionen eigene Namen: Grad 1 ist eine lineare Funktion (Gerade), Grad 2 eine quadratische Funktion (Parabel). Auch Funktionen ab Grad 3 sind ganzrationale Funktionen $n$-ten Grades, zum Beispiel $x^3 - 4x$ (Grad 3) oder $x^4 - 2x^2$ (Grad 4). Der Wertebereich hängt vom Typ ab und ist nicht immer $\mathbb{R}$.
Berechnen Sie den Wert des Parameters $c$ so, dass die quadratische Funktion $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ durch den Punkt $P(-1|10)$ verläuft.
Berechnen Sie den Wert des Parameters $c$ so, dass die quadratische Funktion $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ durch den Punkt $P(-1|10)$ verläuft.
Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn bekannt ist, dass ihr Graph durch die Punkte…
Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn bekannt ist, dass ihr Graph durch die Punkte $(0|3)$, $(1|4)$ und $(-1|6)$ verläuft.
Lineare Funktion (Grad 1)
Bestimmen Sie den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte $A(2|-3)$ und $B(5|6)$ verläuft.
Bestimmen Sie den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte $A(2|-3)$ und $B(5|6)$ verläuft.
Quadratische Funktion und Scheitelpunkt
Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitelpunkt direkt: $$f(x) = a(x-d)^2 + e, \quad S(d\mid e).$$ Aus der allgemeinen Form erhältst du sie durch quadratische Ergänzung, oder du berechnest $d = -\dfrac{b}{2a}$ und dann $e = f(d)$.
Der Parameter $a$ streckt oder staucht die Parabel (für $|a|>1$ schmaler, für $|a|<1$ breiter), $d$ verschiebt sie in $x$-Richtung, $e$ in $y$-Richtung.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und die Gleichung der Symmetrieachse der quadratischen Funktion $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und die Gleichung der Symmetrieachse der quadratischen Funktion $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Geben Sie an, ob die Parabel der Funktion $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ nach unten geöffnet (konkav) oder nach oben geöffnet (konvex) ist, und berechnen Sie die exakten…
Geben Sie an, ob die Parabel der Funktion $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ nach unten geöffnet (konkav) oder nach oben geöffnet (konvex) ist, und berechnen Sie die exakten Koordinaten ihres Scheitelpunkts.
Bestimmen Sie für die quadratische Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$ begründet die Intervalle, in denen sie monoton steigt bzw. fällt.
Bestimmen Sie für die quadratische Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$ begründet die Intervalle, in denen sie monoton steigt bzw. fällt.
Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, deren Scheitelpunkt der Punkt $V(3|-2)$ ist und die durch den Punkt $P(5|6)$ verläuft. Geben Sie das Ergebnis in der Form…
Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, deren Scheitelpunkt der Punkt $V(3|-2)$ ist und die durch den Punkt $P(5|6)$ verläuft. Geben Sie das Ergebnis in der Form $y = ax^2 + bx + c$ an.
Verhalten für x → ±∞ und Symmetrie
Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmen, wohin der Graph für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ läuft.
Untersuchen Sie das Verhalten der ganzrationalen Funktion $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$ im Unendlichen und bestimmen Sie dazu den Wert ihrer Grenzwerte für…
Untersuchen Sie das Verhalten der ganzrationalen Funktion $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$ im Unendlichen und bestimmen Sie dazu den Wert ihrer Grenzwerte für $x \to +\infty$ und für $x \to -\infty$.
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie verläuft durch die Punkte $(1|-4)$ und $(2|4)$. Bestimmen…
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie verläuft durch die Punkte $(1|-4)$ und $(2|4)$. Bestimmen Sie ihren Funktionsterm und berechnen Sie alle ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Nullstellen, Faktorisierung und Vorzeichen
Ohne Hilfsmittel lösen Sie so:
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Ausklammern: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0$. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt).
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Quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$: p-q-Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$.
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Substitution bei $x^4 + px^2 + q = 0$: Setze $z = x^2$, löse $z^2 + pz + q = 0$ und löse danach $x^2 = z$ (nur für $z \ge 0$ gibt es Lösungen).
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid f(0))$.
Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der ganzrationalen Funktion $p(x) = x^3 - 4x$ mit den Koordinatenachsen.
Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der ganzrationalen Funktion $p(x) = x^3 - 4x$ mit den Koordinatenachsen.
Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ und untersuchen Sie ihr Vorzeichen auf der gesamten reellen Zahlengeraden, indem Sie…
Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ und untersuchen Sie ihr Vorzeichen auf der gesamten reellen Zahlengeraden, indem Sie die Intervalle angeben, in denen die Funktion positiv und negativ ist.
Bestimmen Sie den Funktionsterm eines Polynoms dritten Grades $P(x)$, dessen einzige Nullstellen $x = -2$, $x = 1$ und $x = 4$ sind und dessen Graph außerdem die y-Achse…
Bestimmen Sie den Funktionsterm eines Polynoms dritten Grades $P(x)$, dessen einzige Nullstellen $x = -2$, $x = 1$ und $x = 4$ sind und dessen Graph außerdem die y-Achse im Punkt $(0|16)$ schneidet.
Bestimmen Sie die Menge der Werte des Parameters $k$, für die die ganzrationale Funktion $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ genau zwei verschiedene reelle Nullstellen hat.
Bestimmen Sie die Menge der Werte des Parameters $k$, für die die ganzrationale Funktion $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ genau zwei verschiedene reelle Nullstellen hat.
Anwendungen: Extremwerte und Schnittpunkte
Zwei typische Aufgaben: den größten oder kleinsten Wert einer Größe bestimmen, die durch eine Parabel beschrieben wird, und Schnittpunkte zweier Graphen berechnen.
Die Höhe einer Beobachtungsdrohne in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden ist durch den Term $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ gegeben. Berechnen Sie die Höhe, in der…
Die Höhe einer Beobachtungsdrohne in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden ist durch den Term $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ gegeben. Berechnen Sie die Höhe, in der sich die Drohne zu den Zeitpunkten $t = 1$ und $t = 3$ befindet.
Ein Landwirt hat $100$ Meter Zaun, um einen rechteckigen Gemüsegarten einzuzäunen, wobei er das gerade Ufer eines Flusses nutzt und an dieser Seite keinen Zaun benötigt.…
Ein Landwirt hat $100$ Meter Zaun, um einen rechteckigen Gemüsegarten einzuzäunen, wobei er das gerade Ufer eines Flusses nutzt und an dieser Seite keinen Zaun benötigt. Stellen Sie den Flächeninhalt des Gartens in Abhängigkeit von der zum Fluss senkrechten Breite $x$ dar und bestimmen Sie die Abmessungen, für die dieser Flächeninhalt maximal wird.
Ein Geschoss wird so nach oben geworfen, dass seine Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden der Funktion $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$ folgt. Berechnen…
Ein Geschoss wird so nach oben geworfen, dass seine Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden der Funktion $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$ folgt. Berechnen Sie die maximale Höhe, die das Geschoss erreicht, und den Zeitpunkt, zu dem dies geschieht.
Ein Überlandbusunternehmen, das die Strecke zwischen Köln und Düsseldorf bedient, verlangt derzeit $10\text{ Euro}$ pro Fahrkarte und verzeichnet durchschnittlich $1200$…
Ein Überlandbusunternehmen, das die Strecke zwischen Köln und Düsseldorf bedient, verlangt derzeit $10\text{ Euro}$ pro Fahrkarte und verzeichnet durchschnittlich $1200$ Fahrgäste pro Tag. Laut einer Marktstudie gewinnt das Unternehmen bei jeder Preissenkung der Fahrkarte um $0,50\text{ Euro}$ täglich $100$ neue Fahrgäste hinzu.\n\na) Modellieren Sie die Funktion der Tageseinnahmen $I(x)$ in Abhängigkeit von der Anzahl $x$ der vorgenommenen Preissenkungen um $0,50\text{ Euro}$. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von $x$, die in diesem realen Zusammenhang physikalisch und wirtschaftlich sinnvoll ist.\nb) Begründen Sie analytisch mithilfe der Eigenschaften des Scheitelpunkts der erhaltenen ganzrationalen Funktion, wie hoch der endgültige Fahrkartenpreis sein muss, damit die Tageseinnahmen maximal werden, und wie hoch diese Einnahmen dann sind.\nc) Wenn das Unternehmen einen aggressiven Aktionspreis von nur $2\text{ Euro}$ pro Fahrkarte festlegen würde, welche Einnahmen sagt das Modell dann voraus? Erklären Sie, warum dieses quadratische Modell bei so extremen Preissenkungen nicht mehr realistisch ist.
Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der Parabel $y = x^2 - 4x + 3$ und der Geraden $y = 2x - 5$.
Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der Parabel $y = x^2 - 4x + 3$ und der Geraden $y = 2x - 5$.
Gegeben ist ein rechteckiges Stück Pappe von $40$ cm Länge und $30$ cm Breite. Daraus soll eine oben offene Schachtel entstehen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat der…
Gegeben ist ein rechteckiges Stück Pappe von $40$ cm Länge und $30$ cm Breite. Daraus soll eine oben offene Schachtel entstehen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausschneidet und die entstehenden Seitenflächen hochfaltet. Stellen Sie das Volumen $V(x)$ der Schachtel als ganzrationale Funktion dar, geben Sie ihre im Zusammenhang dieser geometrischen Aufgabe sinnvolle Definitionsmenge an und berechnen Sie das Volumen, wenn ein Quadrat der Seitenlänge $5$ cm ausgeschnitten wird.
Bestimmen Sie die Werte des Parameters $m$, für die die Gerade mit der Gleichung $y = mx - 4$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 3x + 5$ ist.
Bestimmen Sie die Werte des Parameters $m$, für die die Gerade mit der Gleichung $y = mx - 4$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 3x + 5$ ist.
Zurück zum Anfang: Bei der Drohne $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ liegt der Scheitelpunkt bei $t_S = -\dfrac{20}{2\cdot(-5)} = 2$ s, die maximale Höhe beträgt $h(2) = -5\cdot 4 + 40 + 2 = 22\,\mathrm{m}$.