Grafische Deutung der Ableitung

Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 5$ an der Stelle $x = 3$.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion $f(x)$ und die im Punkt mit der Stelle $x = 1$ eingezeichnete Tangente. Bestimmen Sie anhand der Koordinaten der auf der Geraden markierten Punkte $A$ und $B$ den Wert der Ableitung $f'(1)$.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ genau in dem Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet.

Bestimmen Sie, in welchem genauen Punkt des Graphen der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x+4}$ die Tangente die Steigung $m = \frac{1}{4}$ hat.

Die Zahl der Abonnenten eines Wissenschaftskanals auf einer Videoplattform wächst nach der Exponentialfunktion $S(t) = 500 e^{0,2t}$, wobei $t$ in Wochen gemessen wird. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve zum Zeitpunkt $t = 5$ und schätzen Sie damit linear die Zahl der Abonnenten bei $t = 6$ ab.

Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an die Kurve $f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x = -1$.

Ein Lichtstrahl trifft auf einen Parabolspiegel, dessen Querschnitt durch die Funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ beschrieben wird. Trifft der Strahl an der Stelle $x = 2$ auf, bestimmen Sie die Gleichung der Normalen der Oberfläche in diesem Punkt (die in der Strahlenoptik grundlegend ist, um den Reflexionswinkel zu berechnen).

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der durch $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ definierten Kurve, in denen die Tangente mit der positiven x-Achse genau den Winkel $45^\circ$ einschließt.

Betrachten Sie den Graphen der Polynomfunktion $f(x)$. Bestimmen Sie, ohne ihren Funktionsterm zu berechnen, das Vorzeichen der Ableitung $f'(x)$ an den Stellen $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$ und geben Sie an, ob die Funktion dort steigend oder fallend ist.

Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x) = -x^2 + 4x - 1$:

1. a) Bestimmen Sie ohne Ableitungen die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und ihre Öffnungsrichtung (nach oben oder nach unten). Schätzen Sie anhand der Lage der Stelle $x = 3$ relativ zum Scheitelpunkt begründet ab, ob die Steigung der Tangente an der Stelle $x = 3$ positiv, negativ oder null sein muss und welches Vorzeichen Sie für die Steigung der Normalen erwarten.
2. b) Berechnen Sie mithilfe der Ableitung die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 3$.
3. c) Prüfen Sie, ob die analytischen Ergebnisse Ihre Schätzungen aus Teilaufgabe a) bestätigen, und folgern Sie anhand des y-Achsenabschnitts der erhaltenen Tangente, ob diese die $Y$-Achse oberhalb oder unterhalb des Scheitelpunkts der Parabel schneidet.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion $f(x)$. Leiten Sie aus den sichtbaren geometrischen Merkmalen (Scheitelpunkt und Schnittpunkte) den Funktionsterm ihrer Ableitungsfunktion $f'(x)$ her.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer Polynomfunktion $f(x)$. Bestimmen Sie daraus analytisch die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ steigt bzw. fällt, und geben Sie die Stellen an, an denen $f(x)$ ihre lokalen Extrema hat.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (bestehend aus zwei Strecken) einer stetigen Funktion $f(x)$. Bestimmen Sie allein anhand dieses Graphen die Stellen der lokalen Extrema von $f(x)$ und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte. Geben Sie außerdem die Stelle des Wendepunkts der ursprünglichen Funktion an.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

An einem Hitzetag in Dortmund zeichnet der Deutsche Wetterdienst (DWD) den Verlauf der Lufttemperatur $T$ (in Grad Celsius, $^{\circ}\text{C}$) zwischen 10:00 und 18:00 Uhr Sonnenzeit ($t \in [10;18]$) auf, der durch die Funktion

modelliert wird.

1. a) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion $T'(t)$ und deuten Sie ihre physikalische Bedeutung als momentane Änderungsrate der Temperatur.
2. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $T$ an der Stelle $t = 12$ und an der Stelle $t = 16$.
3. c) Begründen Sie anhand des Vorzeichens der Steigung dieser beiden Tangenten, ob die Temperatur zu diesen Zeitpunkten stieg oder fiel, und berechnen Sie, zu welcher genauen Sonnenzeit die Tageshöchsttemperatur auftrat. Begründen Sie, warum die Tangente an dieser Stelle zwangsläufig waagerecht ist.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der Kurve $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$, in denen die Tangente waagerecht ist.

Die Flugbahn einer Inspektionsdrohne in einer senkrechten Ebene folgt der Kurve $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, wobei $x$ und $y$ in Metern gemessen werden. Bestimmen Sie, an welchen Punkten ihrer Bahn die Bewegungsrichtung parallel zur Geraden mit der Gleichung $y = -3x + 5$ ist.

Ein Architekt entwirft den Hauptbogen einer Brücke, der die Form einer Parabel mit der Gleichung $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat. Der Bogen verläuft durch den Punkt $(0|5)$, und im Punkt $(2|9)$ hat die Tangente die Gleichung $y = 4x + 1$. Berechnen Sie die exakten Werte der Parameter $a$, $b$ und $c$.

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an die Kurve $f(x) = x^2 - 2x + 3$, die durch den Koordinatenursprung $(0|0)$ verlaufen. Hinweis: Beachten Sie, dass der Ursprung nicht auf der Kurve liegt.