Ableitungsfunktion

Wende die Definition der Ableitung durch Berechnung des Grenzwerts $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ an, um die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ zu bestimmen.

Betrachte die Polynomfunktion $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Nimm vor der Berechnung einer Ableitung eine begründete qualitative Abschätzung vor: Welches Vorzeichen erwartest du für die Steigung der Tangente an die Kurve bei $x = 1$ und bei $x = -2$? In welchem der beiden Punkte erwartest du dem Betrag nach die steilere Neigung? Begründe deine Antworten mit dem Monotonieverhalten und der Symmetrie der Parabel.
2. b) Bestimme die allgemeine Ableitungsfunktion $f'(x)$ streng mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Berechne $f'(1)$ und $f'(-2)$, indem du in die gefundene Ableitungsfunktion einsetzt, und prüfe, ob die Zahlenwerte deine Abschätzungen aus Teilaufgabe a) bestätigen.

Betrachte die durch einen Betrag definierte Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$.

Schreibe $f(x)$ als abschnittsweise definierte Funktion und berechne ihre Ableitungsfunktion $f'(x)$. Zeige rechnerisch, warum die Funktion in den im Graphen markierten Knickstellen nicht differenzierbar ist.

Betrachte den Graphen der Funktion $f(x)$, der die Flugbahn eines Projektils in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Bestimme anhand der Darstellung das Vorzeichen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ an den Stellen $x = 1$, $x = 2$ und $x = 3$. Begründe deine Antwort mit der geometrischen Bedeutung der Ableitung.

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ stetigen Funktion $f(x)$.

Bestimme allein anhand des Verlaufs von $f'(x)$ die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigend bzw. monoton fallend ist. An welchen Stellen hat $f(x)$ lokale Extrema?

Lina untersucht die lokalen Extrema der Funktion $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Dazu berechnet sie die Ableitungsfunktion und erhält $f'(x) = 3(x-2)^2$. Anschließend stellt sie die Gleichung $f'(x) = 0$ auf, erhält als einzige Lösung $x = 2$ und folgert in ihrer Klassenarbeit: „Da die Ableitung an der Stelle $x = 2$ null ist, hat die Funktion $f$ im Punkt $(2, 1)$ zwingend einen Tiefpunkt."

1. a) Erkläre den begrifflichen Fehler von Lina: Garantiert die Bedingung $f'(a) = 0$ allein, dass bei $x = a$ ein lokales Extremum vorliegt?
2. b) Untersuche das Vorzeichen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ in den Intervallen $(-\infty, 2)$ und $(2, +\infty)$. Beschreibe anhand dieser Analyse, wie sich die Kurve links und rechts von $x = 2$ tatsächlich verhält, und folgere, welche Art von Punkt die Funktion bei $(2, 1)$ hat.

Die Bewegungsgleichung eines autonomen Testfahrzeugs ist durch die Funktion $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$ gegeben, wobei $s$ die Position in Metern und $t$ die Zeit in Sekunden ist ($t \ge 0$).

Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ und die Beschleunigungsfunktion $a(t)$. Bestimme, zu welchen Zeitpunkten das Fahrzeug momentan stillsteht.

Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre zweite Ableitung ist in der gesamten Definitionsmenge konstant und gleich $-4$: $f''(x) = -4$.

2. Ihre Ableitung verschwindet an der Stelle $x = 1,5$, ist für $x < 1,5$ streng positiv und für $x > 1,5$ streng negativ.

3. Der Graph von $f$ verläuft durch den Punkt $(1,5|6)$.

Nachdem du die Terme von $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ berechnet hast:

1. a) Begründe anhand des Vorzeichenwechsels von $f'(x)$, ob der Punkt $(1,5|6)$ ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
2. b) Erkläre, was der Wert und das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''(x)$ im Hinblick darauf bedeuten, wie schnell sich die Steigung der Funktion in der Umgebung dieses Extrempunkts ändert.

Wende die Definition der Ableitung durch Berechnung des Grenzwerts $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ an, um die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ zu bestimmen.