Eigenschaften der Sinusfunktion und Bogenmaß
Auf der Cranger Kirmes in Herne dreht sich ein Riesenrad. Eine Gondel steigt, erreicht den höchsten Punkt, sinkt wieder und beginnt nach einer vollen Umdrehung von vorn. Ihre Höhe über dem Boden wiederholt sich also regelmäßig. Solche Vorgänge beschreibt die Sinusfunktion. Dafür brauchen Sie ein neues Winkelmaß, das Bogenmaß. Am Ende der Seite können Sie sagen, wann sich die Höhe der Gondel wiederholt.
Das Bogenmaß
Bisher haben Sie Winkel in Grad gemessen. Für Funktionen ist ein anderes Maß günstiger, denn der Winkel soll wie $x$ eine reelle Zahl sein.
Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius $1$, den Einheitskreis. Ein Winkel $\alpha$ schneidet aus ihm einen Bogen heraus. Die Länge dieses Bogens ist das Bogenmaß $x$ des Winkels.
Der volle Kreis hat den Umfang $2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Also gehört zu $360^\circ$ das Bogenmaß $2\pi$, zu $180^\circ$ das Bogenmaß $\pi$.
Warum? Ein Winkel ist ein Bruchteil des Vollwinkels, und derselbe Bruchteil gilt für den Umfang. Der Bruchteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ von $2\pi$ ergibt $x = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi = \alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$.
| Grad | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmaß | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß um: a) $90^\circ$ b) $135^\circ$ c) $360^\circ$
Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß um:
- a) $90^\circ$
- b) $135^\circ$
- c) $360^\circ$
Sinus am Einheitskreis und exakte Werte
Der Punkt $P$ auf dem Einheitskreis gehört zum Bogenmaß $x$. Seine Koordinaten sind $P(\cos x \mid \sin x)$.
Das ist die Verallgemeinerung von Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck auf beliebige Winkel. So können Sie die Werte am Kreis ablesen:
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Diese Werte gehören zum Hilfsmittel-freien Teil: Sie sollten sie auswendig oder am Kreis herleiten können.
Zwei Symmetrien des Kreises werden gleich wichtig:
-
Eine volle Umdrehung ($2\pi$) führt zum selben Punkt. Also gilt $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.
-
Die Spiegelung an der y-Achse führt den Punkt zu $x$ in den Punkt zu $\pi - x$ über. Die Höhe bleibt gleich. Also gilt $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.
Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ jeweils den exakten Wert an: a) $f(0)$ b) $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ c) $f(\pi)$ d) $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ jeweils den exakten Wert an:
- a) $f(0)$
- b) $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$
- c) $f(\pi)$
- d) $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ im Intervall $[0; 2\pi]$. Geben Sie die Lösungen im Bogenmaß an.
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ im Intervall $[0; 2\pi]$. Geben Sie die Lösungen im Bogenmaß an.
Zeigen Sie, dass für alle $x$ gilt: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ und $\sin(\pi - x) = \sin(x)$. Erläutern Sie anhand des Graphen, welche Symmetrie bzw. Eigenschaft von…
Zeigen Sie, dass für alle $x$ gilt: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ und $\sin(\pi - x) = \sin(x)$. Erläutern Sie anhand des Graphen, welche Symmetrie bzw. Eigenschaft von $f(x) = \sin(x)$ sich jeweils dahinter verbirgt.
Graph und Eigenschaften
Trägt man $x$ waagerecht und $\sin(x)$ senkrecht auf, entsteht der Graph der Sinusfunktion, die Sinuskurve.
Aus Kreis und Graph lesen Sie ab:
Der Graph ist zwischen $0$ und $\pi$ nach unten gewölbt, also Rechtskrümmung. Zwischen $\pi$ und $2\pi$ liegt Linkskrümmung vor. An den Nullstellen wechselt die Krümmung, dort liegen die Wendepunkte.
Zurück zum Riesenrad: Die Höhe der Gondel hängt vom Drehwinkel ab, und nach jeder vollen Umdrehung ($2\pi$) ist sie wieder gleich. Das ist genau die Periode $2\pi$ der Sinusfunktion.
Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ die Periode, den Wertebereich und die Anzahl der Nullstellen im Intervall $[0; 2\pi]$ an.
Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ die Periode, den Wertebereich und die Anzahl der Nullstellen im Intervall $[0; 2\pi]$ an.
Der Graph von $f(x) = \sin(x)$ wird betrachtet. a) Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall $[0; 4\pi]$ an. b) Geben Sie alle Wendestellen im Intervall…
Der Graph von $f(x) = \sin(x)$ wird betrachtet.
- a) Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall $[0; 4\pi]$ an.
- b) Geben Sie alle Wendestellen im Intervall $[0; 2\pi]$ an.
Sinus und Ableitung
Wie steil ist die Sinuskurve? Am Graphen sehen Sie: Bei $x=0$ steigt sie am steilsten nach oben, bei $x=\frac{\pi}{2}$ ist die Tangente waagerecht, bei $x=\pi$ fällt sie am steilsten. Genau dieses Muster hat die Kosinusfunktion.
Daraus folgt:
-
Die Steigung der Tangente bei $x_0$ ist $\cos(x_0)$.
-
Waagerechte Tangenten gibt es dort, wo $\cos(x)=0$ ist, also bei $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Das sind genau die Hoch- und Tiefpunkte (notwendige Bedingung $f'(x)=0$).
-
Die mittlere Änderungsrate in $[a;b]$ ist wie immer $\dfrac{\sin(b)-\sin(a)}{b-a}$.
Die Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f'(x) = \cos(x)$ (x im Bogenmaß). a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle…
Die Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f'(x) = \cos(x)$ (x im Bogenmaß).
- a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = \frac{\pi}{3}$.
- b) Bestimmen Sie die Stellen im Intervall $[0; 2\pi]$, an denen die Tangente waagerecht verläuft.
Begründen Sie ohne Taschenrechner, dass die Gleichung $\sin(x) = x$ im Intervall $[0; \infty)$ nur die Lösung $x = 0$ besitzt. Verwenden Sie dazu, dass $\sin(x) \le 1$…
Begründen Sie ohne Taschenrechner, dass die Gleichung $\sin(x) = x$ im Intervall $[0; \infty)$ nur die Lösung $x = 0$ besitzt. Verwenden Sie dazu, dass $\sin(x) \le 1$ gilt und $\sin'(x) = \cos(x)$ ist.
Für ein Intervall $[a; b]$ wird die mittlere Änderungsrate von $f(x) = \sin(x)$ betrachtet. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall…
Für ein Intervall $[a; b]$ wird die mittlere Änderungsrate von $f(x) = \sin(x)$ betrachtet.
- a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.
- b) Bestimmen Sie eine Stelle $x_0$ in $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, an der die momentane Änderungsrate gleich der mittleren Änderungsrate aus a) ist. Geben Sie die Gleichung für $x_0$ an und begründen Sie, dass es genau eine solche Stelle gibt.