Potenzfunktionen

Gib an, welche der folgenden Terme zu einer Potenzfunktion gehören:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Gib den Flächeninhalt $A$ eines Kreises in Abhängigkeit von seinem Radius $r$ als Potenzfunktion an. Welchen Grad hat diese Potenzfunktion?

Berechne für die Potenzfunktion $f(x) = 2x^4$ die Funktionswerte für $x = -2$, $x = 0$ und $x = 3$.

Bestimme den Koeffizienten $k$ der Potenzfunktion $f(x) = k \cdot x^3$, wenn ihr Graph durch den Punkt mit den Koordinaten $(2|40)$ verläuft.

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Symmetrie (gerade, ungerade oder keine) der Potenzfunktion $f(x) = x^6$.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Graphen der Potenzfunktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = x^4$.

Betrachte den folgenden Graphen, der zwei Potenzfunktionen im ersten Quadranten zeigt.

Die Funktionsterme sind $y = x^2$ und $y = x^3$. Ordne zu, welche Funktion $f(x)$ und welche $g(x)$ ist. Bestimme anhand des Graphen und der Terme, in welchem streng positiven Intervall die kubische Funktion kleinere Werte annimmt als die quadratische.

Gib die Definitionsmenge und die Gleichungen der senkrechten und waagerechten Asymptoten der Potenzfunktion $f(x) = x^{-2}$ an.

Schreibe den Funktionsterm einer Potenzfunktion der Form $f(x) = a \cdot x^n$ auf, die gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:\na) Ihr Exponent $n$ ist eine negative ganze Zahl und ihr Graph ist symmetrisch zur $Y$-Achse (gerade Funktion, wobei $f(-x) = f(x)$).\nb) Sie hat eine senkrechte Asymptote bei $x = 0$ und eine waagerechte Asymptote bei $y = 0$.\nc) Ihr Graph verläuft durch den Punkt $P(2|0{,}75)$.\nBegründe die Wahl des einfachsten möglichen Werts von $n$, der die Bedingungen erfüllt, und berechne den Koeffizienten $a$ ausführlich; gib ihn als vollständig gekürzten Bruch oder als Dezimalzahl an.

Bestimme für die Funktion $f(x) = -3x^{-3}$ die Definitionsmenge und die Wertemenge und untersuche rechnerisch, ob sie eine Symmetrie (gerade oder ungerade) aufweist.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der kubischen Funktion $f(x) = 8x^3$ und der antiproportionalen Funktion $g(x) = x^{-1}$.

Die Lichtstärke $I$, die ein Gegenstand erhält, ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung $d$ von der Lichtquelle, was durch die Potenzfunktion $I(d) = k \cdot d^{-2}$ modelliert wird. Wenn die Lichtstärke in $2$ Metern Entfernung $100$ Lux beträgt, bestimme den vollständigen Funktionsterm und berechne die Lichtstärke, die der Gegenstand in $5$ Metern Entfernung erhält.

Die kinetische Energie eines bewegten Körpers ist durch die Formel $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$ gegeben. Die Masse eines Fahrzeugs beträgt $1200$ kg. Gib seine kinetische Energie als Potenzfunktion in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit $v$ (in m/s) an und berechne die Energie bei einer Geschwindigkeit von $20$ m/s.

In einem Windpark in Aragón wird die elektrische Leistung $P$ (in Kilowatt, kW) einer Windkraftanlage durch die Potenzfunktion $P(v) = k \cdot v^3$ modelliert, wobei $v$ die Windgeschwindigkeit (in m/s) darstellt. Die Messdaten zeigen, dass bei einer Windgeschwindigkeit von $5\text{ m/s}$ die erzeugte Leistung $50\text{ kW}$ beträgt.\na) Stelle vor jeder algebraischen Rechnung eine begründete Schätzung an: Wenn sich die Windgeschwindigkeit auf $10\text{ m/s}$ verdoppelt, verdoppelt sich die Leistung dann ($100\text{ kW}$), vervierfacht sie sich ($200\text{ kW}$) oder steigt sie noch stärker? Begründe deine Vermutung mit den Eigenschaften des kubischen Exponenten.\nb) Bestimme den exakten Wert der Konstanten $k$ aus dem gegebenen Wert.\nc) Berechne die Leistung $P(10)$ rechnerisch und prüfe, ob deine Schätzung richtig war, indem du den exakten Quotienten von $P(10)$ und $P(5)$ berechnest.

Die Luftwiderstandskraft, die ein Radfahrer erfährt, ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit, was man als $F(v) = k \cdot v^2$ schreibt. Bei einer Geschwindigkeit von $10$ m/s beträgt die gemessene Kraft $30$ N. Zeige rechnerisch, mit welchem genauen Faktor sich die Widerstandskraft multipliziert, wenn der Radfahrer seine Geschwindigkeit verdoppelt (von einer beliebigen Geschwindigkeit $v_0$ auf $2v_0$), und berechne die neue Kraft bei einer Geschwindigkeit von $20$ m/s.

Schreibe den Funktionsterm der Funktion auf, die jeder positiven reellen Zahl ihre Kubikwurzel zuordnet, und gib ihn als Potenz mit gebrochenem Exponenten an.

Lea untersucht die Eigenschaften zweier Potenzfunktionen, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ und $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, und schreibt in ihr Heft:\n1. „Da $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, schneidet der Graph von $f$ die $Y$-Achse im Ursprung $(0|0)$.“\n2. „Für die Funktion $g$ gilt: Da die vierte Wurzel von $16$ gleich $2$ ist, erhält man beim Einsetzen eines negativen Werts $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, also umfasst die Definitionsmenge alle reellen Zahlen.“\nBestimme begründet den inhaltlichen Fehler in jeder der beiden Aussagen, erkläre, warum ihre Rechnung falsch ist, und gib die jeweils richtige Definitionsmenge dieser Funktionen an.

Gegeben ist die Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten $f(x) = x^{2/3}$:

• Bestimme ihre Definitionsmenge.

• Berechne die exakten Werte von $f(8)$ und $f(-8)$.

• Begründe rechnerisch, ob die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Die folgende Abbildung zeigt drei Potenzfunktionen mit den Termen $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ und $y = x^{1/2}$.

Ordne jede Kurve (A, B und C) dem passenden Funktionsterm zu und begründe deine Antwort anhand der Definitionsmenge, der Symmetrie und des asymptotischen Verhaltens jeder Funktion.

Der Radius $r$ (in cm) eines kreisförmigen Ölflecks, der sich auf dem Wasser ausbreitet, wächst mit der Zeit $t$ (in Minuten) gemäß der Potenzfunktion $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Berechne den Radius des Flecks nach $0,25$ Minuten und bestimme, wie viel Zeit vergehen muss, bis der Radius des Flecks genau $4$ cm beträgt.

Das Volumen einer Kugel in Abhängigkeit von ihrem Radius berechnet man mit der Formel $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Löse nach dem Radius $r$ auf, um ihn als Potenzfunktion in Abhängigkeit vom Volumen $V$ darzustellen. Berechne mit dieser neuen Funktion den ungefähren Radius einer Kugel mit einem Volumen von $1000$ cm$^3$ (verwende $\pi \approx 3,14$).

Der Grundumsatz $T$ (in kcal/Tag) von Säugetieren wird in Abhängigkeit von ihrer Körpermasse $M$ (in kg) durch die Potenzfunktion von Kleiber modelliert: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Berechne den Grundumsatz eines Hundes mit $16$ kg. Bestimme anschließend die ungefähre Masse eines Tieres, dessen Grundumsatz $7000$ kcal/Tag beträgt.

Die Produktionskosten eines elektronischen Bauteils sinken mit steigender Stückzahl gemäß der Potenzfunktion $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, wobei $x$ die Anzahl der Bauteile und $C(x)$ die Stückkosten in Euro sind. Berechne die Stückkosten bei der Produktion von $100$ Bauteilen und bestimme, wie viele Bauteile insgesamt hergestellt werden müssen, damit die Stückkosten auf $25$ Euro sinken.

Der Graph einer Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ verläuft durch den Punkt $(3|81)$. Bestimme den Wert des Exponenten $n$.

Eine Potenzfunktion ist durch den Term $f(x) = a \cdot x^n$ gegeben. Bestimme die exakten Werte des Koeffizienten $a$ und des Exponenten $n$, wenn der Graph durch die Punkte $(1|5)$ und $(2|40)$ verläuft.

Bestimme den Funktionsterm der Potenzfunktion $f(x) = a \cdot x^n$, wenn ihr Graph durch die Punkte $(2|2)$ und $(8|16)$ verläuft. Gib den Exponenten $n$ als vollständig gekürzten Bruch an.

Nach technischen Untersuchungen des Kraftfahrt-Bundesamts wird der Bremsweg $d$ (in Metern) eines Pkw auf trockenem Asphalt bis zum völligen Stillstand durch eine Potenzfunktion $d(v) = a \cdot v^n$ modelliert, wobei $v$ die Fahrgeschwindigkeit (in km/h) ist. Bei den Zulassungstests beobachtet man, dass der Bremsweg bei $40\text{ km/h}$ $8\text{ Meter}$ beträgt, bei $80\text{ km/h}$ dagegen $32\text{ Meter}$.\na) Bestimme rechnerisch den Funktionsterm, indem du den ganzzahligen Exponenten $n$ und die Konstante $a$ herleitest.\nb) In Deutschland wurde die Höchstgeschwindigkeit in Ortsdurchfahrten mit einer Fahrspur je Richtung von $50\text{ km/h}$ auf $30\text{ km/h}$ gesenkt. Berechne den zu jeder Geschwindigkeit gehörenden Bremsweg und bestimme die genaue prozentuale Verringerung, die diese Maßnahme bedeutet.\nc) Ein Fahrer behauptet: „Wenn ich auf einer Autobahn mit $140\text{ km/h}$ statt mit der Richtgeschwindigkeit von $120\text{ km/h}$ fahre, bin ich nur $16,7\,\%$ schneller, also wird sich mein Bremsweg kaum um denselben Prozentsatz verlängern.“ Widerlege sein Argument mathematisch anhand des Verhaltens der Potenzfunktion und berechne die tatsächliche prozentuale Zunahme seines Bremswegs.