Lage und Schnittpunkte
Über dem Rhein bei Köln fliegen zwei Drohnen einer Vermessungsfirma geradlinig. Ihre Flugbahnen kann man jeweils durch eine Geradengleichung beschreiben. Schneiden sich die Bahnen? Und wenn ja: Stoßen die Drohnen dort auch zusammen? Im Raum ist das nicht selbstverständlich, denn zwei Geraden können auch aneinander vorbeilaufen, ohne parallel zu sein. Am Ende dieser Seite können Sie die Frage beantworten.
Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?
Eine Gerade in Parameterform hat die Gleichung $g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$. Dabei ist $\vec{p}$ der Stützvektor, $\vec{u}$ der Richtungsvektor und $r \in \mathbb{R}$ der Parameter. Jeder Wert von $r$ liefert genau einen Punkt der Geraden.
Ein Punkt $P$ liegt auf $g$, wenn es ein $r$ gibt, das alle drei Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllt. Das ist die Punktprobe.
Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|1|2)$ auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ liegt.
Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|1|2)$ auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ liegt.
Die vier Lagebeziehungen
Im Raum gibt es für zwei Geraden $g$ und $h$ vier Möglichkeiten. Drei davon (identisch, parallel, sich schneidend) kennen Sie aus der Ebene. Die vierte, windschief, gibt es nur im Raum.
Zwei Kriterien genügen, um die Lage zu bestimmen. Das erste ist die Frage nach den Richtungsvektoren, das zweite die Frage nach gemeinsamen Punkten.
| Lage | Richtungsvektoren | gemeinsame Punkte |
|---|---|---|
| identisch | kollinear (linear abhängig) | unendlich viele |
| parallel (nicht identisch) | kollinear (linear abhängig) | keine |
| sich schneidend | nicht kollinear | genau einen |
| windschief | nicht kollinear | keine |
Windschief heißt: Die Geraden sind nicht parallel und haben trotzdem keinen Punkt gemeinsam. Sie laufen im Raum aneinander vorbei, wie eine Autobahn und eine Bahnstrecke auf einer Brücke darüber.
Vorgehen in zwei Schritten
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Richtungsvektoren vergleichen. Gibt es ein $k$ mit $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$? Wenn ja, sind die Geraden identisch oder parallel. Dann machen Sie die Punktprobe mit dem Stützpunkt von $h$ auf $g$. Liegt er auf $g$, sind die Geraden identisch, sonst echt parallel.
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Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind: Stellen Sie das Gleichungssystem für den Schnittpunkt auf (nächste Sektion). Dann sind die Geraden entweder sich schneidend oder windschief.
Prüfen Sie, ob die Geraden parallel sind: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ und…
Prüfen Sie, ob die Geraden parallel sind:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$
Geben Sie die vier möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum an und nennen Sie jeweils, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind und ob die Geraden…
Geben Sie die vier möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum an und nennen Sie jeweils, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind und ob die Geraden gemeinsame Punkte haben.
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix}$.
Bestimmen Sie die Lagebeziehung und geben Sie die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems an.
Schnittpunkt berechnen: Gleichsetzen und LGS
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, setzen Sie die beiden Geradengleichungen gleich:
$$\vec{p} + r \cdot \vec{u} = \vec{q} + s \cdot \vec{v}$$Das gibt drei Gleichungen mit den zwei Unbekannten $r$ und $s$. Ein Schnittpunkt existiert nur, wenn alle drei Gleichungen mit demselben Paar $(r|s)$ erfüllt sind. Die Verwendung zweier verschiedener Buchstaben ist wichtig, weil die beiden Geraden verschiedene Parameter haben.
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems zeigt die Lage:
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genau eine Lösung $(r|s)$: Die Geraden schneiden sich. Setzen Sie $r$ in $g$ ein und erhalten den Schnittpunkt.
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keine Lösung (Widerspruch): Die Geraden sind windschief.
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unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch (das kommt nur bei kollinearen Richtungsvektoren vor).
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von $g$ und $h$ und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ windschief sind.
Parameter und Sachkontext
In Aufgaben taucht oft ein Parameter in der Geradengleichung auf, oder die Geraden beschreiben Bewegungen. Das Verfahren bleibt gleich, man rechnet nur mit einer weiteren Unbekannten oder mit der Zeit.
Geradenschar: für welches $a$ schneiden sich die Geraden?
Lösen Sie dazu zwei Gleichungen, die $a$ nicht enthalten, nach $r$ und $s$. Setzen Sie diese Werte dann in die dritte Gleichung ein und lösen Sie nach $a$ auf. Für genau diesen Wert von $a$ gibt es einen Schnittpunkt, für alle anderen Werte einen Widerspruch.
Bewegungen: Flugbahn schneiden heißt noch nicht kollidieren
Beschreiben die Geraden Bewegungen, ist der Parameter die Zeit $t$. Zwei Bahnen schneiden sich, wenn es Parameterwerte $r$ und $s$ gibt, die einen gemeinsamen Punkt liefern. Zwei Objekte stoßen nur zusammen, wenn sie diesen Punkt zur selben Zeit erreichen, also $r = s$.
Gegeben sind $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\a\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}$.
Bestimmen Sie, für welche Werte von $a$ sich $g_a$ und $h$ schneiden, und begründen Sie, dass sie für alle anderen $a$ windschief sind.
Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. a) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden $h$, die…
Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$.
- a) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden $h$, die zu $g$ windschief ist, und weisen Sie dies nach.
- b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden $k$, die $g$ im Punkt $S(3|2|1)$ schneidet und zu $g$ senkrecht ist.
- c) Begründen Sie, dass es zu $g$ und $S$ unendlich viele Geraden $k$ aus b) gibt.
Kehren Sie zum Anfang zurück: Die Flugbahnen zweier Drohnen schneiden sich, wenn das Gleichungssystem genau eine Lösung $(r|s)$ hat. Sie kollidieren aber nur, wenn $r = s$ gilt, also beide denselben Punkt zur selben Zeit erreichen.
Auf einen Blick
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Punktprobe: $P$ liegt auf $g$, wenn ein einziges $r$ alle drei Koordinatengleichungen erfüllt.
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Richtungsvektoren kollinear: Die Geraden sind parallel oder identisch. Die Punktprobe mit dem Stützpunkt entscheidet.
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Richtungsvektoren nicht kollinear: Gleichsetzen mit verschiedenen Parametern $r$ und $s$ ergibt ein LGS aus drei Gleichungen. Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, ein Widerspruch bedeutet windschief.
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Schnittpunkt: $r$ (oder $s$) in die Geradengleichung einsetzen.
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Bewegungen: Bahnen schneiden sich bei $r$ und $s$. Zusammenstoß gibt es nur bei $r = s$.