Ableitung ganzrationaler Funktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Polynomfunktion: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

In einer Klassenarbeit sollte Karl die Polynomfunktion $f(x) = 4x^3 - 7x + 5^2$ ableiten. In sein Heft schrieb er folgenden Rechenweg:

1. a) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Karl beim Ableiten des Terms $5^2$ gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich. Warum ist es nicht richtig, die Potenzregel $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ auf eine konstante Basis anzuwenden?
2. b) Geben Sie den richtigen Term der Ableitungsfunktion $f'(x)$ an.
3. c) Berechnen Sie den Wert von $f'(2)$ und deuten Sie seine geometrische Bedeutung in Bezug auf die Tangente an die Kurve in $x = 2$.

Zeigen Sie mathematisch, dass die Polynomfunktion $f(x) = x^3 + 2x + 5$ auf ihrer gesamten Definitionsmenge $\mathbb{R}$ streng monoton steigend ist und daher keine Tangente besitzt, die parallel zur x-Achse verläuft.

Bestimmen Sie den Wert der Ableitung der Funktion $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ an der Stelle $x = -1$.

Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an die Kurve $y = x^3 - 5x + 2$ in dem Punkt, in dem die Kurve die y-Achse schneidet.

Das Profil eines Tragseils einer Hängebrücke wird durch die Parabel $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$ angenähert, wobei $x$ und $y$ in Metern gemessen werden. Berechnen Sie die Steigung des Seils an dem Punkt, der $40$ Meter vom Ursprung entfernt liegt.

Bestimmen Sie die stationären Stellen (die Stellen, an denen die Ableitung null wird) der quadratischen Funktion $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Ein Geschoss wird senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe in Metern nach $t$ Sekunden ist durch $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$ gegeben. Berechnen Sie die Zeit, die es bis zum Erreichen seiner maximalen Höhe braucht, wobei Sie wissen, dass seine Momentangeschwindigkeit in diesem Punkt null ist.

Um die Punkte mit waagerechter Tangente der Polynomkurve $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$ zu finden, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Jan schlägt vor, die Gleichung $f(x) = 0$ zu lösen, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden, und anzunehmen, dass die stationären Stellen genau in der Mitte jeweils zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte liegen, gestützt auf die Symmetrie, die er von Parabeln kannte.

• Irene schlägt vor, die Ableitungsfunktion $f'(x)$ zu berechnen und direkt die Gleichung $f'(x) = 0$ zu lösen.

1. a) Vergleichen Sie beide Ansätze kritisch: Begründen Sie, warum Jans Strategie für dieses kubische Polynom nicht gültig ist, und erläutern Sie, für welche Art von Polynomen seine geometrische Intuition tatsächlich funktionieren würde.
2. b) Wenden Sie die richtige Methode an, um die x-Koordinaten aller stationären Stellen von $f(x)$ zu bestimmen.
3. c) Berechnen Sie die vollständigen Koordinaten $(x|y)$ dieser stationären Punkte und klassifizieren Sie sie begründet (relativer Hochpunkt oder Tiefpunkt), indem Sie das Vorzeichen von $f'(x)$ links und rechts von jedem Punkt untersuchen.

Berechnen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$ der Polynomfunktion $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$, indem Sie zunächst das Produkt der Polynome ausmultiplizieren.

Es soll der Funktionsterm eines Polynoms $P(x)$ dritten Grades rekonstruiert werden, dessen Koeffizienten nicht bekannt sind, zu dem aber folgende Informationen über sein Verhalten und seine Ableitungen vorliegen:

1. Seine zweite Ableitung ist $P''(x) = 6x - 12$.

2. Es hat eine stationäre Stelle bei $x = 1$.

3. An dieser stationären Stelle nimmt die Funktion den Wert $P(1) = 8$ an.

1. a) Da beim schrittweisen Ableiten eines Polynoms sein Grad in jedem Schritt um eins sinkt, leiten Sie auf umgekehrtem Weg den allgemeinen Term von $P'(x)$ aus $P''(x)$ her und bestimmen Sie die unbekannte Konstante mithilfe der Bedingung der stationären Stelle.
2. b) Gewinnen Sie mit derselben umgekehrten Überlegung die vollständige Formel von $P(x)$ zurück, indem Sie ihr Absolutglied mit der Angabe $P(1) = 8$ bestimmen.
3. c) Zeigen Sie, dass dieses Polynom eine zweite stationäre Stelle besitzt, bestimmen Sie ihre Koordinaten $(x|y)$ und klassifizieren Sie beide stationären Punkte (als lokalen Hoch- oder Tiefpunkt), indem Sie dies mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung $P''(x)$ an der jeweiligen Stelle begründen.

Die Produktionskosten in Euro für die Herstellung von $x$ Einheiten eines handwerklichen Produkts sind durch $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$ gegeben. Bestimmen Sie die Grenzkostenfunktion $C'(x)$.

Ein Wetterbericht des Deutschen Wetterdienstes modelliert die Temperatur $T$ (in Grad Celsius), die an einem Ort an einem klaren Vormittag gemessen wird, durch das Polynom $T(t) = -0,5t^2 + 5t + 10$, wobei $t$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden ist ($0 \le t \le 8$).

1. a) Schätzen Sie, ohne bereits abzuleiten, begründet ab, ob die Temperatur um 9:00 Uhr ($t = 2$) deutlich steigt oder fällt, und stützen Sie sich dabei auf den natürlichen Tagesverlauf und die Vorzeichen der Koeffizienten des Polynoms.
2. b) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $T'(t)$ und berechnen Sie die exakte momentane Änderungsrate um 9:00 Uhr ($t = 2$). Geben Sie dabei deutlich ihre Einheit an ($^{\circ}\text{C}/\text{h}$).
3. c) Überprüfen Sie, ob der erhaltene Zahlenwert und sein Vorzeichen Ihre vorherige Schätzung bestätigen, und erklären Sie, was es physikalisch bedeuten würde, wenn die Ableitung genau $0$ wäre.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte des Graphen der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$, in denen die Tangente parallel zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten verläuft.

Die Anzahl der registrierten Nutzer einer Produktivitäts-App, in Tausend, entwickelt sich gemäß der Funktion $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, wobei $t$ die Zeit in Monaten seit der Markteinführung ist. Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Nutzerzahl zum Zeitpunkt $t = 5$ Monate und geben Sie an, ob die Wachstumsgeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt zunimmt oder abnimmt.

Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $b$ so, dass die Parabel $y = ax^2 + bx + 5$ durch den Punkt $P(1|2)$ verläuft und in diesem Punkt eine Tangente mit der Steigung $-1$ besitzt.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ in ihrem Scheitelpunkt.

Der Lärmpegel an einer städtischen Kreuzung von 8:00 bis 18:00 Uhr wird durch die Funktion $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$ modelliert, wobei $t$ die seit 8:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden ist. Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t$, zu dem der Lärmpegel am schnellsten abnimmt.

Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte der Kurve $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$, in denen die Tangente mit der positiven x-Achse einen Winkel von $45^\circ$ bildet.

Ausgehend von den Daten der Übertragungsnetzbetreiber kann die in das deutsche Netz eingespeiste Photovoltaikleistung während der Mittagsstunden eines Frühlingstages durch die kubische Funktion

angenähert werden, wobei $P(t)$ die erzeugte Leistung in Gigawatt ($\text{GW}$) und $t$ die Sonnenzeit des Tages ist, gültig im Intervall $10 \le t \le 16$.

1. a) Modellieren Sie die momentane Änderungsrate der Solarstromerzeugung, indem Sie die Ableitungsfunktion $P'(t)$ bestimmen. Geben Sie an, in welcher physikalischen Einheit $P'(t)$ gemessen wird.
2. b) Werten Sie $P'(12)$ und $P'(15)$ aus. Deuten Sie anhand des Vorzeichens und des jeweils erhaltenen Wertes, was um 12:00 Uhr und um 15:00 Uhr mit der Solarstromerzeugung geschieht.
3. c) Bestimmen Sie, zu welcher genauen Uhrzeit die Änderungsrate der Erzeugung null wird ($P'(t) = 0$) und damit das Tagesmaximum der Solarleistung erreicht ist, und berechnen Sie die zu diesem Zeitpunkt erzeugte maximale Leistung.

Bestimmen Sie die Koeffizienten $a, b, c, d$ der Polynomfunktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, wenn Sie wissen, dass sie durch den Koordinatenursprung verläuft, bei $x = 2$ eine stationäre Stelle hat und bei $(1|-2)$ einen Wendepunkt besitzt.

Ein Unternehmen stellt $x$ Einheiten eines Technikartikels her und verkauft sie. Die Erlösfunktion ist durch $I(x) = 1200x - 2x^2$ gegeben und die Gesamtkostenfunktion ist $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Bestimmen Sie die Stückzahl, die produziert werden muss, um den Gewinn zu maximieren, und berechnen Sie diesen maximalen Gewinn.

Zwei Testfahrzeuge bewegen sich geradlinig. Ihre Positionen bezüglich eines Bezugspunkts sind durch $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ und $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$ gegeben, mit $t \ge 0$ in Sekunden und $s$ in Metern. Bestimmen Sie, zu welchen Zeitpunkten beide Fahrzeuge mit der gleichen Beschleunigung fahren, und berechnen Sie den Abstand zwischen ihnen in diesem Moment.

Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel der Form $y = ax^2 + bx + c$, wenn Sie wissen, dass sie die Gerade $y = -2x + 5$ an der Stelle $x = 1$ berührt und durch den Punkt $(-1|15)$ verläuft.

Eine Umweltstudie modelliert die Konzentration eines Schadstoffs in einem See durch die Funktion $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, wobei $t$ die seit Jahresbeginn vergangenen Monate darstellt. Ermitteln Sie, in welchen Monaten die Schadstoffkonzentration zunimmt und in welchen sie abnimmt.

In einer Diskussion über die Eigenschaften kubischer Funktionen stellt Sergej folgende Behauptung auf: „Da die Ableitungsfunktion jedes Polynoms dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (mit $a \neq 0$) ein Polynom zweiten Grades ist und quadratische Gleichungen laut Lösungsformel zwei Lösungen haben, hat jedes Polynom dritten Grades zwingend zwei stationäre Stellen.“

1. a) Widerlegen Sie Sergejs Argument sorgfältig, indem Sie erklären, welchen Fehler er bezüglich der Lösungen einer quadratischen Gleichung in der Menge der reellen Zahlen macht. Konstruieren Sie ein explizites Gegenbeispiel eines Polynoms dritten Grades (mit einfachen Zahlenkoeffizienten), das keine stationäre Stelle hat, und weisen Sie dies mithilfe seiner Ableitung nach.
2. b) Betrachten Sie die Schar von Polynomen in Abhängigkeit vom reellen Parameter $k$:

Berechnen Sie die Ableitung $g'(x)$ und bestimmen Sie begründet, für welche Werte des Parameters $k$ die Funktion $g(x)$

• genau zwei verschiedene stationäre Stellen besitzt,

• genau eine stationäre Stelle mit waagerechter Tangente besitzt,

• auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend ist, weil sie keine stationäre Stelle hat.

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an die Parabel $y = x^2 - 2x + 3$, die durch den außerhalb liegenden Punkt $P(1|-2)$ verlaufen.

Gegeben sind die Parabeln $f(x) = x^2$ und $g(x) = -x^2 + 8x - 16$. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Geraden, die beide Kurven gleichzeitig berühren.