Aufgaben: Vektoren und Geraden im Raum

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 2\mid 3)$, $B(5\mid 5\mid 3)$ und $C(5\mid 5\mid 9)$.

1. a) Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AB}$ an und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

1. b) Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AC}$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$.

1. d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes von $g$ für $r=-2$.

1. b) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(5\mid 5\mid -3)$ auf $g$ liegt.

1. c) Untersuchen Sie, ob der Punkt $Q(4\mid 3\mid 0)$ auf $g$ liegt.

1. d) Die Punkte $A$ und $B$ von $g$ gehören zu den Parameterwerten $r=0$ und $r=4$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Gegeben sind die Geraden

$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\quad h:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\quad k:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.

1. b) Zeigen Sie, dass sich $g$ und $k$ im Punkt $S(1\mid 1\mid 1)$ schneiden.

1. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $h$ und $k$.

1. d) Geben Sie eine Parameterform einer Geraden an, die zu $g$ windschief ist, und begründen Sie Ihre Wahl.

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld bei Paderborn. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch $\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}$, der Ort der zweiten Drohne durch $\vec x=\begin{pmatrix}60\\0\\50\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-3\end{pmatrix}$ beschrieben ($t$ in Sekunden, Koordinaten in Metern, $z$ ist die Flughöhe).

1. a) Berechnen Sie die Koordinaten der ersten Drohne 10 Sekunden nach dem Start.

1. b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der ersten Drohne.

1. c) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Drohnen im Punkt $S(40\mid 30\mid 20)$ schneiden.

1. d) Beurteilen Sie, ob es zu einem Zusammenstoß der beiden Drohnen kommt.

Das Gebäude einer Schule hat die Form eines Hauses mit Satteldach. Im Koordinatensystem (Einheit: Meter) gilt für die Grundfläche $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(12\mid 0\mid 0)$, $C(12\mid 8\mid 0)$, $D(0\mid 8\mid 0)$ und für die Traufen $E(0\mid 0\mid 6)$, $F(12\mid 0\mid 6)$. Die Firstpunkte sind $P(0\mid 4\mid 9)$ und $Q(12\mid 4\mid 9)$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Vektoren $\overrightarrow{PQ}$ und $\overrightarrow{EF}$ kollinear sind.

1. b) Berechnen Sie die Länge des Dachsparrens $\overline{EP}$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Firststrecke $\overline{PQ}$.

1. d) Ein Kabel verläuft geradlinig vom Firstpunkt $P$ zur Gebäudeecke $B$. Berechnen Sie die Länge des Kabels.

Eine Seilbahn in Winterberg verläuft geradlinig von der Talstation $T(0\mid 0\mid 0)$ zur Bergstation $B(600\mid 800\mid 200)$ (Koordinaten in Metern, $z$ ist die Höhe über der Talstation).

1. a) Berechnen Sie die Länge der Seilbahnstrecke.

1. b) Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden durch $T$ und $B$ und geben Sie an, für welche Parameterwerte die Punkte der Geraden auf der Strecke $\overline{TB}$ liegen.

1. c) Die Gondel fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $5\,\mathrm{m/s}$. Berechnen Sie die Fahrzeit von der Talstation zur Bergstation.

1. d) Berechnen Sie die Koordinaten der Gondel 60 Sekunden nach der Abfahrt an der Talstation.

1. e) Eine Stütze steht im Punkt $S(450\mid 600\mid 150)$. Zeigen Sie, dass $S$ auf der Strecke $\overline{TB}$ liegt.

Gegeben ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(6\mid 0\mid 2)$, $C(8\mid 6\mid 4)$ und $D(2\mid 8\mid 0)$. Die Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ sind die Mittelpunkte der Seiten $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ bzw. $\overline{DA}$.

1. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$ und $M_4$.

1. b) Zeigen Sie, dass das Viereck $M_1M_2M_3M_4$ ein Parallelogramm ist.

1. c) Zeigen Sie für beliebige Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ mit den Ortsvektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, $\vec d$ allgemein, dass $\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_4M_3}$ gilt.

1. d) Untersuchen Sie, ob das Parallelogramm $M_1M_2M_3M_4$ eine Raute ist. Nutzen Sie dazu die Längen der Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$.

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$. Für jede reelle Zahl $a$ ist außerdem die Gerade $h_a:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\a\end{pmatrix}$, $s\in\mathbb{R}$, gegeben.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für $a=4$ parallel, aber nicht identisch sind.

1. b) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für alle $a\ne 4$ windschief sind.

1. c) Der Punkt $P(0\mid 3\mid 1)$ liegt auf $h_a$, der Punkt $Q(3\mid 3\mid 2)$ liegt auf $g$. Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden $k$ durch $P$ und $Q$ und zeigen Sie, dass sich $k$ und $g$ in $Q$ schneiden.

1. d) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $P$ und $Q$.

Zwei Drohnen fliegen über einem Feld. Der Ort der ersten Drohne wird für $t\ge 0$ durch $P(t)=\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$, der Ort der zweiten Drohne durch $Q(t)=\begin{pmatrix}40\\-10\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$ beschrieben ($t$ in Sekunden, Koordinaten in Metern).

1. a) Berechnen Sie die Orte beider Drohnen zur Zeit $t=10$ und deren Abstand zu diesem Zeitpunkt.

1. b) Berechnen Sie die Beträge der Geschwindigkeiten beider Drohnen.

1. c) Zeigen Sie, dass für das Quadrat des Abstands der beiden Drohnen zur Zeit $t$ gilt: $d(t)^2=14t^2-380t+2600$.

1. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Drohnen am nächsten kommen, und berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

1. e) Untersuchen Sie, ob sich die Flugbahnen der beiden Drohnen schneiden, und begründen Sie, dass es daher in keinem Fall zu einem Zusammenstoß kommt.