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EF · Mathematik
Vorbereitung auf die Zentrale Klausur am Ende der EF (Mathematik) · Prüfungsteil B: Aufgaben mit WTR

Funktionen und Ableitungen (Prüfungsteil B)

Am Ende der Einführungsphase schreiben Sie die Zentrale Klausur (ZKE): 100 Minuten, davon Teil A ohne Hilfsmittel und Teil B mit WTR (oder CAS/MMS) und Formelsammlung. In Teil B steht meist eine Aufgabe zu einer ganzrationalen Funktion, die mehrere Teilaufgaben miteinander verbindet: Nullstellen, Symmetrie, Änderungsrate, Tangente, Extrempunkte, Wendepunkt und eine Begründung. Ein Beispiel: Ein Graph ist gegeben, und Sie sollen „zeigen“, „berechnen“ und „begründen“. Wie gehen Sie dabei systematisch vor und wann hilft der WTR wirklich? Genau darum geht es auf dieser Seite.

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Fast jede Aufgabe beginnt mit den „Basics“: Nullstellen, Symmetrie und Verhalten für $x\to\pm\infty$. Die Leitfrage lautet: Welche Darstellung des Funktionsterms hilft mir?

  • Faktorisierte Form (z. B. $f(x)=x\cdot(x-3)\cdot(x+3)$): Die Nullstellen kann man direkt ablesen, denn ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.

  • Summenform (z. B. $f(x)=x^3-9x$): Man erkennt sofort den Grad, den Leitkoeffizienten, die Symmetrie und kann leicht ableiten.

Um zu zeigen, dass beide Darstellungen gleich sind, multipliziert man die faktorisierte Form aus oder klammert in der Summenform aus.

Graph von f(x) = x³ − 9x mit den Nullstellen −3, 0 und 3; der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung −3 0 3 f

Die Skizze zeigt nur den ungefähren Verlauf. Im Test berechnen Sie die Punkte immer.

Üben★☆☆
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, $x\in\mathbb{R}$. a) Zeigen Sie, dass $f(x)=x\cdot(x-2)\cdot(x+2)$ gilt. b) Geben Sie die Nullstellen von $f$ an. c)…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, $x\in\mathbb{R}$.

  1. a) Zeigen Sie, dass $f(x)=x\cdot(x-2)\cdot(x+2)$ gilt.
  1. b) Geben Sie die Nullstellen von $f$ an.
  1. c) Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[0;3]$.
  1. e) Geben Sie $\lim_{x\to\infty}f(x)$ und $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ an.
Lösen

Änderungsrate, Tangente und Normale

Die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[a;b]$ ist die Steigung der Sekante durch $(a\mid f(a))$ und $(b\mid f(b))$:

$$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Lässt man das Intervall auf eine Stelle $x_0$ zusammenschrumpfen, erhält man die lokale Änderungsrate, also die Ableitung (Differentialquotient):

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Die Sekanten nähern sich dabei der Tangente an. Die Zahl $f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente im Punkt $(x_0\mid f(x_0))$.

Oft fragt eine Aufgabe auch, wo die Tangente den Graphen noch einmal schneidet. Dann setzt man $f(x)=t(x)$ gleich. Die Berührstelle $x_0$ ist immer eine Lösung (sogar eine doppelte). Die übrigen Lösungen findet man mit dem WTR (Gleichungslöser) oder durch Faktorisieren.

Scheitelpunktform

Bei einer quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ erhält man die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ durch quadratische Ergänzung. Der Scheitelpunkt ist $S(d\mid e)$.

Üben★☆☆
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+6x-5$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+6x-5$, $x\in\mathbb{R}$.

  1. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.
  1. b) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
  1. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$.
  1. d) Berechnen Sie den Steigungswinkel dieser Tangente.
  1. e) Geben Sie die Steigung der Normalen an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$ an.
Lösen
Üben★★★
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+4$, $x\in\mathbb{R}$. Der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ und hat die x-Koordinate $-1$. a) Berechnen Sie die…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+4$, $x\in\mathbb{R}$. Der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ und hat die x-Koordinate $-1$.

  1. a) Berechnen Sie die Koordinaten von $P$ und bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ in $P$.
  1. b) Zeigen Sie, dass $x=-1$ und $x=5$ Lösungen der Gleichung $f(x)=t(x)$ sind, und bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $Q$ von $t$ und dem Graphen von $f$.
  1. c) Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f$ die gleiche Steigung wie in $P$ besitzt, und geben Sie die Koordinaten des zweiten Punktes mit dieser Steigung an.
  1. d) Bestimmen Sie die Steigung der Normalen in $P$ und berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente $t$.
Lösen

Ableitung, Monotonie und Extrempunkte

Die Ableitungsfunktion $f'$ sagt, wie steil der Graph von $f$ an jeder Stelle ist. Daraus liest man das Verhalten von $f$ ab. Ganzrationale Funktionen leitet man mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel ab:

$$f(x)=a\cdot x^n\ \Rightarrow\ f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$$

Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Konstante Summanden fallen weg.

Der Grund: Wechselt die Steigung von positiv auf negativ, geht der Graph erst hinauf und dann hinunter, das ist ein Hochpunkt.

Auch hier lohnt sich die Wahl der Darstellung. Aus $f(x)=x\cdot(x-2)^2$ liest man sofort ab: $f(x)\ge0$ für $x\ge0$ und $f(2)=0$. Der Faktor $(x-2)^2$ ist nie negativ, also berührt der Graph die x-Achse bei $x=2$ und wechselt dort nicht das Vorzeichen. Das lässt sich ohne Ableitung begründen. Zum Ableiten braucht man dagegen die ausmultiplizierte Summenform.

Üben★☆☆
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$. b) Berechnen Sie die stationären Stellen von $f$. c)…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2$, $x\in\mathbb{R}$.

  1. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$.
  1. b) Berechnen Sie die stationären Stellen von $f$.
  1. c) Bestimmen Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.
  1. d) Geben Sie die Intervalle an, in denen $f$ streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist.
Lösen
Üben★★★
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$. a) Weisen Sie nach, dass $x\cdot(x-2)^2=x^3-4x^2+4x$ gilt. b) Die Funktion $f$ lässt sich in den…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$.

  1. a) Weisen Sie nach, dass $x\cdot(x-2)^2=x^3-4x^2+4x$ gilt.
  1. b) Die Funktion $f$ lässt sich in den Darstellungen $f(x)=x^3-4x^2+4x$ und $f(x)=x\cdot(x-2)^2$ angeben. Nennen Sie zu jeder der beiden Darstellungen einen Vorteil bei der Untersuchung von Eigenschaften der Funktion $f$.
  1. c) Bestimmen Sie rechnerisch Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.
  1. d) Begründen Sie ohne Verwendung der Ableitung, dass der Graph von $f$ die x-Achse im Punkt $(2\mid 0)$ berührt.
  1. e) Für jede reelle Zahl $k$ ist die Funktion $g$ mit $g(x)=f(x)+k$ gegeben. Bestimmen Sie alle Werte von $k$, für die der Graph von $g$ genau zwei Punkte mit der x-Achse gemeinsam hat.
Lösen

Krümmung, Wendepunkte und globale Extrema

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung ändert:

  • $f''(x)>0$: Die Steigung nimmt zu, der Graph ist linksgekrümmt (Linkskurve).

  • $f''(x)<0$: Die Steigung nimmt ab, der Graph ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).

Globale Extrema im Intervall. Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a;b]$ vergleicht man die Funktionswerte an den lokalen Extremstellen und an den Rändern. Der größte Wert ist das globale Maximum, der kleinste das globale Minimum.

Üben★★☆
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac13x^3-x^2-3x$, $x\in\mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. b) Untersuchen Sie rechnerisch die Funktion $f$…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac13x^3-x^2-3x$, $x\in\mathbb{R}$.

  1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
  1. b) Untersuchen Sie rechnerisch die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen und geben Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte an.
  1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.
  1. d) Bestimmen Sie die globalen Extrema von $f$ im Intervall $[-2;5]$.
Lösen
Üben★★☆
Von einer Funktion $f$ ist die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x)=-x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$, bekannt. Außerdem gilt $f(0)=1$. a) Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf…

Von einer Funktion $f$ ist die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x)=-x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$, bekannt. Außerdem gilt $f(0)=1$.

  1. a) Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Monotonie und bestimmen Sie die Art ihrer lokalen Extremstellen.
  1. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
  1. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.
  1. d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente.
  1. e) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Wendetangente.
Lösen

Transformationen und Begründungsaufgaben

Transformationen. Der Graph von $g(x)=a\cdot f\big(b\cdot(x-c)\big)+d$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch:

  • $c$: Verschiebung um $c$ in $x$-Richtung (nach rechts für $c>0$),

  • $b$: Streckung in $x$-Richtung mit Faktor $\tfrac1{|b|}$ (bei $b<0$ zusätzlich Spiegelung an der y-Achse),

  • $a$: Streckung in $y$-Richtung mit Faktor $|a|$ (bei $a<0$ zusätzlich Spiegelung an der x-Achse),

  • $d$: Verschiebung um $d$ in $y$-Richtung.

Die Reihenfolge ist wichtig: erst die „inneren“ Schritte ($x$-Richtung), dann die „äußeren“.

Wird $a<0$ gewählt, vertauschen sich Hoch- und Tiefpunkte (Spiegelung an der x-Achse). Das gehört in die Begründung der „Art“ der Extrempunkte.

Von $f'$ auf $f$ schließen. Ist nur $f'$ gegeben, geht man die Potenzregel rückwärts: $x^n$ entsteht aus $\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}$. Die Konstante bestimmt man mit einem gegebenen Funktionswert.

Wahr oder falsch? Bei solchen Aufgaben genügt „Ja“ oder „Nein“ nicht. Sie brauchen eine Begründung oder ein Gegenbeispiel.

  • Falsche Aussagen widerlegt man mit einem einzigen Gegenbeispiel (z. B. $f(x)=x^3$ für „aus $f'(x_0)=0$ folgt ein Extremum“).

  • Wahre Aussagen begründet man allgemein, etwa über Grad, Leitkoeffizient und Grenzwerte. Beispiel: Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat genau eine Extremstelle, nämlich den Scheitelpunkt, denn $f'$ ist linear und hat genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Zurück zum Anfang: Die Teilaufgaben einer Prüfungsaufgabe in Teil B bauen aufeinander auf. Erst Eigenschaften, dann Ableitung, dann Tangente oder Extrempunkte, zum Schluss eine Begründung. Mit der passenden Darstellung und einem sauberen Rechenweg lassen sie sich Schritt für Schritt lösen.

Üben★★☆
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-2)+1$ gegeben. a) Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-2)+1$ gegeben.

  1. a) Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht, und geben Sie die Reihenfolge der Transformationen an.
  1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.
  1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $g$ und geben Sie jeweils deren Art an.
  1. d) Begründen Sie, dass der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Punkt $(2\mid 1)$ ist.
Lösen
Üben★★★
Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. a) Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten…

Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

  1. a) Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
  1. b) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit negativem Leitkoeffizienten besitzt ein globales Maximum.
  1. c) Gilt $f'(x_0)=0$, so besitzt $f$ an der Stelle $x_0$ eine lokale Extremstelle.
  1. d) Gilt $f'(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$, so besitzt der Graph von $f$ keinen Extrempunkt.
  1. e) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt genau einen Wendepunkt.
Lösen

Auf einen Blick

  • Eigenschaften: Nullstellen durch Faktorisieren; Symmetrie über $f(-x)=\pm f(x)$; Grenzwerte über Grad und Leitkoeffizient.

  • Änderungsraten: mittlere Änderungsrate $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$; Tangente $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$; Normale $m_n=-\dfrac1{m_t}$; Steigungswinkel $\alpha=\tan^{-1}(m)$.

  • Extrempunkte: $f'(x)=0$ und VZW von $f'$ oder $f''(x)\neq0$; $f''<0$ Hochpunkt, $f''>0$ Tiefpunkt. Globale Extrema im Intervall: Randwerte mitvergleichen.

  • Wendepunkte: $f''(x)=0$ und $f'''(x)\neq0$ (oder VZW von $f''$); Links- und Rechtskrümmung über das Vorzeichen von $f''$.

  • Transformationen und Begründungen: $g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$ mit Reihenfolge; falsche Aussagen mit Gegenbeispiel widerlegen, wahre allgemein begründen.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt
★☆☆ Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, $x\in\mathbb{R}$. a) Zeigen Sie, dass…★☆☆ Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+6x-5$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die…★☆☆ Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie…
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