Funktionen und Analysis ohne Hilfsmittel
Die Zentrale Klausur am Ende der EF beginnt mit Teil A: zwei Aufgaben, höchstens 25 Minuten, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung. Das sind rund zwölf Minuten pro Aufgabe. Wer jeden Schritt von Hand sicher beherrscht, spart hier Zeit für Teil B. In diesem Apartado trainieren Sie genau diese Schritte für Funktionen und Analysis.
Was Teil A verlangt
Die Aufgaben in Teil A bestehen aus mehreren kurzen Teilaufgaben (a) bis e). Sie decken viele Themen ab: Bruch- und Prozentrechnung, Gleichungen, Funktionen, Ableitungen. Die Zahlen sind so gewählt, dass sie ohne Hilfsmittel aufgehen. Kommt eine „krumme“ Zahl heraus, haben Sie meistens einen Fehler gemacht.
Achten Sie auf den Operator am Anfang jeder Teilaufgabe. Er sagt, wie ausführlich Ihre Antwort sein muss.
| Operator | Was Sie tun müssen |
|---|---|
| nennen, angeben | Ergebnis hinschreiben, keine Begründung nötig |
| berechnen, bestimmen | Rechenweg mit Zwischenschritten, dann Ergebnis |
| beschreiben | Verlauf oder Zusammenhang in Worten darstellen |
| deuten, interpretieren | Ergebnis im Sachzusammenhang mit Einheit erklären |
| begründen, zeigen, nachweisen | logische Argumentation oder Rechnung, die den Sachverhalt zwingend belegt |
Drei Werkzeuge brauchen Sie immer wieder. Sie stammen aus der Sekundarstufe I.
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Ausklammern und Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. Aus $x^2-5x=0$ wird $x(x-5)=0$, also $x=0$ oder $x=5$.
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Potenzregel: $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}$. Summanden werden einzeln abgeleitet, Faktoren bleiben stehen: $f(x)=3x^4-2x^2+5x \Rightarrow f'(x)=12x^3-4x+5$.
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Lineare Funktion: $f(x)=mx+b$ hat die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$. Bei $g(x)=-2x+7$ ist $m=-2$ und $b=7$.
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ohne Hilfsmittel. a) Berechnen Sie $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$. b) Eine Jacke kostet 80 €. Der Preis wird um $25\,\%$ gesenkt.…
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ohne Hilfsmittel.
- a) Berechnen Sie $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$.
- b) Eine Jacke kostet 80 €. Der Preis wird um $25\,\%$ gesenkt. Berechnen Sie den neuen Preis.
- c) Lösen Sie die Gleichung $x^2-5x=0$.
- d) Leiten Sie die Funktion $f$ mit $f(x)=3x^4-2x^2+5x$ ab.
- e) Geben Sie für die Funktion $g$ mit $g(x)=-2x+7$ die Steigung und den y-Achsenabschnitt an.
Nullstellen, Scheitelpunkt und Wertebereich
Quadratische Funktionen tauchen in Teil A fast immer auf. Sie brauchen drei Verfahren, alle ohne Hilfsmittel.
Nullstellen berechnen Sie mit der p-q-Formel. Aus $x^2+px+q=0$ folgt
$$x_{1/2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}.$$Ist die Funktion nicht normiert (zum Beispiel $-x^2+\dots$), teilen Sie zuerst durch den Leitkoeffizienten. Fehlt das absolute Glied, klammern Sie $x$ aus.
Den Scheitelpunkt finden Sie mit der quadratischen Ergänzung. Sie führt auf die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d\mid e)$.
Den Wertebereich liest man am Scheitelpunkt ab: Bei $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, $S$ ist der tiefste Punkt, also $W=[e;\infty[$. Bei $a<0$ ist sie nach unten geöffnet und es gilt $W=]-\infty;e]$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-4x+3$, $x\in\mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. b) Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-4x+3$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- b) Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen von $f$ an.
- c) Berechnen Sie $f(-1)$.
- d) Geben Sie $\lim_{x\to\infty}f(x)$ an.
- e) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$ und berechnen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+4x+5$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+4x+5$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.
- b) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- c) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.
- d) Beschreiben Sie mithilfe der Ableitung, für welche $x$ die Funktion $f$ streng monoton wachsend ist.
- e) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Tangente an den Graphen von $f$ einen Steigungswinkel von $45^\circ$ besitzt.
Transformationen, Symmetrie und Definitionsbereich
Viele Teilaufgaben lassen sich ohne Rechnung lösen, wenn Sie die Wirkung der Parameter kennen. Ausgangspunkt ist eine Funktion $f$ (zum Beispiel $x^2$ oder $x^3$). Die transformierte Funktion ist
$$g(x)=a\cdot f\big(b\cdot(x-c)\big)+d.$$| Parameter | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|
| $d$ | Verschiebung um $d$ in y-Richtung (nach oben für $d>0$) |
| $c$ | Verschiebung um $c$ in x-Richtung (nach rechts für $c>0$) |
| $a$ | Streckung in y-Richtung mit Faktor $\lvert a\rvert$; bei $a<0$ zusätzlich Spiegelung an der x-Achse |
| $b$ | Streckung in x-Richtung mit Faktor $\frac1{\lvert b\rvert}$; bei $b<0$ zusätzlich Spiegelung an der y-Achse |
Die Spiegelung an der x-Achse ist $-f(x)$. Die Spiegelung an der y-Achse ist $f(-x)$.
Verschieben Sie die Regler und beobachten Sie den Scheitelpunkt $S(c\mid d)$.
Symmetrie. Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $f(-x)=f(x)$ für alle $x$ gilt. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt. Bei ganzrationalen Funktionen genügt der Blick auf die Exponenten: Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch. Kommen nur ungerade vor, ist er punktsymmetrisch.
Definitionsbereich. Bei ganzrationalen Funktionen gilt $D=\mathbb{R}$. Bei $f(x)=\frac1{x^n}$ darf der Nenner nicht $0$ sein, also $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Dort liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote $x=0$.
Verhalten für $x\to\pm\infty$. Es entscheidet der Summand mit der höchsten Potenz. Bei $f(x)=-2x^3+x$ gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$. Bei ungeradem Grad haben die beiden Grenzwerte entgegengesetzte Vorzeichen. Bei geradem Grad haben sie dasselbe.
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben. a) Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ wird um 3 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben. Geben…
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
- a) Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ wird um 3 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben. Geben Sie einen Funktionsterm der neuen Funktion an.
- b) Der Graph der Funktion $h$ mit $h(x)=x^3$ wird an der x-Achse gespiegelt. Geben Sie einen Funktionsterm des gespiegelten Graphen an.
- c) Begründen Sie, dass der Graph der Funktion $k$ mit $k(x)=x^4-3x^2$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
- d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ im Intervall $[1;3]$.
- e) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion $p$ mit $p(x)=\dfrac{1}{x^2}$ an.
Änderungsrate, Ableitung, Tangente und Normale
Eine Regionalbahn fährt von Köln nach Düsseldorf. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit auf einem Streckenabschnitt kennt man aus zwei Messpunkten. Wie schnell sie genau in einem Moment ist, zeigt der Tacho. Das ist der Unterschied zwischen mittlerer und lokaler Änderungsrate.
Lässt man den zweiten Punkt an den ersten heranrücken ($h\to0$), geht die Sekante in die Tangente über. Der Grenzwert der Sekantensteigungen heißt Ableitung an der Stelle $x_0$ (lokale Änderungsrate):
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$Tangente und Normale. Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$ hat die Gleichung
$$t(x)=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0).$$Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Für ihre Steigung gilt $m_n=-\dfrac1{m_t}$ (mit $m_t\neq0$). Der Steigungswinkel $\alpha$ der Tangente erfüllt $\tan\alpha=m_t$, also $\alpha=\tan^{-1}(m_t)$. Eine Tangente mit $m_t=1$ hat den Steigungswinkel $45^\circ$.
Ein Fahrzeug bewegt sich geradlinig. Für $0\le t\le 10$ wird der zurückgelegte Weg durch die Funktion $s$ mit $s(t)=0{,}5t^2+2t$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $s(t)$ in…
Ein Fahrzeug bewegt sich geradlinig. Für $0\le t\le 10$ wird der zurückgelegte Weg durch die Funktion $s$ mit $s(t)=0{,}5t^2+2t$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $s(t)$ in Metern).
- a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall $[2;6]$.
- b) Bestimmen Sie $s'(t)$ und berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=4$.
- c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Momentangeschwindigkeit so groß ist wie die mittlere Geschwindigkeit aus Teilaufgabe a).
- d) Berechnen Sie $\lim_{h\to 0}\dfrac{s(3+h)-s(3)}{h}$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- e) Begründen Sie mithilfe von $s''$, dass die Geschwindigkeit des Fahrzeugs im betrachteten Zeitraum zunimmt.
Der Graph einer quadratischen Funktion $g$ mit $g(x)=a(x-d)^2+e$ ist nach unten geöffnet, besitzt den Scheitelpunkt $S(-1\mid 4)$ und hat die Nullstelle $x=1$. a)…
Der Graph einer quadratischen Funktion $g$ mit $g(x)=a(x-d)^2+e$ ist nach unten geöffnet, besitzt den Scheitelpunkt $S(-1\mid 4)$ und hat die Nullstelle $x=1$.
- a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $g$.
- b) Geben Sie die zweite Nullstelle von $g$ an.
- c) Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ durch Spiegelung und Verschiebung hervorgeht.
- d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $x=1$.
- e) Geben Sie die Steigung der Normalen an den Graphen von $g$ an der Stelle $x=1$ an.
Monotonie, Extrempunkte, Krümmung und Wendepunkte
Die Ableitungsfunktion verrät den Verlauf des Graphen.
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$f'(x)>0$ in einem Intervall: $f$ ist dort streng monoton wachsend.
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$f'(x)<0$: $f$ ist streng monoton fallend.
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$f''(x)>0$: Der Graph ist linksgekrümmt. Die Steigung nimmt zu.
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$f''(x)<0$: Der Graph ist rechtsgekrümmt. Die Steigung nimmt ab.
Die y-Koordinate erhalten Sie immer durch Einsetzen in $f$, nicht in $f'$.
In der Grafik sehen Sie $f$ und $f'$. Wo $f'$ die x-Achse schneidet, hat $f$ eine waagerechte Tangente.
Lokal oder global? Ein lokaler Tiefpunkt ist nur im Vergleich mit seiner Umgebung am tiefsten. Ein globaler Tiefpunkt hat den kleinsten Funktionswert im gesamten Definitionsbereich. Bei ganzrationalen Funktionen mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten gilt $f(x)\to\infty$ für $x\to\pm\infty$. Gibt es nur einen Extrempunkt, so ist er der globale Tiefpunkt. Bei ungeradem Grad gibt es keine globalen Extrema auf $\mathbb{R}$.
Von $f'$ zurück zu $f$. Manche Aufgaben geben $f'$ vor. Dann lesen Sie Monotonie, Extremstellen und Wendestellen aus $f'$ ab: Vorzeichenwechsel von $f'$ liefern Extremstellen, Extremstellen von $f'$ liefern Wendestellen. Den Funktionsterm von $f$ finden Sie, indem Sie die Potenzregel rückwärts anwenden. Aus $x^n$ in $f'$ wird $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ in $f$. Dazu kommt eine Konstante $c$, die Sie mit einem bekannten Funktionswert bestimmen. Proben Sie durch Ableiten.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$, $x\in\mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. b) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$ und berechnen…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- b) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$ und berechnen Sie die stationären Stellen von $f$.
Es gilt: $f''(x)=6x-6$.
- c) Bestimmen Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.
- d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.
- e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4x^3$, $x\in\mathbb{R}$. Es gilt: $f'(x)=4x^3-12x^2$, $f''(x)=12x^2-24x$ und $f'''(x)=24x-24$. a) Berechnen Sie die…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4x^3$, $x\in\mathbb{R}$.
Es gilt: $f'(x)=4x^3-12x^2$, $f''(x)=12x^2-24x$ und $f'''(x)=24x-24$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- b) Berechnen Sie die stationären Stellen von $f$ und weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ genau einen lokalen Extrempunkt besitzt. Geben Sie dessen Koordinaten an.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$.
- d) Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von $f$ im Intervall $]0;2[$.
- e) Begründen Sie, dass der Extrempunkt aus Teilaufgabe b) ein globaler Tiefpunkt ist.
Gegeben ist die Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ mit $f'(x)=x^2-4$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem gilt $f(0)=1$. a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $f$…
Gegeben ist die Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ mit $f'(x)=x^2-4$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem gilt $f(0)=1$.
- a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $f$ streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist.
- b) Bestimmen Sie die Art der lokalen Extremstellen von $f$.
- c) Bestimmen Sie die Stelle, an der der Graph von $f$ einen Wendepunkt besitzt.
- d) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
- e) Berechnen Sie die y-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen von $f$.
Zurück zum Anfang: In 25 Minuten kommen Sie nur dann durch Teil A, wenn Sie Ausklammern, p-q-Formel, Scheitelpunktform, Potenzregel und die Kriterien für Extrem- und Wendepunkte ohne Nachdenken anwenden. Das trainieren Sie jetzt.
Auf einen Blick
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Nullstellen: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, sonst p-q-Formel. Der Scheitelpunkt $S(d\mid e)$ folgt aus der quadratischen Ergänzung. Die Parabel ist für $a>0$ nach oben, für $a<0$ nach unten geöffnet. Daraus folgt $W=[e;\infty[$ bzw. $W=]-\infty;e]$.
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Transformation: $g(x)=a\cdot f\big(b(x-c)\big)+d$. Verschiebung um $c$ nach rechts und $d$ nach oben. Spiegelung an der x-Achse ist $-f(x)$, an der y-Achse ist $f(-x)$.
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Symmetrie: $f(-x)=f(x)$ heißt achsensymmetrisch zur y-Achse, $f(-x)=-f(x)$ heißt punktsymmetrisch zum Ursprung. Zur Begründung setzen Sie $-x$ allgemein ein.
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Änderungsraten: mittlere $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (Sekante), lokale $f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ (Tangente). Tangente: $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Normale: $m_n=-\frac1{m_t}$. Steigungswinkel: $\alpha=\tan^{-1}(m)$.
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Verlauf: $f'>0$ monoton wachsend, $f'<0$ monoton fallend. Extremstelle: $f'=0$ mit $f''\neq0$ oder Vorzeichenwechsel. Wendestelle: $f''=0$ mit $f'''\neq0$. Linkskrümmung bei $f''>0$, Rechtskrümmung bei $f''<0$.