Aufgaben ohne Hilfsmittel (Teil A)
Die Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase beginnt mit Teil A: zwei Aufgaben, höchstens 25 Minuten, ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Wer hier sicher ableitet, ausklammert und mit Vektoren rechnet, startet entspannt in den Teil mit Hilfsmitteln. Welche Handgriffe müssen dafür „sitzen“? Das klären wir in vier Schritten.
Ableiten und Nullstellen
Fast jede Teil-A-Aufgabe beginnt mit einer Ableitung oder einer Nullstellenrechnung. Beides muss ohne Nachdenken laufen.
Die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen sind:
Ein Produkt oder eine Klammer mit Exponent leiten Sie in der EF nicht mit Produkt- oder Kettenregel ab. Multiplizieren Sie zuerst aus.
Für Nullstellen gilt: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Deshalb klammern Sie so weit wie möglich aus. Übrig bleibt eine lineare oder quadratische Gleichung (p-q-Formel oder binomische Formel).
Leiten Sie ohne Hilfsmittel ab: a) $f(x) = 4x^3 - 2x + 7$ b) $g(x) = \frac{1}{x} + x^2$ c) $h(x) = (2x - 1)^2$
Leiten Sie ohne Hilfsmittel ab:
- a) $f(x) = 4x^3 - 2x + 7$
- b) $g(x) = \frac{1}{x} + x^2$
- c) $h(x) = (2x - 1)^2$
Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 4x$.
Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 4x$.
Extrempunkte, Wendepunkte und Tangenten
Hier verbindet man Ableitungen mit Eigenschaften des Graphen. Der Ablauf ist immer derselbe.
Tangentenaufgaben gibt es in zwei Varianten. Entweder ist der Berührpunkt gegeben, dann setzen Sie in die Tangentenformel ein. Oder es ist die Steigung gegeben (zum Beispiel „parallel zu $y = 9x + 1$“), dann lösen Sie $f'(x) = m$.
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2$. a) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von $f$ und ihre Art. b) Bestimmen Sie den Wendepunkt.
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2$.
- a) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von $f$ und ihre Art.
- b) Bestimmen Sie den Wendepunkt.
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x$. a) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2|f(2))$. b) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Tangente parallel…
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x$.
- a) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2|f(2))$.
- b) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Tangente parallel zur Geraden $y = 9x + 1$ verläuft.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente $y = 3x$ und den Hochpunkt bei $x = 1$. Bestimmen Sie…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente $y = 3x$ und den Hochpunkt bei $x = 1$. Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel den Funktionsterm von $f$ und prüfen Sie, dass bei $x = 1$ tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt.
Transformationen von Parabeln
Eine Normalparabel lässt sich verschieben, strecken und spiegeln. Mit $g(x) = a \cdot f\big(b\,(x - c)\big) + d$ erfassen Sie alle Fälle. Für $b = 1$ gilt:
-
$c$: Verschiebung um $c$ nach rechts (bei $c < 0$ nach links),
-
$d$: Verschiebung um $d$ nach oben (bei $d < 0$ nach unten),
-
$a$: Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $a$ (für $|a| < 1$ Stauchung, für $a < 0$ zusätzlich Spiegelung an der x-Achse).
Für $f(x) = x^2$ erhalten Sie die Scheitelpunktform $g(x) = a(x - c)^2 + d$ mit dem Scheitelpunkt $S(c \mid d)$.
Der Graph von $f(x) = x^2$ wird um 2 nach rechts verschoben, mit dem Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und anschließend um 1 nach unten verschoben. a) Geben Sie den…
Der Graph von $f(x) = x^2$ wird um 2 nach rechts verschoben, mit dem Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und anschließend um 1 nach unten verschoben.
- a) Geben Sie den Funktionsterm der neuen Funktion $g$ an.
- b) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen von $g$.
Vektoren ohne Hilfsmittel
Das Handwerkszeug für Teil A:
Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Berechnen Sie ohne Hilfsmittel $|\vec{a}|$ und das…
Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Berechnen Sie ohne Hilfsmittel $|\vec{a}|$ und das Skalarprodukt $\vec{a}\cdot\vec{b}$. Was folgt für die Lage der Vektoren zueinander?
Gegeben sind die Punkte $A(1|0|2)$, $B(3|4|2)$ und $C(1|4|5)$. a) Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat. b) Berechnen Sie…
Gegeben sind die Punkte $A(1|0|2)$, $B(3|4|2)$ und $C(1|4|5)$.
- a) Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat.
- b) Berechnen Sie den Mittelpunkt der Strecke $AB$.
Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\t\\3\end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie $t$ so, dass…
Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\t\\3\end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie $t$ so, dass $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht zueinander sind.
- b) Begründen Sie, dass $\vec{a}$ und $\vec{b}$ für kein $t$ linear abhängig sind.
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Die 25 Minuten von Teil A reichen, wenn diese Handgriffe automatisch laufen. Ableiten, Ausklammern, f′, f″, Tangentenformel und Vektorlänge gehören dazu.