Transformation $a\cdot\sin(b(x-c))+d$
Bei Ebbe und Flut an der Nordsee steigt und sinkt der Wasserstand immer wieder gleichmäßig. Ungefähr alle $12{,}4$ Stunden kommt das Hochwasser. Eine solche regelmäßige Schwingung lässt sich mit der Sinusfunktion beschreiben. Dafür muss man den Graphen von $\sin(x)$ so verändern, dass Höhe, Dauer und Startpunkt zur Situation passen. Wie das geht und welche Zahl in der Funktionsgleichung wofür zuständig ist, klärt dieser Abschnitt.
Amplitude und Mittellinie: $a$ und $d$
Die Funktion $f(x)=\sin(x)$ schwankt zwischen $-1$ und $1$. Ihre Mittellinie ist die x-Achse, ihr Wertebereich ist $W=[-1;1]$.
Der Faktor $a$ vor dem Sinus streckt oder staucht den Graphen in y-Richtung. Die Zahl $d$ am Ende verschiebt ihn nach oben oder unten:
$$f(x)=a\cdot\sin(x)+d$$Das Vorzeichen von $a$ spielt für den Wertebereich keine Rolle. Bei $a<0$ wird der Graph zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt: Die Kurve fällt dann zuerst, statt zu steigen.
Probieren Sie es selbst aus: Verändern Sie $a$ und $d$ und beobachten Sie, was mit dem Graphen passiert.
Beschreiben Sie, wie der Graph von $f(x) = \sin(x)$ verändert wird, um den Graphen von $g$ zu erhalten: a) $g(x) = \sin(x) + 4$ b) $g(x) = \sin(x - 1)$ c)…
Beschreiben Sie, wie der Graph von $f(x) = \sin(x)$ verändert wird, um den Graphen von $g$ zu erhalten:
- a) $g(x) = \sin(x) + 4$
- b) $g(x) = \sin(x - 1)$
- c) $g(x) = 0{,}5\sin(x)$
Gegeben ist $f(x) = 2\sin(x) + 1$. Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Funktionswert sowie die Mittellinie des Graphen.
Gegeben ist $f(x) = 2\sin(x) + 1$. Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Funktionswert sowie die Mittellinie des Graphen.
Periode: der Faktor $b$
Der Faktor $b$ wirkt innerhalb der Klammer, also auf das $x$. Er staucht oder streckt den Graphen in x-Richtung. Bei $\sin(2x)$ läuft die Kurve doppelt so schnell durch. Eine Schwingung ist dann schon nach der halben Strecke fertig.
Die Sinusfunktion $\sin(x)$ wiederholt sich nach $2\pi$ (im Bogenmaß entspricht $\pi$ dem Winkel $180^\circ$, also $2\pi=360^\circ$; Umrechnung: $x=\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$, zum Beispiel $90^\circ=\frac{\pi}{2}$; ein Winkel $\alpha$ entspricht im Bogenmaß der Länge des zugehörigen Bogens am Einheitskreis). Bei $\sin(bx)$ wird $x$ mit $b$ multipliziert. Die Kurve ist dann fertig, wenn $b\cdot x$ den Wert $2\pi$ erreicht hat, also bei $x=\frac{2\pi}{b}$.
| Funktion | $b$ | Periode $p=\frac{2\pi}{b}$ |
|---|---|---|
| $\sin(x)$ | $1$ | $2\pi$ |
| $\sin(2x)$ | $2$ | $\pi$ |
| $\sin(4x)$ | $4$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\sin(\frac{1}{2}x)$ | $\frac12$ | $4\pi$ |
Nullstellen von $\sin(bx)$
Die Sinusfunktion hat ihre Nullstellen bei $x=k\cdot\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$. Bei $\sin(bx)$ muss also $b\cdot x=k\pi$ gelten, das heißt $x=\frac{k\pi}{b}$. Die Nullstellen liegen im Abstand einer halben Periode $\frac p2=\frac{\pi}{b}$.
Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils Amplitude und Periode an: a) $f(x) = 3\sin(x)$ b) $g(x) = \sin(2x)$ c) $h(x) = -2\sin(\tfrac{1}{2}x)$
Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils Amplitude und Periode an:
- a) $f(x) = 3\sin(x)$
- b) $g(x) = \sin(2x)$
- c) $h(x) = -2\sin(\tfrac{1}{2}x)$
Verschiebung in x-Richtung: $c$ und die vollständige Form
Der Parameter $c$ verschiebt den Graphen nach rechts (für $c>0$) oder nach links (für $c<0$). Wie bei allen Funktionen steht $x-c$ in der Klammer. Alle vier Parameter zusammen ergeben die allgemeine Form, die hier schon als Transformation $g(x)=a\cdot f\big(b\cdot(x-c)\big)+d$ bekannt ist, mit $f=\sin$:
$$f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x-c)\big)+d$$Bei $x=c$ gilt $b(x-c)=0$. Dort startet die Kurve also auf der Mittellinie und steigt, genau wie $\sin(x)$ bei $x=0$. Der Punkt $(c\mid d)$ ist der „neue Ursprung“ der Kurve.
Ein vollständiger Durchlauf lässt sich an fünf Punkten ablesen, die jeweils eine Viertelperiode $\frac p4$ auseinanderliegen:
| $x$ | $c$ | $c+\frac p4$ | $c+\frac p2$ | $c+\frac{3p}{4}$ | $c+p$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $d$ | $d+a$ | $d$ | $d-a$ | $d$ |
(für $a>0$)
Gegeben ist $f(x) = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - 1$. a) Geben Sie Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie an. b) Bestimmen Sie den…
Gegeben ist $f(x) = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - 1$.
- a) Geben Sie Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie an.
- b) Bestimmen Sie den Wertebereich von $f$.
- c) Berechnen Sie $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Der Wasserstand im Hafen von Cuxhaven schwankt näherungsweise periodisch. Er wird modelliert durch $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{2\pi}{12{,}4}t\right) + 3$ ($t$ in…
Der Wasserstand im Hafen von Cuxhaven schwankt näherungsweise periodisch. Er wird modelliert durch $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{2\pi}{12{,}4}t\right) + 3$ ($t$ in Stunden, $h$ in m).
- a) Geben Sie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand an.
- b) Geben Sie die Dauer einer vollen Periode an.
- c) Berechnen Sie $h(3{,}1)$.
Funktionsgleichung aufstellen
Oft ist die Situation beschrieben und die Funktionsgleichung gesucht. Dann geht man in dieser Reihenfolge vor:
Gleichungen $a\sin(b(x-c))+d=k$ lösen
Zuerst löst man nach dem Sinus auf: $\sin\big(b(x-c)\big)=\frac{k-d}{a}=s$. Dann bestimmt man mit $\sin^{-1}$ (Modus RAD) die erste Lösung $u=\sin^{-1}(s)$. Wegen der Symmetrie der Kurve gibt es in jeder Periode eine zweite Lösung $\pi-u$. Also gilt $b(x-c)=u+n\cdot2\pi$ oder $b(x-c)=\pi-u+n\cdot2\pi$. Danach löst man nach $x$ auf und wählt die Lösungen im gesuchten Intervall.
Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung der Form $f(x) = a\sin(bx) + d$ mit den Eigenschaften: a) Amplitude 2, Periode $\pi$, Mittellinie $y = 0$. b) Maximum 5,…
Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung der Form $f(x) = a\sin(bx) + d$ mit den Eigenschaften:
- a) Amplitude 2, Periode $\pi$, Mittellinie $y = 0$.
- b) Maximum 5, Minimum $-1$, Periode $4\pi$.
Gegeben ist $f(x) = a\sin(b(x - c)) + d$ mit $a, b > 0$. Der Graph hat einen Hochpunkt $H\left(\frac{\pi}{3}\middle|5\right)$ und den nächstgelegenen Tiefpunkt…
Gegeben ist $f(x) = a\sin(b(x - c)) + d$ mit $a, b > 0$. Der Graph hat einen Hochpunkt $H\left(\frac{\pi}{3}\middle|5\right)$ und den nächstgelegenen Tiefpunkt $T\left(\frac{2\pi}{3}\middle|1\right)$.
- a) Bestimmen Sie $a$, $b$, $d$ und einen passenden Wert für $c$.
- b) Begründen Sie, dass es mehrere mögliche Werte für $c$ gibt, und geben Sie die Menge aller möglichen Werte an.
Steigung und Änderungsrate
Wie schnell ändert sich die Höhe einer Gondel am Riesenrad? Dafür braucht man die Ableitung der Sinusfunktion. Ihr Graph liefert die Idee: Bei $x=0$ hat $\sin(x)$ die Steigung $1$, und die Steigung ist überall dort am größten, wo der Graph die Mittellinie schneidet. Es gilt
$$\big(\sin(x)\big)'=\cos(x).$$Wird der Graph in y-Richtung mit $a$ gestreckt, wird auch die Steigung mit $a$ multipliziert. Wird er in x-Richtung um den Faktor $\frac1b$ gestaucht, wird er $b$-mal so steil. Für eine Verschiebung ändert sich die Steigung nicht.
Eine Riesenrad-Gondel in einem Freizeitpark bei Köln befindet sich zur Zeit $t = 0$ s am tiefsten Punkt in 2 m Höhe. Der höchste Punkt liegt in 52 m Höhe. Das Rad…
Eine Riesenrad-Gondel in einem Freizeitpark bei Köln befindet sich zur Zeit $t = 0$ s am tiefsten Punkt in 2 m Höhe. Der höchste Punkt liegt in 52 m Höhe. Das Rad benötigt für eine Umdrehung 240 s.
- a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung $h(t) = a\sin(b(t - c)) + d$ für die Höhe der Gondel auf.
- b) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten in der ersten Umdrehung die Gondel in 27 m Höhe ist.
- c) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit, mit der sich die Höhe ändert, mithilfe der Ableitung.
Gegeben ist $f_k(x) = \sin(kx)$ mit $k > 0$. a) Zeigen Sie, dass die Periode von $f_k$ gleich $\frac{2\pi}{k}$ ist. b) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_k$…
Gegeben ist $f_k(x) = \sin(kx)$ mit $k > 0$.
- a) Zeigen Sie, dass die Periode von $f_k$ gleich $\frac{2\pi}{k}$ ist.
- b) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ im Intervall $[0; 2\pi]$ in Abhängigkeit von $k$ für $k \in \mathbb{N}$.
- c) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f_k$ im Ursprung und begründen Sie, dass sie mit $k$ wächst.
Zurück zum Anfang: Beim Hochwasser an der Nordsee wiederholt sich der Wasserstand nach etwa $12{,}4$ Stunden. Dazu passt $b=\frac{2\pi}{12{,}4}\approx0{,}51$, und aus Höchst- und Niedrigstwert ergeben sich $a$ und $d$. Genau dieses Vorgehen steckt im Rezept oben.