Aufgaben mit Argumentation und Kontext (Teil B)
Im Gewächshaus in Münster steigt die Temperatur am Morgen, erreicht mittags ihr Maximum und fällt dann wieder. Der Betreiber fragt: Wann wird es am wärmsten? Wie schnell ändert sich die Temperatur gerade? Und stimmt es, dass die Temperatur dort immer ihren höchsten Wert hat, wo die Änderungsrate null ist? Genau solche Fragen stellt der Teil B der Zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase (ZKE). Am Ende dieser Seite können Sie alle drei beantworten und wissen, wie Sie dabei Schritt für Schritt vorgehen.
Teil B hat zwei Aufgaben, bearbeitet mit WTR oder CAS/MMS und Formelsammlung: eine innermathematische Argumentationsaufgabe und eine Aufgabe mit realitätsnahem Kontext. Beide sind lang und bestehen aus mehreren Teilaufgaben. Wer jedes Mal dieselbe Struktur anwendet, verliert keine Punkte.
Vorgehen bei Sachaufgaben
Eine Sachaufgabe besteht aus einem Modell (einem Funktionsterm), Größen mit Einheiten und mehreren Fragen. Gehen Sie so vor:
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Größen klären: Was bedeutet $x$ (oder $t$), was bedeutet $f(x)$, in welcher Einheit? Wie lautet der Definitionsbereich?
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Operator beachten: „Berechnen“ verlangt eine Rechnung, „bestimmen“ ein Ergebnis mit nachvollziehbarem Weg, „deuten“ einen Satz im Sachzusammenhang, „begründen“ ein Argument.
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Rechnen und das Ergebnis mit Einheit notieren.
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Antwortsatz im Kontext schreiben.
Ein Beispiel: Im Freibad in Köln wird die Zahl der Badegäste durch $B(t) = -2t^2 + 32t$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 10 Uhr, $0 \le t \le 10$).
Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C). Berechnen…
Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C). Berechnen Sie die Temperatur um 10 Uhr und um 18 Uhr.
Extremwerte und Änderungsraten im Kontext
Die Frage „Wann ist der Wert am größten oder kleinsten?“ führt immer auf dasselbe Verfahren:
Die Ableitung hat zusätzlich eine Bedeutung für die Monotonie: Wo $f'(x) > 0$ gilt, steigt $f$ streng monoton, wo $f'(x) < 0$ gilt, fällt $f$ streng monoton.
Eine besondere Rolle spielt die Zunahme einer Größe. Bei Kosten $K(x)$ ist $K'(x)$ die Kostenzunahme pro zusätzlicher Einheit. Soll sie minimal sein, suchen Sie das Minimum von $K'$. Das ist die Stelle mit $K''(x) = 0$, also ein Wendepunkt von $K$. Am Wendepunkt ändert der Graph sein Krümmungsverhalten, und die Tangente ist dort am flachsten.
Eine Funktion $f$ hat die Ableitung $f'(x) = 3x^2 - 12$. Bestimmen Sie die Stellen mit waagerechter Tangente und geben Sie an, in welchen Intervallen $f$ streng monoton…
Eine Funktion $f$ hat die Ableitung $f'(x) = 3x^2 - 12$. Bestimmen Sie die Stellen mit waagerechter Tangente und geben Sie an, in welchen Intervallen $f$ streng monoton steigt.
Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C). a)…
Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C).
- a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der höchsten Temperatur und diese Temperatur.
- b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen 6 Uhr und 12 Uhr.
- c) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate um 14 Uhr und deuten Sie das Vorzeichen im Sachzusammenhang.
Ein Unternehmen in Wolfsburg stellt Kisten her. Die Kosten für $x$ Kisten pro Tag (in €) werden durch $K(x) = 0{,}02x^3 - 0{,}9x^2 + 15x + 100$ modelliert. a) Berechnen…
Ein Unternehmen in Wolfsburg stellt Kisten her. Die Kosten für $x$ Kisten pro Tag (in €) werden durch $K(x) = 0{,}02x^3 - 0{,}9x^2 + 15x + 100$ modelliert.
- a) Berechnen Sie die Kosten für 20 Kisten und die durchschnittlichen Kosten pro Kiste.
- b) Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der die Kostenzunahme (Ableitung) minimal ist, und erläutern Sie die Bedeutung dieser Stelle für den Graphen von $K$.
Argumentieren, begründen, widerlegen
In der Argumentationsaufgabe sollen Sie eine Aussage beweisen oder widerlegen. Dafür brauchen Sie zwei Werkzeuge:
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Gegenbeispiel: Eine allgemeine Aussage ist falsch, sobald ein einziger Fall sie verletzt. Dann reicht ein Beispiel.
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Allgemeiner Nachweis: Eine Aussage ist nur bewiesen, wenn sie für beliebige Werte gezeigt wird, nicht nur für Beispiele.
Ein häufiges Beispiel ist die Symmetrie: $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ für alle $x$ gilt. Achsensymmetrie zur y-Achse heißt $f(-x) = f(x)$.
Begründen Sie mit einem Gegenbeispiel, dass die Aussage falsch ist: „Wenn $f'(x_0) = 0$ gilt, hat $f$ an der Stelle $x_0$ einen Extrempunkt.“
Begründen Sie mit einem Gegenbeispiel, dass die Aussage falsch ist: „Wenn $f'(x_0) = 0$ gilt, hat $f$ an der Stelle $x_0$ einen Extrempunkt.“
Funktionenscharen und Ortskurve
Eine Funktionenschar $f_a$ enthält einen Parameter $a$. Jeder Wert von $a$ liefert eine eigene Funktion. Sie behandeln $a$ beim Rechnen wie eine feste Zahl, achten aber auf Fallunterscheidungen. Typische Fragen sind: Wie hängen Nullstellen und Extrempunkte von $a$ ab? Für welches $a$ gilt eine bestimmte Eigenschaft? Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte (Ortskurve)?
Fallunterscheidung bei der Anzahl der Extremstellen: Für $f_a(x) = x^3 + 3ax^2$ ist $f_a'(x) = 3x(x + 2a)$. Die stationären Stellen sind $0$ und $-2a$. Für $a \neq 0$ sind das zwei verschiedene Stellen, und $f'$ wechselt dort jeweils das Vorzeichen: zwei Extremstellen. Für $a = 0$ fallen beide zusammen, $f_0(x) = x^3$ hat keinen Extrempunkt, sondern einen Sattelpunkt.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - ax$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Tiefpunkt von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. b) Bestimmen Sie…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - ax$ mit $a > 0$.
- a) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Tiefpunkt von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
- b) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Tiefpunkt bei $y = -9$ liegt.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a \in \mathbb{R}$. a) Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Extremstellen von $f_a$. b) Zeigen…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a \in \mathbb{R}$.
- a) Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Extremstellen von $f_a$.
- b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von $f_a$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
- c) Bestimmen Sie für $a > 0$ die Ortskurve der Tiefpunkte von $f_a$ in der Form $y = g(x)$ und geben Sie den zugehörigen Definitionsbereich an. Zeigen Sie anschließend, dass auch alle Hochpunkte von $f_a$ auf dem Graphen von $g$ liegen.
Optimierung mit Nebenbedingung
Bei Extremwertproblemen soll eine Größe (Fläche, Gewinn, Volumen) möglichst groß oder klein werden. Zuerst brauchen Sie eine Zielfunktion mit nur einer Variablen. Die Nebenbedingung hilft, die zweite Variable zu eliminieren.
Ein Rechteck liegt mit zwei Ecken auf der x-Achse und mit den beiden anderen Ecken auf der Parabel $f(x) = 9 - x^2$ (symmetrisch zur y-Achse, mit $0 < u < 3$ als halber…
Ein Rechteck liegt mit zwei Ecken auf der x-Achse und mit den beiden anderen Ecken auf der Parabel $f(x) = 9 - x^2$ (symmetrisch zur y-Achse, mit $0 < u < 3$ als halber Breite).
- a) Stellen Sie den Flächeninhalt $A(u)$ des Rechtecks als Funktion von $u$ auf.
- b) Bestimmen Sie $u$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.
- c) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs kleiner ist als das Maximum.
Geraden im Raum im Anwendungskontext
Flugbahnen von Drohnen, Hubschraubern oder Seilen lassen sich als Geraden im Raum beschreiben. Mit Stützvektor $\vec p$ (Startpunkt) und Richtungsvektor $\vec u$ lautet die Parameterform
$$g:\ \vec x = \vec p + r \cdot \vec u.$$Der Parameter $r$ steht im Sachkontext oft für die Zeit oder den Fortschritt entlang der Bahn.
Punktprobe: Ein Punkt $Q$ liegt auf $g$, wenn es ein $r$ gibt, das alle drei Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllt.
Ein Rettungshubschrauber startet im Punkt $A(0|0|0)$ und fliegt geradlinig in Richtung $\begin{pmatrix}2\\1\\0{,}2\end{pmatrix}$ (Koordinaten in km). Ein Funkmast steht…
Ein Rettungshubschrauber startet im Punkt $A(0|0|0)$ und fliegt geradlinig in Richtung $\begin{pmatrix}2\\1\\0{,}2\end{pmatrix}$ (Koordinaten in km). Ein Funkmast steht im Punkt $M(6|3|0)$ und ist 0,1 km hoch (Spitze $S(6|3|0{,}1)$).
- a) Stellen Sie die Geradengleichung der Flugbahn auf.
- b) Untersuchen Sie, ob der Hubschrauber über die Mastspitze hinwegfliegt oder sie trifft, indem Sie prüfen, ob $S$ auf der Flugbahn liegt.
- c) Berechnen Sie die Höhe des Hubschraubers über dem Punkt $(6|3|\cdot)$ der Flugbahn, also bei $y = 3$, und deuten Sie das Ergebnis.
Zurück zum Anfang: Im Gewächshaus liegt das Maximum bei $T'(t) = 0$. Aber $f'(x_0) = 0$ allein beweist keinen Extrempunkt (Gegenbeispiel $x^3$). Erst der Vorzeichenwechsel von $f'$ oder $f''(x_0) \neq 0$ sichert den Hoch- oder Tiefpunkt.