Transformationen von Funktionen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 3x$. Geben Sie den Funktionsterm der Funktion $g(x)$ an, die man erhält, wenn man den Graphen von $f(x)$ um vier Einheiten nach links und um zwei Einheiten nach oben verschiebt.

Ein Heißluftballon sinkt mit konstanter Geschwindigkeit. Seine Höhe in Metern wird durch $A(t) = 800 - 50t$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Minuten ist. Ein zweiter Ballon beginnt seinen Sinkflug $10$ Minuten später mit genau demselben Flugprofil. Geben Sie den Term der Höhe des zweiten Ballons $B(t)$ in Abhängigkeit von $A(t)$ an und bestimmen Sie seinen ausmultiplizierten Term.

Betrachten Sie den Graphen der im Intervall $[-4; 4]$ definierten Funktion $f(x)$. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der transformierten Funktion $g(x) = f(x-3) + 1$.

Der Graph einer Funktion $f(x)$ verläuft durch den Punkt $P(-3|5)$. Bestimmen Sie die Koordinaten des entsprechenden Bildpunkts auf den Graphen der folgenden transformierten Funktionen:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Gegeben ist die Grundfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Geben Sie an, welche geometrischen Transformationen (Verschiebungen, Streckungen, Spiegelungen) in welcher Reihenfolge nacheinander angewendet werden müssen, um die Funktion $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$ zu erhalten.

Die Funktion $C(x)$ gibt die Kosten in Euro für die Produktion von $x$ elektronischen Bauteilen an. Aufgrund einer technischen Verbesserung am Fließband können nun dreimal so viele Bauteile zu genau denselben Gesamtkosten produziert werden. Drücken Sie die neue Kostenfunktion $N(x)$ mithilfe der ursprünglichen Funktion $C(x)$ aus.

Der Graph der Funktion $f(x)$ besteht aus zwei Strecken, die die Punkte $(-4|-2)$, $(0|4)$ und $(4|-2)$ verbinden. Eine neue Funktion wird durch die Transformation $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$ definiert.

• Beschreiben Sie die geordnete Abfolge der geometrischen Transformationen, die auf $f(x)$ angewendet werden.

• Berechnen Sie die exakten Koordinaten der neuen Eckpunkte des Graphen von $g(x)$.

Gegeben ist die Grundfunktion $f(x) = \sqrt{x}$; wir wollen die Funktion $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$ erhalten.

Erklären Sie ausführlich zwei verschiedene Abfolgen geometrischer Transformationen (mit vertauschter Reihenfolge von Verschiebungen und horizontalen Streckungen), mit denen man $g(x)$ aus $f(x)$ erhält. Zeigen Sie rechnerisch, dass beide Abfolgen zum selben Term führen.

Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und verläuft durch den Punkt $(2|4)$. Auf sie werden nacheinander die folgenden Transformationen angewendet:

1. Eine horizontale Stauchung, die die x-Koordinaten ihrer Punkte mit $\frac{1}{3}$ multipliziert.

2. Eine Verschiebung um $5$ Einheiten nach links.

3. Eine Spiegelung an der x-Achse.

4. Eine Verschiebung um $7$ Einheiten nach oben.

Bestimmen Sie den Funktionsterm der resultierenden Funktion $g(x)$ und ermitteln Sie die exakten Koordinaten ihres neuen Scheitelpunkts sowie ihrer Schnittpunkte mit den Achsen.

Stellen Sie die Funktion $g(x) = |-x^2 + 4|$ als abschnittsweise definierte Funktion dar, indem Sie den Betrag auflösen und die Intervalle, in denen der ursprüngliche Term das Vorzeichen wechselt, klar angeben.

Die Abbildung zeigt die Lichtkurve eines veränderlichen Sterns, modelliert durch die Funktion $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, wobei $t$ in Tagen und $L$ in Leuchtkrafteinheiten gemessen wird. Eine dichte kosmische Staubwolke verdunkelt den Stern so, dass die von der Erde aus beobachtete Leuchtkraft $O(t)$ genau der Betrag der Differenz zwischen $L(t)$ und seiner mittleren Leuchtkraft ist.

Bestimmen Sie den Funktionsterm von $O(t)$, berechnen Sie ihre neue Periode und ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten $t \in [0, 12]$ die beobachtete Leuchtkraft maximal ist.