Aufgaben: Funktionen und Ableitungen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f(x)=x\cdot(x-2)\cdot(x+2)$ gilt.

1. b) Geben Sie die Nullstellen von $f$ an.

1. c) Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[0;3]$.

1. e) Geben Sie $\lim_{x\to\infty}f(x)$ und $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ an.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+6x-5$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.

1. b) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$.

1. d) Berechnen Sie den Steigungswinkel dieser Tangente.

1. e) Geben Sie die Steigung der Normalen an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$ an.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+2$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$.

1. b) Berechnen Sie die stationären Stellen von $f$.

1. c) Bestimmen Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

1. d) Geben Sie die Intervalle an, in denen $f$ streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac13x^3-x^2-3x$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. b) Untersuchen Sie rechnerisch die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen und geben Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte an.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.

1. d) Bestimmen Sie die globalen Extrema von $f$ im Intervall $[-2;5]$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-2)+1$ gegeben.

1. a) Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht, und geben Sie die Reihenfolge der Transformationen an.

1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $g$ und geben Sie jeweils deren Art an.

1. d) Begründen Sie, dass der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Punkt $(2\mid 1)$ ist.

Von einer Funktion $f$ ist die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x)=-x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$, bekannt. Außerdem gilt $f(0)=1$.

1. a) Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Monotonie und bestimmen Sie die Art ihrer lokalen Extremstellen.

1. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.

1. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.

1. d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente.

1. e) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Wendetangente.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x^2+4x$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Weisen Sie nach, dass $x\cdot(x-2)^2=x^3-4x^2+4x$ gilt.

1. b) Die Funktion $f$ lässt sich in den Darstellungen $f(x)=x^3-4x^2+4x$ und $f(x)=x\cdot(x-2)^2$ angeben. Nennen Sie zu jeder der beiden Darstellungen einen Vorteil bei der Untersuchung von Eigenschaften der Funktion $f$.

1. c) Bestimmen Sie rechnerisch Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

1. d) Begründen Sie ohne Verwendung der Ableitung, dass der Graph von $f$ die x-Achse im Punkt $(2\mid 0)$ berührt.

1. e) Für jede reelle Zahl $k$ ist die Funktion $g$ mit $g(x)=f(x)+k$ gegeben. Bestimmen Sie alle Werte von $k$, für die der Graph von $g$ genau zwei Punkte mit der x-Achse gemeinsam hat.

Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

1. a) Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

1. b) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit negativem Leitkoeffizienten besitzt ein globales Maximum.

1. c) Gilt $f'(x_0)=0$, so besitzt $f$ an der Stelle $x_0$ eine lokale Extremstelle.

1. d) Gilt $f'(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$, so besitzt der Graph von $f$ keinen Extrempunkt.

1. e) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt genau einen Wendepunkt.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2+4$, $x\in\mathbb{R}$. Der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ und hat die x-Koordinate $-1$.

1. a) Berechnen Sie die Koordinaten von $P$ und bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ in $P$.

1. b) Zeigen Sie, dass $x=-1$ und $x=5$ Lösungen der Gleichung $f(x)=t(x)$ sind, und bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $Q$ von $t$ und dem Graphen von $f$.

1. c) Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f$ die gleiche Steigung wie in $P$ besitzt, und geben Sie die Koordinaten des zweiten Punktes mit dieser Steigung an.

1. d) Bestimmen Sie die Steigung der Normalen in $P$ und berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente $t$.